2026年中考数学一轮复习电子教案 第六单元 第二十八讲 点、直线与圆的位置关系

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课题
第28讲 点、直线与圆的位置关系
学习目标
命题点 与切线性质相关的证明与计算
了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念；
知道三角形的内心和外心；(2022年版课标将“知道”调整为“了解”)
*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；
4.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.(2022年版课标新增)
教学重点
1.探索并证明切线长定理；
2.用尺规作图；
教学难点
1.三角形的内接圆；
2.在圆中添加辅助线的转化到常用模型和经典结构中
教学准备
课件ppt
实施教学过程设计
二次备课
考点梳理
考点 圆的基本性质
性质圆的基本性质圆的有关概念
点与圆的位置关系(设圆的半径为r，平面内任意一点到圆心的距离为d)
点在圆外⇔d①________r，如图①点A
点在圆上⇔d②________r，如图①点B
点在圆内⇔d③________r，如图①点C
图①
2.直线与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d)
位置关系
相离
相切
相交
d与r的关系
d④_____r
d⑤________r
d⑥_______r
交点的个数
没有公共点
有且只有一个公共点
有两个公共点
示意图
3.切线的性质与判定
性质定理：圆的切线⑦________于过切点的半径(或直径)
判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
判定方法：（1）公共点明确：连半径，证垂直
（2）公共点不明确：作垂直，证半径
4.*切线长定理：
过圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长⑧________，这一点与圆心的连线⑨______两条切线的夹角．如图②，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，那么PA＝⑩________，∠APO＝⑪________＝⑫________∠APB
图②
5.三角形的内切圆
定义：与三角形各边都相切的圆
圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三个内角的⑬________的交点)
性质：三角形的内心到三角形的⑭________的距离相等
角度关系：如图③，图④，∠BOC＝90°＋12∠BAC
【知识拓展】
任意三角形的内切圆
直角三角形的内切圆
图③
图④
利用等面积法可得：
r＝2S△ABCa+b+c
利用等面积法可得：r＝aba+b+c
利用切线长定理可得：r＝a+b−c2
①> ②= ③< ④> ⑤= ⑥< ⑦垂直 ⑧相等 ⑨平分 ⑩PB
⑪∠BPO ⑫12 ⑬平分线 ⑭三条边
基础题练考点
1.如图，AB是☉O的切线，A为切点，连接OA，OB，OB交☉O于点C，连接AC，若∠B＝40°，则∠OCA的度数为( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
2.如图，PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，☉O的半径为2，则BP的长为( )
A.22B.23C.4D.6

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，△ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F.已知△ABC的周长为36，BC＝14，则AF的长为( )
A.4B.5C.6D.7
4.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，BO＝8，以O为圆心，r为半径作圆.
(1)若r＝4.8，则点A与☉O的位置关系是 ，直线AB与☉O的位置关系是 ；
(2)若r＝6，则点A与☉O的位置关系是 ，直线AB与☉O的位置关系是 ；
(3)若r＝4，则点A与☉O的位置关系是 ，直线AB与☉O的位置关系是 ；
(4)当r的取值范围为 时，点A与点B都在☉O内，此时直线AB与☉O的位置关系是 .
1.B 2.B 3.A
4.(1)点A在☉O外，相切 (2)点A在☉O上，相交
(3)点A在☉O外，相离 (4)r＞8，相交.
核心考点突破
突破设问1 切线的判定
例1 已知☉O为△ABC的外接圆，BC为☉O的直径，D为☉O外一点.
(1)如图①，连接BD，CD，延长BA交CD于点E，若CB＝CE，∠BCD＝2∠DBE，求证：BD是☉O的切线；
例1题图①
(2)如图②，连接AD，CD，若AD⊥CD，CA平分∠BCD，求证：AD是☉O的切线；
例1题图②
(3)如图③，连接AD，OD，CD，若OD⊥AC，BC⊥CD，求证：AD是☉O的切线；
例1题图③
(4)如图④，过点B作BD⊥BC，交OA的延长线于点D，过点D作DF∥AC，交BC的延长线于点F，若∠BDO＝∠ACO，求证：DF是☉O的切线.
例1题图④
突破设问2 求线段长
方法一 利用勾股定理
例2 如图，CD是☉O的切线，点C在直径AB的延长线上，连接BD，AD，若BC＝2，CD＝3，求☉O的半径.
例2题图
方法二 利用三角函数
例3 如图，OA，OC都是☉O的半径，点B在OC的延长线上，BA与☉O相切于点A，连接AC，若AC＝4，sin∠BAC＝13，求☉O的直径.
