初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.2.3 圆周角图文课件ppt

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垂径定理及其推论圆心角圆周角圆内接多边形
1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 圆的对称轴有无数条.
注意不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.
2. 垂径定理及其推论
说明符号“⇒ ”读作“推出”，“A⇒B”表示由条件A推出结论B.
特别解读垂径定理中的“直径”可以是直径，也可以是半径、过圆心的直线或线段；“两条弧”指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
拓宽视野对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”.
1-1. 如图， AB 是⊙ O的 直 径，弦 CD 交 AB于点 P， AP=2， BP=6，∠ APC= 30 ° ，则 CD的长为______ ．
如图 29.2－3，在⊙ O 中， AB 为⊙ O 的弦， C， D 是直线 AB 上两点，且 AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形 .
证明：如图 29.2－3，过点 O 作 OM ⊥ AB，垂足为点 M.∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.∵ AC=BD，∴AM+AC=BM+BD，即CM=DM.又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.∴△ OCD 为等腰三角形 .
2-1. 如图，在⊙O中，A，B，C，D是圆上四点，且AB=CD，OE ⊥ AB 于点E，OF ⊥ CD 于点F.求证：OE=OF.
如图 29.2－4， AB， CD 是⊙ O 的弦， M， N分 别为AB， CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证： AB=CD.
证明： 如图 29. 2－4，连接 OM， ON， OA， OC.∵ O 为圆心，且 M， N 分别为 AB， CD 的中点，∴ AB=2AM， CD=2CN， OM ⊥ AB， ON ⊥ CD.∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .∵∠ AMN= ∠ CNM，∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN(HL) .∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
[母题 教材 P132 习题 T8]如图 29.2－5，一条公路的转弯处是一段圆弧( AB)，点 O 是这段弧所在圆的圆心，点 C 是AB的中点，半径 OC 与AB 相交于点 D， AB=120 m， CD=20 m，求这段弯路所在圆的半径 .
解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.
4-1.半圆形纸片的半径为 2 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点 M与圆心 O 重合，则折痕CD 的长为 _______cm.
1. 圆的旋转对称性：因为把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，所以圆具有旋转对称性. 又因为旋转角可以是180°，所以圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
注意一条弧或一条弦所对的圆心角只有一个，反之，一个圆心角所对的弧或弦也只有一条.
弧、弦、圆心角之间的关系
3.弧、弦、圆心角之间的关系
弦所对的弧有两条，故不能说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”
特别提醒不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图24.1－24，∠AOB=∠A′OB′，但AB≠A′B′， AB ≠A′B′.
拓宽视野在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧(同为优弧或劣弧)、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
如图 29.2－8，在⊙ O 中， AB = CD，有下列结论：①AB=CD； ② AC=BD； ③ ∠ AOC= ∠ BOD； ④ AC = BD 中，其中正确的有( )A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个
解题秘方：紧扣弧、弦、圆心角之间关系定理的推论判断 .
解：∵ AB = CD，∴ AB=CD，故①正确 .∵ AB = CD，∴ AC = BD.∴ AC=BD，∠ AOC= ∠ BOD，故②③④正确 .
5-1. 如图，AB 和CD是⊙ O 的两条弦，圆心O 到它们的距离分别为OM 和ON， 若AB>CD，则下列结论正确的是( )A. AB < CDB. AMOND. ∠ AOM> ∠ CON
如图29.2-9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC= 40°，D是BC 的中点，则∠OCD的度数为______
6-1. 如图，在⊙ O 中，AB = AC , ∠ A=30 °，则∠ B 的度数为_______
[新考法构造法]如图29.2-10，AB，CD是⊙O的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且OE=OF. 求证：AC =BD .
证明：如图29.2-10，过点O作OG⊥AB于点G. ∵OA=OB，OE=OF，OG⊥EF于点G， ∴∠AOG= ∠BOG，∠EOG= ∠FOG. ∴∠AOG- ∠EOG= ∠BOG- ∠FOG， 即∠AOC= ∠BOD. ∴AC =BD .
方法点拨证明弧、弦、圆心角之间的关系常用的作辅助线的方法：在同圆或等圆中，要证弧、弦、圆心角及弦心距中的一组量相等，通常可以将其转化成证另外三组量中的一组量相等，一般有多种证法，而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等圆心角、等弦心距是常用的作辅助线的方法.
