2026年高考数学考前20天冲刺讲义（四）

这是一份2026年高考数学考前20天冲刺讲义（四），文件包含北京市东城区20252026学年度第二学期高三综合练习二语文试题原卷版docx、北京市东城区20252026学年度第二学期高三综合练习二语文试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。

倒计时08天
➤直线与圆（选填题）……………………………………………………………01
聚焦直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长与切线等综合 5大考向23个核心考点
倒计时07天
➤圆锥曲线（选填题）……………………………………………………………10
聚焦椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质等 5大考向14个核心考点
倒计时06天
➤概率与统计综合（选填题） …………………………………………………29
聚焦概率模型、统计图表、数字特征、分布列与独立性检验等 6大考向21个核心考点
倒计时05天
➤平面向量（选填题）…………………………………………………………43
聚焦向量加减数乘、数量积、夹角、模长、共线垂直与坐标运算等 6大考向12个核心考点
倒计时08天 为者常成，行者常至。
——《晏子春秋》
直线与圆（选填题）
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：①核心考点包括直线的倾斜角与斜率、位置关系（平行垂直）、距离公式（点到线、线到线），圆的方程（标准式、一般式）、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离）、弦长与切线方程、圆与圆的位置关系。②难度以中低档为主，常以数形结合为解题核心，注意几何性质（垂径定理、圆心到直线距离）优先于代数联立。
►高考前沿：聚焦圆上的点到直线距离最值、切线长最值及两圆公共弦方程；突出直观想象与数学运算，强调利用对称性、几何意义快速求解，避免繁琐计算。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 两点间的距离公式
，，
终极考点2 中点坐标公式
，，为的中点，则：
终极考点3 三角形重心坐标公式
终极考点4 直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减，
倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为
直线的斜率与倾斜角的关系：
终极考点5 两点间的斜率公式
，，
终极考点6 直线的斜截式方程
，其中为斜率，为轴上的截距
终极考点7 直线的点斜式方程
已知点，直线的斜率，则直线方程为：
终极考点8 直线的一般式方程
终极考点9 两条直线的位置关系
平行的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
终极考点10 点到直线的距离公式
点，直线，点到直线的距离为：
终极考点11 两条平行线间的距离公式
，，
终极考点12 圆的标准方程
，其中圆心坐标为，半径为
终极考点13 圆的一般方程
（）
配方可得：，
圆心坐标为，半径为
终极考点14 表示圆的充要条件：
终极考点15 点与圆的位置关系
已知点，圆的方程为：
若，点在圆内
若，点在圆上
若，点在圆外
终极考点16 直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，其中为联立方程根的个数，
几何关系，其中为圆心到直线的距离
终极考点17 圆上一点的切线方程
终极考点18 圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
终极考点19 弦长公式
设，，
则
或：
终极考点20 圆上一点到圆外一点的距离的最值
终极考点21 圆上一点到圆上一点的距离的最值
终极考点22 圆上一点到直线距离的最值
终极考点23 过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
真题精研--复盘经典 把握规律
考向01 点到直线的距离公式
1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
解题妙法
三步解题法：
代公式：点 Px0,y0 到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=Ax0+By0+CA2+B2。
注意形式：若直线方程为斜截式 y=kx+b，先化为一般式 kx−y+b=0 再代入。
几何应用：常用于求三角形的高、圆中弦心距、平行线间距离（在一条线上取点），以及判断点与圆的位置关系（圆心到直线距离与半径比较）。
口诀：点线距离代公式，分母根号平方和；分子绝对值莫忘，几何意义要记牢。
考向02 直线与圆的位置关系求参数
2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
考向03 切线问题
4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
解题妙法
三步解题法：
点在圆上：过圆上一点 Px0,y0 的切线只有一条，切线方程：
圆 x−a2+y−b2=r2：x0−ax−a+y0−by−b=r2
圆 x2+y2=r2：x0x+y0y=r2
点在圆外：过圆外一点可作两条切线。
几何法：设切线斜率 k，写出点斜式方程，利用圆心到切线距离等于半径，解出 k（注意斜率不存在的情况）。
切线长公式：l=d2−r2，其中 d 为点到圆心的距离。
公切线：两圆公切线问题，利用圆心距与半径和、差的关系判定条数，再求方程。
口诀：点在圆上用替换，点在圆外设斜率；距离等于半径解，切线长用勾股理。
考向04 求圆的方程
6．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
7．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
8．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________．
解题妙法
三步解题法：
选形式：
标准式：x−a2+y−b2=r2，需确定圆心 a,b 和半径 r。
一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心 −D2,−E2，半径 r=12D2+E2−4F（须 D2+E2−4F>0）。
列方程求参数：根据条件（如过三点、圆心在直线上、与直线相切、弦长等）建立关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组。
过三点：设一般式，代入解 D,E,F。
圆心在直线上：设圆心坐标满足该直线方程。
与直线相切：圆心到直线距离等于半径。
已知弦长：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形。
解出并验证：解方程组，代回方程；注意直径两端点可直接得圆心为它们中点，半径为半长。
技巧：优先利用几何条件（如弦的中垂线过圆心）简化计算。
考向05 最值与范围综合
9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
10．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
11．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
12．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
终极预测--压轴实战 稳拿高分
一、单选题
1．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（ ）
A．B．2C．D．1
3．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（ ）
A．7B．5C．3D．2
4．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（ ）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
7．（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（ ）
A．B．C．0或D．0或
二、多选题
9．（2026·河北保定·一模）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（ ）
A．圆的圆心坐标为B．圆心距
C．圆与圆相交D．圆与圆的公共弦的长为
11．（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（ ）
A．
B．原点在圆的内部
C．圆与圆有且仅有1条公切线
D．直线与圆交于两点，的面积为
12．（2026·河南开封·二模）已知点是圆上一动点，点，点，则（ ）
A．点到直线的距离的最大值为
B．满足的点有2个
C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为
D．的最小值是
三、填空题
13．（2026·山东潍坊·一模）已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________.
