2027年高考数学一轮复习：人教A版选必一知识点清单 讲义

这是一份2027年高考数学一轮复习：人教A版选必一知识点清单 讲义，共88页。学案主要包含了空间向量与立体几何，直线和圆的方程，椭圆、双曲线、抛物线等内容，欢迎下载使用。
模块十一 空间向量与立体几何
1.空间向量共线定理：对空间任意两个向量，存在实数，使得（短变长，长变短，或平行转移）
2.空间向量共面定理：若向量不共线，则向量与向量共面存在唯一的有序实数对，使
空间向量共面定理可用于证明四点共面、线面平行
3.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数对，使得. 其中叫做表示空间向量的一个基底，都叫做基向量
4.空间向量的坐标运算：
设，则
(1)模长公式：
(2)数量积公式：
(3)夹角公式：
(4)垂直：
(5)平行：
5.充分利用直线的方向向量和平面的法向量(找而定之，设而求之)
证明空间中——线、面的平行、垂直，求夹角、求距离
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
(1) 【线线关系】
(2) 【线线关系】
(3) 【线面关系】
(4) 【线面关系】
(5) 【面面关系】
(6) 【面面关系】
(7)【线线角】设异面直线夹角为，其方向向量分别为a，b，则
(8)【线面角】设直线与平面所成角为，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则
(9)【面面角】设平面与平面所成角为，μ，v分别为平面α，β的法向量则
说明：三角函数值的转换：，
6.(1)点到直线的距离：已知是直线上一点，是直线外一点，直线的单位向量为，设，则向量在直线上的投影向量，所以点到直线的距离为
(2)点到平面的距离：设为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则点到平面的距离为
模块十二 直线和圆的方程
1.(1)直线的倾斜角的取值范围是
(2)斜率，直线的方向向量
2.直线的方程：
1.直线方程：
3.两条直线的位置关系：
4.(1)两点间的距离公式：
(2)点到直线的距离公式：点到直线：的距离
(3)两条平行直线和：间的距离：
5.对称问题：
①点关于点对称:点P(x1,y1)关于点Q(x0,y0)的对称点为(2x0−x1,2y0−y1)。
证明：设点P(x1,y1)关于点Q(x0,y0)的对称点为(x2,y2)，则根据中点坐标公式，有x0=x1+x22y0=y1+y22，可得对称点(x2,y2)的坐标为(2x0−x1,2y0−y1)。
②点关于直线对称：点P(x0,y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为：
(x0−2A∙Ax0＋By0＋CA2+B2,y0−2B∙Ax0＋By0＋CA2+B2)
证明：点P(x0,y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为(x1,y1)，连接，交l于M点，则l垂直平分，所以⊥l，且M为中点，又因为M在直线l上，故可，解出(x1,y1)即可。
③直线关于点对称：直线l：Ax＋By＋C＝0关于点(x0,y0)对称的直线为：
Ax＋By-（2Ax0+2By0+C）＝0。
求直线关于点对称的直线方程方法为：
法一：在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
6.①直线到角的公式：直线l1:y=k1x+b1逆时针旋转到与直线l2:y=k2x+b2重合时所转过的最小的正角为θ（θ∈（0，π）），则tanθ=k2−k11+k1k2 (k1k2≠−1)。（两直线的斜率存在）
②直线夹角公式：直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2相交所成的锐角或直角为θ（θ∈（0，π2]），则tanθ=k2−k11+k1k2 (k1k2≠−1)。（两直线的斜率存在）
7.(1)圆的标准方程：
()，圆心坐标为，半径为. 圆的问题尽量与圆心、弦的中点联系起来
【该圆上的点的坐标可设为】
思考：上、下、左、右的半圆方程怎么表示？
(2)圆的一般方程：
，圆心坐标，半径
8.圆的弦长公式：如图，
，
其中为弦心距
9.直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则
(1)相离；(2)相切；(3)相交【还要掌握：求过一点与圆相切的切线方程】
10.圆与圆的位置关系：设圆半径分别为(),
(1)外离(四条公切线)
(2)外切(三条公切线)
(3)相交(两条公切线)
(4)内切(一条公切线)
(5)内含(无公切线)
11.公共弦所在直线方程，由两圆方程相减（消去二次项）得到
12.阿波罗尼斯圆：到两个定点的距离比为常数的点的轨迹；任何一个圆都可以用阿波罗尼斯圆的定义表示
13.①过圆上一点的切线方程：与圆(x−a)2+(y−b)2=r2相切于(x1,y1)的切线方程为：
(x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2。
②切点弦所在的直线方程：过圆(x−a)2+(y−b)2=r2外一点(x1,y1)作两条切线，切点分别为A、B，则切点弦AB所在的直线方程为：(x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2。
模块十三 椭圆、双曲线、抛物线
1.椭圆的标准方程和几何性质：
2.椭圆焦点三角形的性质：
P为椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)上异于长轴端点的点，F1、F2为两个焦点，则△F1PF2称作焦点三角形，设∠F1PF2=θ。
①△F1PF2的周长为2a+2c。
②S△F1PF2=b2tanθ2=12PF1∙PF2∙sinθ。
③4c2=F1F22=PF12+PF22−2PF1PF2csθ。
3.直线与椭圆的位置关系：直线y＝kx＋m与椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的位置关系的判断方法：联立y＝kx＋mx2a2+y2b2=1消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
4.双曲线的方程和性质：
5.双曲线焦点三角形的性质：P为双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0，b>0)上异于顶点的点，F1、F2为两个焦点，则△F1PF2称作焦点三角形，设∠F1PF2=θ，则S△F1PF2=b2tanθ2。
6.直线与双曲线的位置关系：
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：x2a2−y2b2=1 (a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点。
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)。
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ0)的交点个数决定于关于x的方程组y＝kx＋by2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；
若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；