7-1. 如图，∠ AOB=90 °，C，D 是AB 的三等分点，AB 分别交OC，OD 于点E，F. 求证：AE=BF=CD.
证明:如图,连接AC, DB.∵C,D是AB的三等分点，∴AC=CD=DB.∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠DOB.又∵∠AOB=90°,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°.∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠OAB=∠OBA=45°.∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°.∵在△AOC中，OA=OC，∠AOC=30°，∴∠ACO=75°.∴∠AEC=∠ACO.∴AE=AC.同理可得BF=DB.∴AE=BF=CD.
1. 圆周角： 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 .
圆周角可以是锐角、直角或钝角.
注意圆周角必须同时具备两个条件：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交.
2. 圆心角和圆周角的区别与联系
3. 圆周角定理及其推论
特别提醒1. 定理中的圆周角与圆心角所对的弧是同一条弧，这是定理成立的条件，也是运用定理时容易出现错误的地方.2. “同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
拓宽视野在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
下列图形(如图29.2-11)中的角是圆周角的是( )
解：选项A 中的角的顶点在圆上，但是两边不都与圆相交；选项B 中的角的顶点在圆上，但是两边都不与圆相交；选项D 中的角的顶点不在圆上，故它们都不是圆周角. 选项C 中的角满足圆周角必须同时具备的两个条件，因此是圆周角.
解题秘方：紧扣圆周角必须同时具备的两个条件来判断 .
8-1. 下列图形中的角是圆周角的是( )
如图29.2-12，点A， B， C 在 ⊙ O上，AC⊥ OB，垂足为D，若∠ A=35°，则∠ C的度数是(　　)A.20° B.25° C.30° D.35°
解题秘方：先根据圆周角定理求出∠O的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求解.
解： ∵∠ A=35° ， ∴∠ O=2 ∠ A=70° .∵ AC ⊥ OB， ∴∠ CDO=90° .∴∠ C=90° －∠ O=90° －70° =20° .
9-1.[中考·宜宾]如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠ BAC=40 °，则∠ OBC=________ °．
[中考·广东] 如图29.2-13，AB是⊙O的直径，∠ BAC=50 °，则∠D= (　　)A. 20° B. 40°C. 50° D. 80°
解：∵ AB是⊙O的直径，∴∠ ACB=90°.∴∠ BAC+ ∠ B=90°.∵∠ BAC=50°，∴∠ B=40 °.∴∠ D= ∠ B=40 °.
10-1. 如图所示，AD是⊙O的直径， 弦BC交AD 于点E，连接AB，AC，若∠BAD=30°，则∠ACB的度数是 (　　)A.50° B.40°C.70° D.60°
如图 29.2-14， AB 是⊙ O 的直径， BD 是⊙ O 的弦，延长 BD 到点 C，使 AC=AB. 求证： BD=CD.
证明： 如图 29.2-14 ， 连接 AD.∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB=90°，即 AD ⊥ BC.又∵ AC=AB，∴ BD=CD.
解题秘方：紧扣“直径所对的圆周角是直角”，结合等腰三角形“三线合一”的性质求解.
11-1.如 图， AB是 ⊙ O的 直 径， D 是 弦 AC的 延 长 线 上 一 点，且CD=AC， DB的延长线交⊙ O于点E，连接CE.求证： CD=CE．
证明：如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD. 又∵CD＝AC，∴BC垂直平分线段AD.∴AB＝BD. ∴∠A＝∠D.∵∠A＝∠E，∴∠D＝∠E.∴CD＝CE.
如图 29.2-15，在平面直角坐标系xOy 中， ⊙ P 经 过 点 O，与 y 轴 交 于 点 A(0，6)，与 x 轴 交 于 点 B(8，0)，则 OP 的 长 为_________.
解题秘方： 连接 AB，通过题意判断出 AB为⊙ P 的直径，且圆心 P 在 AB 上，根据勾股定理计算出 AB的长，从而得出结果 .
12-1. [中考·日照]一圆形玻璃镜面损坏了一部分 ， 为得到同样大小的 镜 面，工 人 师 傅 用直角尺作如图所示的测量，测得 AB=12 cm，BC=5 cm，则圆形镜面的半径为 _______.
