2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第34讲复数的概念与运算
展开第34讲 复数的概念与运算
1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
2．了解复数的代数表示法及其几何意义．
3．了解两个具体复数相加、相减的几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．
知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如 a＋bi 的数叫做复数，其中 a 为实部， b 为虚部，i是 虚数 单位，且满足i2＝ －1 ，全体复数组成的集合C叫做 复数集 .
(2)复数的分类：
| 满足条件(a，b∈R) |
分类 | a＋bi为实数⇔__b＝0_____ |
a＋bi为虚数⇔_ b≠0______ | |
a＋bi为纯虚数⇔____a＝0，且b≠0______ |
(3)复数相等的充要条件：
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d (a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0 (a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 实 轴，y轴叫做 虚 轴．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点 Z(a，b) 及平面向量＝ (a，b) 是一一对应关系．
(3)复数的模：对应复数z的向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.
|z|＝|a＋bi|＝ .
3．共轭复数
(1)定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数互为 共轭复数 ，用 表示．
(2)代数形式：a＋bi与a－bi互为共轭复数(a，b∈R)，即z＝a＋bi⇔＝ a－bi .
(3)几何意义：非零复数z1，z2互为共轭复数⇔它们的对应点Z1，Z2(或向量，)关于 实轴 对称．
4．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
运 算 | 运 算 法 则 |
加减法 | z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di) ＝ (a±c)＋(b±d)i |
乘 法 | z1·z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i |
除 法 | ＝＝ ＋i |
(2)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义
若复数z1，z2对应向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的 对角线 所对应的复数．
②复数减法的几何意义
复数z1－z2是以连接，的 终点 所对应的向量，并指向 被减数z1所对应的点Z1 所对应的复数．
③复平面内的两点间的距离公式d＝ |z1－z2| .
其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1与Z2的距离．
热身练习
1．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(B)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
实部为－2，虚部为1的复数在复平面上对应点的坐标为(－2,1)，位于第二象限．
2．(2018·长春二模) 已知复数z＝m2－3m＋mi(m∈R)为纯虚数，则m＝(B)
A．0 B．3
C．0或3 D．4
由题意得所以m＝3.
3．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝(C)
A．－1＋2i B．1－2i
C．3＋2i D．3－2i
由z＋i＝3－i得z＝3－2i，所以＝3＋2i.
4．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(C)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
因为z＝i(－2＋i)＝－1－2i，所以复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．
5．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则对应的复数为(B)
A．－8＋6i B．8－6i
C．8＋6i D．－2－2i
＝－对应的复数为z1－z2＝(3－4i)－(－5＋2i)＝8－6i.
复数的概念
下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2; p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i; p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
z＝＝＝－1－i，
因为|z|＝＝，所以p1是假命题；
因为z2＝(－1－i)2＝2i，所以p2是真命题；
因为＝－1＋i，所以p3是假命题；
因为z的虚部为－1，所以p4是真命题．
所以其中的真命题共有2个：p2，p4.
C
(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复数乘、除等基本运算．
(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算把复数化为a＋bi的形式，然后从定义出发，把复数问题转化为实数问题来处理．
1．(1)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(A)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
(2)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z等于(D)
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
(1)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，
由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由条件z＋＝2，(z－)i＝2，得2a＝2,2bi·i＝2，
所以a＝1，b＝－1.所以z＝1－i.
复数的运算
(1)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B.
C．1 D.
(1)A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．
C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
(2)因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
所以|z|＝1.
(1)C (2)C
(1)复数的四则运算的解题策略：
①复数的加减乘法可类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
②复数的乘、除运算可以互相转化，运算时，要根据题目特点合理转化．
(2)几个常用结论
在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度．
①(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
②i(a＋bi)＝－b＋ai.
③i2＝－1，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2．(1)(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝ 5 ，ab＝ 2 .
(2)(2018·天津卷)i是虚数单位，复数＝ 4－i .
(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得
所以a2＋b2＝5，ab＝2.
(2)＝＝＝＝4－i.
复数的几何意义
(1)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
(2)已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，如图，则：
①表示的复数为___________________；
②表示的复数为___________________；
③B点对应的复数为__________________．
(1)z1＝2＋i在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，
因为z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
所以z2对应的点为(－2,1)，所以z2＝－2＋i，
所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
(2)①＝－，
所以表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.
②＝－，
所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③＝＋＝＋，
所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
即B点对应的复数为1＋6i.
(1)A (2)①－3－2i ②5－2i ③1＋6i
(1)复平面内的点、向量与复数之间可以建立一一对应关系，这是复数的几何意义．
(2)复数加、减法的几何意义就是对应的向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则)．在解题时，要充分理解几何意义的本质，明确向量对应的复数与某一点对应的复数的异同．
3．(1)(2018·北京卷)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(D)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知平行四边形ABCD中，顶点A，B分别与复数1－2i,3＋2i对应，向量对应的复数为－2＋6i，则：
①向量对应的复数为 －4＋2i ；
②顶点D对应的复数为 －3 .
(1)＝＋，其共轭复数为－，对应点位于第四象限．
(2)根据题意，画出示意图：
①因为＝＝－，所以对应的复数为
(－2＋6i)－[(3＋2i)－(1－2i)]＝－4＋2i.
②因为－＝，所以＝＋，
所以D对应的复数为(1－2i)＋(－4＋2i)＝－3.
1．把复数问题转化为实数问题来解决是处理复数问题的一种重要方法，利用两复数相等的充要条件是将复数问题转化为实数问题的重要途径．但要注意：在两个复数相等的充要条件中，前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔若忽略条件，则不能成立．因此，在解决复数相等问题，一定要把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题．
2．复数z＝a＋bi (a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及向量是一一对应的．但要注意：
(1)复平面上虚轴含有原点；
(2)与模相等且方向相同，则它们表示同一复数，但是只有向量的起点在原点O时，此时向量才与它的终点表示同一复数．
3．复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把i2换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．
4．运算的基本要求是准确、迅速、熟练、简捷、合理，也就是说，要在正确的前提下要求计算快捷．为此，要熟练掌握复数的运算法则，并注意i的性质运用．在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度．
①(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
②i(a＋bi)＝－b＋ai.
③i2＝－1，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