14．（2026·重庆·模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为__________．
15．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________．
倒计时07天 临渊羡鱼，不如退而结网。
——《汉书・董仲舒传》
圆锥曲线（选填题）
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：①核心考点为椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程、几何性质（离心率、渐近线、焦点弦、焦半径、通径），常以离心率求值范围、双曲线渐近线与直线关系、抛物线焦点弦性质为压轴点。②难度中档至压轴，强调定义转化（如椭圆上点到两焦点距离之和为2a）、特值法与二级结论应用。
►高考前沿：聚焦离心率的多种求法（构造a、b、c齐次式或用几何条件）及双曲线渐近线与离心率的关联；突出逻辑推理与数学运算，强化焦点三角形、焦半径公式等常用结论的记忆与快速应用。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 切线方程
①过圆上任意一点的切线方程为
②过椭圆上任意一点的切线方程为
③过双曲线上任意一点的切线方程为
④设 Px0,y0 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为yy0=px+x0
终极考点2 切点弦方程
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①圆的切点弦方程为
②椭圆的切点弦方程为
③双曲线的切点弦方程为
④抛物线的切点弦方程为
⑤二次曲线的切点弦方程为
终极考点3 相切的条件
①椭圆与直线相切的条件是
②双曲线与直线相切的条件是
终极考点4 斜率关系
若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率)
终极考点5 常见不等式
已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则()
终极考点6 椭球体积
椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为
终极考点7 纵坐标之和
y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为
终极考点8 渐近线围成的四边形面积
过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为
终极考点9 帕斯卡定理
如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上
终极考点10 斜率定值
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值
终极考点11 椭圆和双曲线的结论汇总
终极考点12 补充结论1
1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：
设斜率为的直线过定点，双曲线方程为，过点与双曲线相切时的斜率为.
（1）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；
（2）当时，直线与双曲线只有一个交点；
（3）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；
（4）当时，直线与双曲线只有一个交点；
（5）当时，直线与双曲线没有交点.
2．如图，是双曲线的焦点，过点作垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为，为原点，则.
3．点是双曲线上任意一点，则点到双曲线的渐近线的距离之积为定值.
4．点是双曲线上任意一点，过点作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于两点，为原点，则平行四边形的面积为定值.
终极考点13 抛物线的结论
如图，抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为.
1．
2．焦半径：，，.
3．焦点弦：.
4．的数量关系：，.
5．三角形的面积.
6．以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与轴相切.
7．直线的斜率之和为零（），即.
8．点三点共线；点三点共线.
9．如图，点是抛物线，为原点，若，则直线过定点.
终极考点14 补充结论2
1.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.则
（1）;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;
（3）的最小值是.
2.与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。
3.与有相同焦点的双曲线方程为
4.与有相同焦点的椭圆方程为：

5.与有相同焦点的双曲线方程为：
6.与有相同离心率的双曲线方程为：
①焦点在轴上时：
②焦点在轴上时：
7.与有相同的渐近线方程为：；
真题精研--复盘经典 把握规律
考向01 求曲线方程
1．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________．
2．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
3．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
5．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
解题妙法
三步解题法：
定类型：根据条件判断曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，注意焦点位置（x轴或y轴）。
列方程求参数：利用已知条件（焦点坐标、顶点坐标、过点、离心率、渐近线等）建立关于 a,b,p 的方程（组）。
椭圆：c2=a2−b2；双曲线：c2=a2+b2；抛物线：y2=2px 或 x2=2py。
解并检验：解出参数，代入标准方程，注意椭圆 a>b>0，双曲线 a>0,b>0，抛物线 p>0，并检查是否有增根。
技巧：已知曲线过两点，可先设一般方程（如椭圆 mx2+ny2=1）代入求解，避免讨论焦点位置。
考向02 圆锥曲线的基本性质
6．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________．
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.