注意每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
拓宽视野弦所对的圆周角的关系：在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补，即圆周角在弦的同侧时相等，异侧时互补. 如图29.2-16，∠ C，∠ D，∠ E 都是弦AB所对的圆周角. 因为∠C，∠D在弦AB的同侧，所以∠ C= ∠ D; 因为∠D，∠ E在弦AB的异侧，所以∠D+∠ E=180°.
[母题 教材P131 例4]如图29.2-17，圆心角∠AOB=120°，P是AB上任意一点(不与点A，B重合)， 点C在AP的延长线上，求∠BPC的度数.
解题秘方：欲求∠BPC的大小，关键是要求出∠APB的大小，而已知角为∠AOB，所以构建AB所对的圆周角∠AEB，即可将∠APB与∠AOB联系起来.
13-1. 如图，四 边 形ABCD内接于⊙ O.过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠ BEC=50 ° ，则∠ ABC的度数是_______
分类讨论思想在垂径定理中的应用
已知⊙ O 的直径为 10， AB， CD 是两条平行的弦，且AB=6， CD=8，求 AB， CD 之间的距离 .
解题关键题中没有明确弦AB， CD在圆中的位置，解答问题时要考虑弦AB， CD在圆心O的 同侧与异侧两种情况.
要点解读1. 解决关于弦的问题时，常作“垂直于弦的半径(或弦心距)”这一辅助线，然后连接圆心和弦的一端(即半径)构造直角三角形.2. 当题目中图形不明确时，应注意进行分类讨论,画出所有可能存在的图形，防止漏解.
如图 29.2-20， AB， CD 是半径为 5 的⊙ O的两条弦， AB=8， CD=6， MN 是直径， AB ⊥ MN于点 E， CD ⊥ MN 于点 F， P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 ________.
解题秘方：利用轴对称，将同侧两点转化为异侧两点求解.
解题通法1.圆是轴对称图形，结合垂径定理可知， “垂直于弦的直径” 这个条件中，弦的两个端点关于这条直径所在的直线对称.2.将“在直线上找一点使它到直线同侧两点的距离之和最短”的模型运用到本题中.
建立垂径定理的模型解决实际问题
如图 29.2-21，某地有座圆弧形拱桥，桥下水面宽度 AB 为 7.2 m，拱顶 C 高出水面 2.4m. 现有一艘宽3m，顶部为长方形并且高出水面2m的货船要经过这里.此货船能顺利通过该拱桥吗？
解题秘方： 货船能否通过这座拱桥，关键是看货船顶部是否被拱桥拦住，即当货船位于桥下正中间 EF 时，两边的高度是否小于FN(如图 29.2-21所示) .
解题策略判断货船能否从拱桥下通过的方法：1.固定货船的宽，看拱桥是否足够高；2.固定货船的高，看拱桥下的空间是否足够宽.
方法点拨利用垂径定理求线段的长的方法：垂径定理是解决有关圆的计算、证明问题常用的知识.求线段长时，一般把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理+勾股定理”求解.
对垂径定理的推论理解不透，导致出错
下列说法正确的是( )A. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B. 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C. 过弦的中点的直径垂直于弦D. 平分弦所对的两条弧的直径平分弦
解： A是错误的，应该指出这条弦不是直径；B是错误的，应该是弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心；C是错误的，应该指出这条弦不是直径；D是正确的.
诊误区：如果“过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧”中的“弦”是直径，那么结论不一定成立.解题时容易忽略垂径定理的推论中“不是直径”这个条件而导致错误.
当图形没有给出时，没有用分类讨论思想进行解题，导致错误
⊙ O 的 直 径 为 8 cm，弦 AB 的 长 为 4 cm，则 AB所对的圆周角的度数为____________ .
诊误区：一条弦(非直径)所对的圆周角有两种可能，分别为顶点在优弧上和顶点在劣弧上.
利用垂径定理求线段的长
试题评析：本题主要考查垂径定理，建立垂径定理模型，利用“同圆中等弧对等弦”和勾股定理，建立方程求解.