例3题图
方法三 利用三角形相似
例4 如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，PB是☉O的切线，切点为B，OP⊥BC于点D，连接AC，若☉O的直径为10，AC＝6，求PB的长.
例4题图
方法四 利用全等三角形
例5 如图，AB是☉O的直径，过点A作☉O的切线AC，过点C作CD∥AB，连接AD，BD分别与☉O交于点E，F，且AE＝EF，若☉O的半径为5，AC＝8，求CD的长.
例5题图
例1 证明：(1)∵BC是☉O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°.
∵CB＝CE，CA⊥BE，
∴∠ACE＝∠ACB，
∴∠BCD＝2∠ACB.
∵∠BCD＝2∠DBE，
∴∠ACB＝∠DBE，
∴∠ABC＋∠DBE＝∠DBC＝90°.
∵OB为☉O的半径，
∴BD是☉O的切线；
(2)如解图①，连接OA，
例1题解图①
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA.
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴∠OAC＝∠ACD，
∴OA∥CD.
∵AD⊥CD，
∴OA⊥AD.
∵OA为☉O的半径，
∴AD是☉O的切线；
(3)如解图②，连接OA，
例1题解图②
∵BC⊥CD，
∴∠DCO＝90°
∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC＝90°.
又∵OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∴∠BAO＝∠AOD，∠ABO＝∠COD.
∵OA＝OB
∴∠BAO＝∠ABO，
∴∠AOD＝∠COD，
在△AOD和△COD中，
OA＝OC∠AOD＝∠CODOD＝OD，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠DAO＝∠DCO＝90°.
∵OA是☉O的半径，
∴AD是☉O的切线；
(4)如解图③，过点O作OG⊥DF于点G，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠BDO＝∠ACO，
∴∠BDO＝∠OAC.
∵DF∥AC，∴∠ODF＝∠OAC，
∴∠BDO＝∠ODF，即DO是∠BDF的平分线.
∵BD⊥BC，OG⊥DF，
∴OG＝OB，即OG为☉O的半径，
∴DF是☉O的切线.
例1题解图③
例2 解：如解图，连接OD，
∵CD是☉O的切线，
∴∠ODC＝90°.
设☉O的半径为r，
则OB＝OD＝r，OC＝OB＋BC＝r＋2，
在Rt△ODC中，由勾股定理得OC2＝OD2＋CD2，
即(2＋r)2＝r2＋32，
解得r＝54，
∴☉O的半径为54.
例2题解图
例3 解：如解图，延长AO交☉O于点D，连接CD，
∵BA与☉O相切于点A，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAC＋∠BAC＝90°.
∵AD为☉O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠DAC＋∠D＝90°，
∴∠D＝∠BAC.
∴sin D＝sin∠BAC，
∴ACAD＝13，
∵AC＝4，
∴AD＝12，即☉O的直径为12.
例3题解图
例4 解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝AB2－AC2＝102－62＝8.
∵OP⊥BC，
∴OD∥AC.
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BD＝CD＝12BC＝4，OD＝12AC＝3，OB＝12AB＝5.
∵PB是☉O的切线，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBD＋∠OBD＝90°.
∵OP⊥BC，
∴∠PDB＝∠BDO＝90°，
∴∠OBD＋∠BOD＝90°，
∴∠PBD＝∠BOD，
∴△PDB∽△BDO，
∴PBBO＝DBDO，即PB5＝43，
∴PB＝203.
例5 解：如解图，连接AF，BE，
例5题解图
∵AE＝EF，
∴∠ABE＝∠DBE.
∵AB是☉O的直径，
∴∠AEB＝∠DEB＝∠AFD＝∠AFB＝90°.
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE，
∴∠BAE＝∠BDE，AB＝DB.
∵AC是☉O的切线，
∴∠BAC＝90°.
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝90°，∠ADC＝∠BAD，
∴∠ADC＝∠BDA.
∵在△ACD和△AFD中，∠ACD＝∠AFD∠ADC＝∠ADFAD＝AD，
∴△ACD≌△AFD(AAS)，
∴AC＝AF＝8，CD＝FD.
∵☉O的半径为5，
∴AB＝BD＝10，
∴BF＝AB2－AF2＝102－82＝6，
∴DF＝BD－BF＝10－6＝4，
∴CD＝4.
课后小结
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作业布置
必做：精练本第60~61页1—10题；
选做：精练本第61页11—12题
板书设计