8．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
9．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
解题妙法
三步解题法：
回顾定义：椭圆定义 PF1+PF2=2a；双曲线定义 PF1−PF2=2a；抛物线定义 PF=d（到焦点距离等于到准线距离）。
几何性质：
椭圆/双曲线：顶点、焦点、长轴/实轴、短轴/虚轴、渐近线（双曲线）、准线、焦半径。
抛物线：顶点、焦点、准线、通径（长为 2p）。
利用定义转化：涉及椭圆或双曲线上一点到两焦点的距离问题，优先考虑定义，常与三角形中位线、余弦定理结合。选填中可直接用焦半径公式（椭圆 PF1=a+ex0 等）。
口诀：定义优先解距离，焦半径公式要熟；双曲渐近线斜率，抛物线通径 2p。
考向03 离心率综合
10．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
14．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．5C．D．
15．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．
16．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
解题妙法
三步解题法：
写出基本关系：椭圆 e=ca（00 保证相交。
弦长公式：AB=1+k2⋅x1+x22−4x1x2（消 y 时）或 AB=1+1k2⋅y1+y22−4y1y2。过焦点的弦可用焦半径公式简化（如抛物线 AB=x1+x2+p）。选填中常直接利用韦达定理计算。
口诀：设线联立韦达用，弦长公式两点距；过焦弦长有捷径，抛物线中加 p 项。
考向05 多选题综合
22．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
23．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
24．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A．B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D．当点在C上时，
25．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A．B．
C．C的离心率为D．当时，四边形的面积为
26．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A．B．
C．D．
解题妙法
三步解题法：
逐项判断：多选题常涉及曲线形状、离心率范围、焦点弦性质、最值问题、轨迹方程等。先判断每个选项的真假，可结合特殊值、图形特征、常见结论（如椭圆中焦点三角形面积 S=b2tanθ2）快速甄别。
几何直观：画出草图，利用圆锥曲线的对称性、通径最短、椭圆双曲线的范围（x≤a 等）排除明显错误的选项。
代数验证：对不易直观判断的选项，联立方程或用含参运算进行简单验证，注意多选题往往有2个或3个正确选项，选全得分，选错或少选不得分，不确定的选项慎重对待。
技巧：多选题中常见陷阱，忽视双曲线的渐近线限制、忽略椭圆中 a>b>0、抛物线开口方向等。用特例（如取 e=0.5 或直角情形）快速检验。
终极预测--压轴实战 稳拿高分
一、单选题
1．（2026·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（ ）
A．B．2C．D．4
2．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．或
3．（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2B．C．3D．
4．（2026·河北保定·二模）已知直线 为双曲线的一条渐近线，则（ ）
A．B．645C．D．5
5．（2026·广东惠州·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（ ）
A．B．C．2D．
6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2026·浙江金华·二模）抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．8C．10D．
9．（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2026·广东广州·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
11．（2026·云南昭通·二模）已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知椭圆，过其右焦点作直线交椭圆于，两点，取点关于轴的对称点，若点为的外心，则（ ）
A．B．C．D．以上都不对
13．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（2026·青海西宁·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为，若渐近线上存在关于原点对称的两点M，N (M在第一象限)，且，线段的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
15．（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，则（ ）
A．B．的方程为
C．原点到直线的距离为D．
16．（2026·四川达州·二模）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．的周长为12B．存在点，使
C．的最大值为12D．到的距离的最大值为4
17．（2026·山西吕梁·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．内切圆半径的最大值为
C．椭圆C内接矩形面积的最大值为
D．若，则的最小值是1
18．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的面积之比为
19．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（在第一象限内），为原点，若，点到两条渐近线的距离之积为，则（ ）
A．的渐近线方程为B．的离心率为2
C．面积的最小值为D．直线，的倾斜角之和为
20．（2026·安徽马鞍山·二模）已知曲线，则（ ）
A．曲线关于直线对称
B．曲线与轴有4个公共点
C．曲线上存在一点，使得
D．曲线上任意一点，都有
21．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知曲线，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线是中心对称图形
B．曲线与直线有三个不同的交点
C．该曲线可以成为一个函数的图象
D．当时，
三、填空题
22．（2026·宁夏·一模）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是____________.
