2026年中考数学一轮复习电子教案 第五单元 第二十六讲 综合提升 （特殊）平行四边形之间的关系

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课题
第26讲 综合提升（特殊）平行四边形之间的关系
学习目标
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教学重点
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教学难点
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教学准备
课件ppt
实施教学过程设计
二次备课
考点梳理
考点1 特殊四边形的关系
1.从边与角的角度看
2．从对角线的角度看
中点四边形
（1）定义：依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形
（2）常见结论：
原图形
任意四边形
矩形
菱形
正方形
对角线相等
的四边形
对角线垂直
的四边形
对角线垂直且
相等的四边形
中点四边形
的形状
平行四边形
菱形
矩形
正方形
菱形
矩形
正方形
图示
【满分技法】特殊四边形中，依次连接各边中点得到的四边形，周长等于原图形两条对角线之和，
面积等于原图形面积的一半
基础题练考点
1.有下列性质：①对边平行且相等；②对角线相等；③对角线互相平分；④对角线互相垂直；⑤对角相等.在平行四边形、矩形、菱形、正方形中都具有的是( )
A.①②④ B.①③⑤
C.①③④ D.②③⑤
2.(北师九上习题改编)在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论正确的是( )
A.当AB＝BC时，四边形ABCD是矩形
B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
D.当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是正方形
3.如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连接AE，DE.若▱ABCD的面积为6，则△ADE的面积为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
第3题图
第4题图
4. (人教八下习题改编)如图，已知E，F，G，H分别是菱形 ABCD各边的中点，连接EF，FG，HG，HE，则四边形 EFGH是( )
A. 正方形B. 矩形
C. 菱形D. 平行四边形
5.(2024遵义二模)如图，佳佳将两个全等的直角三角板(含30°)的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD.
(1)判断四边形ABCD的形状为 ；
(2)连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度.
第5题图
1.B 2.C 3.C 4.B
5.(1)平行四边形；
(2)选择题图①，对角线AC的长度为67.
选择题图②，对角线AC的长度为613.
核心考点突破
四边形的相关证明与计算
例1 如图①，在▱ABCD中，AD＝6，AB＝3，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.已知∠A＝120°.
(1)求证：AD＝AF；
(2)求BF的长和△ADF的面积；
(3)如图②，BN平分∠ABC，交AD于点M，交CD的延长线于点N.
①求证：△BEF≌△DMN；
②求四边形BFDN的周长.
图① 图②
例1题图
例2 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E，F分别是BC，AD边上的点，连接AE，EF.
(1)如图①，连接AC，CF，当AE＝CF，AC⊥EF时，求证：四边形AECF是菱形；
(2)在(1)的条件下，求EF的长；
(3)如图②，AE平分∠BAD，EF⊥AD，连接BF交AE于点P，连接PD.求证：四边形ABEF是正方形；
(4)在(3)的条件下，求tan∠ADP的值.

图① 图②
例2题图
例3 (2022贵阳21题10分)如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.
(1)求证：△ABE≌△FMN；
(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长.
例3题图
例1 (1)证明：在▱ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AF＝AD；
(2)解：如解图①，过D作DH⊥AF交FA的延长线于点H，
∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF－AB＝3，
例1题解图①
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，∴∠ADH＝30°，
∴AH＝12AD＝3，
∴DH＝AD2－AH2＝33，
∴S△ADF＝12AF·DH＝12×6×33＝93；
(3)①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，
∴∠FBC＝∠NDA，
又∵BN平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝12∠ADC，∠CBN＝12∠ABC，
∴∠ADF＝∠CBN.
在△ADF和△CBN中，
∠A＝∠CAD＝CB∠ADF＝∠CBN，
∴△ADF≌△CBN(ASA)，
∴AF＝CN，∠F＝∠N，∴BF＝DN.
在△BEF和△DMN中，
∠F＝∠N，BF＝DN.∠FBC＝∠NDA，
∴△BEF≌△DMN(ASA)；
②解：如解图②，过点N作NH⊥BC交BC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵BN，DF分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠NBH＝∠ABN＝∠ADF＝∠CDF＝30°，
∴在Rt△BNH中，BN＝2NH，
∵AF∥CN，由(3)①知∠F＝∠DNM，BF＝DN，
∴∠F＝∠DNM＝∠CDF＝30°，∠NCH＝∠ABC＝60°，
∴∠NBC＝∠CNB＝∠CNH＝30°，
∴CN＝BC＝AD＝6，
∴CH＝12CN＝3，BF＝DN＝CN－CD＝6－3＝3，
∴在Rt△CNH中，NH＝NC2－CH2
＝33，
∴BN＝2NH＝63，
∵BF∥DN， BF＝DN，
∴四边形BFDN是平行四边形，
∴四边形BFDN的周长＝2(BF＋BN)＝2×(3＋63)＝6＋123.
例1题解图②
例2 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
AB＝CDAE＝CF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE＝DF，
∴CE＝AF，
∵CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝4，BC＝6，
∴AC＝AB2＋BC2＝42＋62＝213，
设EC＝x，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝x，BE＝6－x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，
∴x2＝42＋(6－x)2，解得x＝133，
∵S菱形AECF＝AB·EC＝12AC·EF，
∴4×133＝12×213EF
∴EF＝4133；
(3)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAB＝∠ABE＝90°，AF∥BE，
∵EF⊥AD，
∴∠FAB＝∠ABE＝∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，AF∥BE，
∴∠FAE＝∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴四边形ABEF是正方形；
(4)解：如解图，过点P作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是正方形，
∴BP＝PF，BA⊥AD，∠PAF＝45°，
∴AB∥PH，
∵AB＝4，∴AH＝PH＝2，
∵BC＝AD＝6，
∴DH＝AD－AH＝6－2＝4，
在Rt△PHD中，∠PHD＝90°.
∴tan∠ADP＝PHDH＝24＝12.
例2题解图
例3 (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°.
∵MF∥AD，
∴四边形ADFM为矩形，
∴MF＝AD，∴MF＝AB.
∵MN垂直平分BE，
∴∠BOM＝90°，
∴∠ABE＋∠BMO＝90°.
∵∠FMN＋∠BMO＝90°，
∴∠ABE＝∠FMN.
在△ABE和△FMN中，∠A＝∠MFNAB＝FM∠ABE＝∠FMN，
∴△ABE≌△FMN(ASA)；
(2)解：如解图，连接ME.
∵MN垂直平分BE，∴ME＝BM.
设BM＝x，则AM＝8－x，ME＝x.
在Rt△AME中，由勾股定理得，x2＝62＋(8－x)2.
解得x＝254，即BM＝254.
在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE＝AB2＋AE2＝10.
易证△BOM∽△BAE，
∴OMAE＝BMBE，
∴OM＝AE·BMBE＝6×25410＝154.
由(1)知△ABE≌△FMN，
∴MN＝BE＝10，
∴ON＝MN－MO＝10－154＝254.
例3题解图
课后小结
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作业布置
必做：精练本第57页1—5题；
选做：精练本第57页第6题
板书设计