高考数学一轮复习考点讲与练专题28 复数讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题28 复数讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了复数的有关概念，复数的几何意义，复数的四则运算等内容，欢迎下载使用。

1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）（当a＝0时为纯虚数）.))
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
常用结论：
1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面内表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环．
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
►考点01 复数的有关概念

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【例1】（2025春•吉林期中）已知复数，则的虚部为
A．B．C．1D．
【答案】
【分析】先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义求出的虚部．
【解答】解：复数，虚部为．
故选：．
【例2】（2025春•六盘水期末）已知复数，则
A．的虚部为B．C．D．
【答案】
【分析】由已知可得的虚部，即可判断；由复数模的运算即可判断；由共轭复数的定义即可判断；虚部不为0的复数不能比较大小，即可判断．
【解答】解：由，得的虚部为1，故错误；
，故错误；
由共轭复数的定义可知，故正确；
由虚数不能比较大小可知，错误．
故选：．
【例3】（2025春•湖北期末）若复数为纯虚数，则实数的值为
A．2B．2或C．D．
【答案】
【分析】利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值．
【解答】解：由题意可知，复数为纯虚数，
由纯虚数的定义可得，，
解得，
即实数的值为2．
故选：．
【例4】（2025•赣州模拟）复数，，为虚数单位）的实部为3，则复数的虚部为
A．2B．C．D．
【答案】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于3求解值，则答案可求．
【解答】解：的实部为3，
，即．
可得，即复数的虚部为．
故选：．
【例5】（2025春•江西期末）复数的实部与虚部之和为
A．B．1C．2D．3
【答案】
【分析】化简复数，即可根据实部和虚部的定义求解．
【解答】解：，
所以的实部和虚部分别为1，2，
所以复数的实部与虚部之和为3．
故选：．
►考点02 复数的运算

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【例6】（2025春•昭通期末）若复数，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算求解．
【解答】解：由，得，
则．
故选：．
【例7】（2025•新高考Ⅱ）已知，则
A．B．C．D．1
【答案】
【分析】利用复数的除法法则计算．
【解答】解：由题意得：．
故选：．
【例8】（2025春•沙坪坝区期中）若，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】结合利用复数的运算法则求解．
【解答】解：，
，
已知，，，
则．
故选：．
【例9】（2025春•南岸区期中）已知，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由复数的除法、乘法运算即可求解．
【解答】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
【例10】（2025春•乌鲁木齐期末）复数
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用复数的除法运算化简求值．
【解答】解：．
故选：．
►考点03 复数的几何意义

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【例11】（2025春•都匀市期末）已知为虚数单位，设复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】
【分析】结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：复数，
则，
故在复平面内对应的点位于第三象限．
故选：．
【例12】（2025•青羊区模拟）在复平面内，对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】
【分析】由复数模的运算及复数代数形式的乘除运算化简复数，求出其在复平面内对应点的坐标得答案．
【解答】解：，
，
则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
【例13】（2025春•沧州期末）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是
A．B．或C．D．
【答案】
【分析】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可．
【解答】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，
且复数在复平面内对应的点位于第二象限，
，解得．
即实数的取值范围是．
故选：．
【例14】（2025春•桃城区期末）复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据已知化简得出，即可根据复数的几何意义得出答案．
【解答】解：由，
可知复数z在复平面内所对应的点为，该点位于第四象限．
故选：D．
【例15】（2024秋•唐县期末）若，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】
【分析】利用复数的四则运算化简求出复数，求得其共轭复数，利用复数的几何意义即可判断．
【解答】解：由，可得，
故在复平面内对应的点位于第三象限．
故选：．
►考点04 复数的模

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【例16】（2025春•仁寿县期末）复数，则
A．B．C．5D．
【答案】
【分析】由复数的模长计算可得．
【解答】解：复数，则．
故选：．
【例17】（2025春•湖州期末）已知，其中为虚数单位，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先应用复数的四则运算，化简复数，最后再求模长即可．
【解答】解：，则．
故选：．
【例18】（2025•仁寿县四模）若复数，则
A．B．2C．D．10
【答案】
【分析】根据复数的除法运算及模长计算公式即可求解．
【解答】解：，
则．
故选：．
【例19】（2025•浙江模拟）若是复数单位），则
A．1B．C．D．2
【答案】
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，对化简，再结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：若，
故，
．
故选：．
【例20】（2025•渝中区模拟）已知复数满足（其中是虚数单位），则
A．B．1C．D．
【答案】
【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．
【解答】解：，
，
．
．
故选：．
解决复数概念问题的两个注意事项
复数代数形式运算的策略
复数z、复平面内的点Z及向量eq \(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up6(→)).由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．