若Δb>0)，则kAB∙kOP=−b2a2；②椭圆方程为y2a2+x2b2=1 (a>b>0)，则kAB∙kOP=−b2a2。
（3）椭圆的切线方程：过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为:x0xa2+y0yb2=1 。
（4）椭圆的切点弦方程：过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点P(x0,y0)作椭圆的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在的直线方程为:x0xa2+y0yb2=1 。
（5）椭圆中斜率乘积为定值的相关问题：设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A、B的任一点，则kPA∙kPB=−b2a2。
（6）椭圆与蒙日圆：椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2+b2。
11.双曲线有关解题大招：
（1）双曲线的切线方程：过双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0，b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为：x0xa2−y0yb2=1 。
（2）双曲线切点弦方程：过双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0，b>0)外一点P(x0,y0)作双曲线的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在的直线方程为:x0xa2−y0yb2=1 。
（3）双曲线焦点到渐近线的距离常用结论：设双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0，b>0)，焦点为
F（±c,0），渐近线方程为y=±bax，则焦点到渐近线的距离为b。
（4）双曲线中点弦结论：若双曲线与直线l交于AB两点，M为AB中点，且kAB与kOM斜率存在时，kAB∙kOM=b2a2（焦点在x轴上）；kAB∙kOM=a2b2（焦点在y轴上）。
（5）双曲线斜率乘积为定值相关问题：设A、B是双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0，b>0)上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A、B的任一点，则kPA∙kPB=b2a2。
（6）双曲线与蒙日圆：双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0，b>0)的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2−b2。
12.抛物线有关解题大招：
（1）抛物线焦点弦性质：AB是过抛物线y2=2px (p>0)焦点的弦，
A(x1,y1)，B(x2,y2)，焦点F(p2,0)，准线l：x=−p2，AP⊥l，BQ⊥l，α
为倾斜角，则：①x1x2=p24，y1y2=−p2；
②AF=x1+p2=p1−csα，BF=x2+p2=p1+csα，AB=x1+x2+p=2psin2α；
③1FA+1FB=2p；
④直角梯形APQB的对角线交于原点O，且S∆AOB=p22sinα；
⑤以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切；以PQ为直径的圆与AB相切于点F。
（2）抛物线中点弦结论：设直线l与抛物线y2=2px (p>0)相交所得的弦AB的中点M(x0,y0)，则kAB∙y0=p。
（3）抛物线的切线方程：过抛物线y2=2px 上的点P(x0,y0)的切线方程是y0y=p(x+x0)。
形式
方程
局限
已知条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不能表示斜率不存在的直线
(x0,y0)是直线上一定点，k是斜率
斜截式
y＝kx＋b
不能表示斜率不存在的直线
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
x1≠x2，y1≠y2
(x1,y1)，(x2,y2)是直线上的两个点；
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
a,b分别是直线在x轴、y轴上的截距
一般式
Ax＋By＋C＝0
A2+B2≠0
方程
l1:A1x+B1y+C1=0
l2:A2x+B2y+C2=0
l1:y＝k1x＋b1
l2:y＝k2x＋b2
垂直
A1A2+B1B2=0
（当B1B2≠0时，可记为A1B1∙A2B2=−1）
k1∙k2=−1
平行
A1B2−A2B1=0 B1C2−B2C1≠0或A1B2−A2B1=0 A2C1−A1C2≠0
k1=k2，b1≠b2
重合
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2（λ≠0）
k1=k2，b1=b2
定义
PF1+PF1=2a>F1F2（P为椭圆上的一点）
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a2+y2b2=1 (a>b>0)
y2a2+x2b2=1 (a>b>0)
焦点
(c,0),(−c,0)
(0,c),(0,−c)
焦距
F1F2=2c
顶点
A1(−a,0),A2(a,0)
B1(0,−b),B2(0,b)
A1(0,−a),A2(0,a)
B1(−b,0),B2(b,0)
轴长
短轴长：2b，长轴长：2a
a,b,c的关系
a2=b2+c2
范围
−a≤x≤a，−b≤y≤b
−b≤x≤b，−a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：坐标原点
离心率
e=ca,e∈(0,1)。
当e越接近1时，c越接近a，椭圆越扁；
当e越接近0时，c越接近0，椭圆越圆。
通径
过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段
通径长：2b2a。
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ>0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ0，b>0)
图形
焦点坐标
(c,0),(−c,0)
(0,c),(0,−c)
焦距
F1F2=2c
顶点
A1(−a,0),A2(a,0)
A1(0,−a),A2(0,a)
轴长
虚轴长：2b，实轴长：2a
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：坐标原点
离心率
e=ca,e∈(1,+∞)
e越大双曲线开口越大，渐近线与实轴的夹角也增大
渐近线
y=±bax
y=±abx
通径
过双曲线的焦点与双曲线的实轴垂直的直线被椭圆所截得的线段
通径长：2b2a
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Fp2,0
F−p2,0
F0,p2
F0,−p2
准线方程
x＝−p2
x＝p2
y＝−p2
y＝p2
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p