23．（2026·广东湛江·二模）已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______.
24．（2026·河南开封·二模）抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，为上一点，若，则__________．
抛物线的焦点，准线方程为，
25．（2026·河南焦作·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________．
倒计时06天 士不可以不弘毅，任重而道远。
——《论语・泰伯》
概率与统计综合（选填题）
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：①核心考点包括古典概型、互斥与对立事件、相互独立事件、条件概率、全概率公式，统计方面考查频率分布直方图（估计均值中位数）、样本数字特征（平均数、方差）、抽样方法（简单随机抽样、分层抽样）。②难度中低档为主，强调概念辨析与公式应用，注意概率中“有序无序”及统计中“方差变化规律”。
►高考前沿：聚焦条件概率与全概率公式的实际情境（如疾病检测、抽签问题）及统计图表的快速读取；突出数据分析与数学运算，培养用排除法、特殊值法处理概率大小比较与统计结论判断。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1-10 概率综合
等可能性事件的概率.
互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
条件概率
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
条件概率的三种求法
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
贝叶斯公式
一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有
终极考点1-11 期望方差及样本数字特征
1. 离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）;
（2）.
2. 数学期望
3. 数学期望的性质
（1）.
（2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
4. 方差
5. 标准差=.
6.方差的性质
(1)；
(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
7.方差与期望的关系
.
8.正态分布密度函数
，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
9.对于，取值小于x的概率
.
.
10.数字样本特征
众数：在一组数据中出现次数最多的数
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
平均数：，反映样本的平均水平
方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定；
标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
极差：等于样本的最大值最小值
11.求随机变量X的分布列的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，.
真题精研--复盘经典 把握规律
考向01 样本数字特征综合
1．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ）
A．8B．9C．12D．18
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
解题妙法
三步解题法：
明确特征定义：
平均数 x=1n∑xi，中位数（排序后中间位置值），众数（出现最多的数），极差（最大减最小）。
方差 s2=1n∑xi−x2=1n∑xi2−x2，标准差 s=s2。
利用性质巧算：
若每个数据加减常数，平均数变化相同，方差不变；若乘以常数，平均数乘以该数，方差乘以平方。
两组数据合并后的平均数与方差可用加权公式。
由频率分布直方图估算：
平均数用组中值乘以频率之和；中位数找累计频率0.5对应的数值；众数是最高矩形底边中点。
口诀：平均数看重心，方差看离散；直方图估特征，组中值与频率。
考向02 古典概率
4．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______．
8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.
解题妙法
三步解题法：
确定样本空间：计算总基本事件数 n（常用排列组合或列举法）。
求事件A包含的基本事件数 m：利用排列、组合、分步计数原理，注意“有序”还是“无序”。
计算概率 PA=mn：约分至最简分数或小数。选填中常用正难则反（对立事件）、捆绑法、插空法等技巧。
口诀：古典概率等可能，排列组合算总数；特殊优先正难反，分子分母要写对。
考向03 条件概率
9．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
10．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．
解题妙法
三步解题法：
识别条件：已知某事件 A 发生的条件下，求事件 B 的概率，记为 PB|A。
套公式：PB|A=PABPA（PA>0）。
若为古典概型，也可用缩小样本空间法：PB|A=nABnA。
计算并化简：先算出 PAB 和 PA，再相除；注意 A,B 独立时 PB|A=PB。
技巧：条件概率的常用场景——不放回抽奖、已知某结果推断原因（结合全概率）；选填中优先采用缩小样本空间法，直接数个数。
考向04 独立重复事件的概率
11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
解题妙法
三步解题法：
判断模型：每次试验结果只有两种可能（成功/失败），且各次独立，概率 p 不变 → 二项分布 X∼Bn,p。
公式计算：恰好发生 k 次的概率 PX=k=Cnkpk1−pn−k。
至少发生 k 次：需对 k,k+1,…,n 求和，常用对立事件简化。
注意“n次独立重复试验”与“有放回抽取”等价；若为“无放回”则用超几何分布，需区分。
口诀：独立重复二项式，Cnkpkqn−k；至少问题用对立，p 固定是前提。
考向05 正态分布
12．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．越接近1，相关性越强
D．越接近0，相关性越弱
13．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A．B．
C．D．
解题妙法
三步解题法：
标准正态化：若 X∼Nμ,σ2，则 Z=X−μσ∼N0,1。
利用对称性：曲线关于 x=μ 对称，PX≤μ=0.5；Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973。
求概率：将所求区间转化为 Z 的区间，利用标准正态分布表（或给定数值）计算；选填中常直接使用3σ原则估算。
技巧：对于 PX>a，若 a>μ，则 PX>a=PZ>a−μσ=12−P0