[中考· 泰安]如图29.2-24，AB 是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50 °，则∠ A的度数 为( )A. 65° B. 55° C. 50° D. 75°
利用圆周角定理及其推论求角的度数
试题评析：本题主要考查圆周角定理及其推论，利用圆周角定理及其推论转化角的关系是解决问题的关键．
[中考·哈尔滨]如图29.2-25，四边形ABCD是 ⊙ O的 内 接 四 边 形， AB是⊙ O的直径，若∠ BEC＝ 20°，则∠ ADC的度数为( )100° B. 110° C. 120° D. 130°
利用圆内接四边形的性质求角的度数
试题评析： 本题考查了圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
解： 如图29.2-25，连接AC.∵ AB是⊙ O的直径， ∴∠ ACB=90° .∵∠ BEC=20° ，∴∠ CAB=20° .∴∠ ABC=90° －∠ BAC=70° .∵ 四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°∴∠ ADC=180° －∠ ABC=110° ．
[中考·安徽]如图 29.2-26， ⊙ O是 △ ABC 的外接圆， D 是 直 径 AB 上 一点， ∠ ACD 的平分线交 AB 于点 E，交⊙于另一点 F， FA=FE．(1)求证： CD ⊥ AB；(2)设 FM ⊥ AB，垂 足 为 M，若 OM= OE=1，求 AC 的长．
利用圆周角定理的推论进行综合计算
试题评析：主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理的推论、勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键．
(1)求证： CD ⊥ AB；
证明： ∵ FA=FE， ∴∠ FAE=∠ AEF.∵∠ FAE 与∠ BCE 都是BF 所对的圆周角， ∴∠ FAE=∠ BCE.∴∠ AEF=∠ BCE.∵∠ AEF=∠ CEB， ∴∠ CEB=∠ BCE.∵ CE平分∠ ACD， ∴∠ ACE=∠ DCE.∵ AB是⊙ O 的直径， ∴∠ ACB=90° .∴∠ CEB+∠ DCE=∠ BCE+∠ ACE=∠ ACB=90° .∴∠ CDE=90° ，即CD ⊥ AB．
(2)设 FM ⊥ AB，垂 足 为 M，若 OM=OE=1，求 AC 的长．
2. 如 图，已 知 在 ⊙ O 中， BC 是 直 径，AB=DC，则 下 列 结 论 不 一 定 成 立 的是(　　)A.OA=OB=ABB. ∠ AOB= ∠ CODC. AB = DCD. 点 O 到 AB， CD 的距离相等
3. 如图， AB 是⊙ O 的直径， ∠ E=35° ，则∠ BOD=( )A.80° B.100° C.120° D.110°
4.[中考·山西]如图，AB为⊙O的直径，点C， D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD， CD. 若AC=BC，则∠D的度数为( )A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
6. 如图，圆形拱门最下端AB 在地面上， D 为 AB 的中点， C 为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若 AB=1 m， CD=2.5 m，则拱门所在圆的半径为( ) m B.1.3 mC.1.4 m m
8. [中考· 盐城母题教材P131 例4]如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ A=110 °，连接OB，OD，则∠BOD=___ °．
9. [中考·陕西]如图，AB为⊙O的直径，BC= BD，∠ CDB=24 °，则∠ ACD 的度数为______．
10.如图，在⊙ O 中，若AB =2 CD，则 AB与 2CD 的大小关系为_________
12.[中考·吉林] 图①、图②均是6×6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点. △ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上. 只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中找一个格点D(点D不与点C 重合)，画出∠ADB，使∠ADB= ∠ACB．
解：如图①，∠ADB即为所求(答案不唯一).
(2)在图②中找一个格点E，画出∠AEC， 使∠AEC+ ∠ABC=180°．
解：如图②，∠AEC即为所求(答案不唯一).
13.[中考·安徽]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2 ∠ABC=180°． (1)求证：OC∥AD；
证明：∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∴∠AOC=∠OBC+∠OCB=2∠ABC.∵∠DAB+2∠ABC=180°，∴∠DAB+∠AOC=180°.∴OC∥AD．
14. 如图①， C，D 是半圆 ACB上的两点，点 P 是直径 AB 上的一点，且 满 足 ∠ APC=∠ BPD，则称∠ CPD是CD的“相望角” .(1)如图②，弦CE⊥ AB，D是BC 上的一点，连接 DE 交 AB 于点 P，连接 CP. 求证： ∠ CPD是CD的“相望角”；
(2)如图③，在(1)的条件下，连接CD，若 CD 的“相 望 角”为 90 ° ，直径AB=6，求CD的长.