2026年高考数学考前20天冲刺讲义（一）

这是一份2026年高考数学考前20天冲刺讲义（一），文件包含北京市东城区20252026学年度第二学期高三综合练习二语文试题原卷版docx、北京市东城区20252026学年度第二学期高三综合练习二语文试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。

倒计时20天
➤解三角形与三角函数（解答题）………………………………………………01
聚焦高考常考的正弦余弦定理与解三角形综合 7大考向10个核心考点
倒计时19天
➤立体几何（解答题）……………………………………………………………45
以空间几何体为载体，考查线面位置关系、空间角与体积计算等 7大考向6个核心考点
倒计时18天
➤概率统计（解答题 ） …………………………………………………………125
聚焦统计图表分析、概率模型与分布列、统计案例应用 4大考向21个核心考点
倒计时17天
➤导数及其应用（解答题 ） ……………………………………………………167
聚焦导数单调性与极值最值、不等式证明与恒成立等综合问题 6大考向7个核心考点
倒计时20天 道阻且长，行则将至；行而不辍，未来可期。
——《荀子・修身》
解三角形与三角函数（解答题）
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：①多以正弦定理、余弦定理、面积公式及边角互化为核心设问方式。
②与三角函数、平面向量、不等式的跨模块综合，是命题的延伸与创新方向。
►高考前沿：聚焦真实情境建模，考查边角关系求解与最值范围分析；突出逻辑推理与数学运算核心素养。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 正弦定理
基本公式：
（其中为外接圆的半径）
变形
①
②
③
④
应用：边角互化
①
②
③
或（舍）.
终极考点2 三角形中三个内角的关系
，，
终极考点3 余弦定理
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
终极考点4 三角形的面积公式
终极考点5 角平分线定理
（1）在中，为的角平分线，则有
（2）
（3）（库斯顿定理）
（4）
终极考点6 张角定理
终极考点7 倍角定理
在中,三个内角的对边分别为,
(1)如果,则有:
(2)如果,则有:
(3)如果,则有:
倍角定理的逆运用
在中,三个内角A、B、C的对边分别为,
(1)如果,则有:。
(2)如果,则有:。
(3)如果,则有:。
终极考点8 中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
终极考点9 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象、性质对比
终极考点10 三角函数的伸缩偏移变换及三角函数型的图象与性质
①；②；③A；④；⑤；⑥A；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪单调递增；⑫单调递减；⑬B
真题精研--复盘经典 把握规律
考向01 正弦定理边角互化
（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理有，解得；
（2）如图所示，若存在，则设其边上的高为，
若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；
若选②，，由有，由正弦定理得,所以，
所以由余弦定理得,
此时三角形是存在的，且唯一确定，
所以,即，
所以边上的高；
若选③，的面积是，则，
解得，由余弦定理可得可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，
这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即.
（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【详解】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【详解】（1）由正弦定理可得即，
又，所以，即，解得，
所以.
（2）因为，且，，
所以，当且仅当时等号成立，
当取最小值时，取最大值，最大值，
所以的面积的最大值为.
（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【详解】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
解题妙法
三步解题法：
边化角：出现边的齐次式（如 a+b、a2 等），将 a=2RsinA 等代入，转化为三角方程。
角化边：出现正弦的齐次式（如 sinA+sinB），将 sinA=a2R 等代入，转化为边的关系。
统一求解：利用三角恒等变换或代数运算，结合内角和 A+B+C=π 得到结果。
口诀：边角互化看齐次，正弦定理是钥匙；两边同除 2R 巧消元。
考向02 余弦定理
（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
解题妙法
三步解题法：
选形式：
已知三边求角：csA=b2+c2−a22bc
已知两边及夹角求第三边：a2=b2+c2−2bccsA
代入计算：将已知边长和角度代入公式，求出余弦值或边长。
定角/边：由余弦值结合 0∘0 的区间为单调递增区间；
f′x0时，我们有P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以记成AB)
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)
(1)0≤P(B|A)≤1，
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
超声波检查结果组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
时间范围学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
其他
合计
优秀
45
50
95
不优秀
177
308
485
合计
222
358
580
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30
对照组
试验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
试验组
14
6
20
合计
20
20
40
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
日均运动时间（小时）
男生人数
5
20
20
10
女生人数
15
20
6
4
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
日均运动时间
合计
男
25
30
55
女
35
10
45
合计
60
40
100
施肥量
2
3
4
5
6
青菜产量
4200
4300
4350
4380
4400
2
4
6
8
10
w
58
72
80
90
100
0
2
4
0
10
20
0
1
2
3
0
1
2
3
X
1
2
3
P
0
1
2
0
1
2
Y
30
55
80
P
0
2
3
4
0.1
0.16
0.1
0.64
0
2
3
6
0.1
0.4
0.25
0.25
0
1
2
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
0
增
极大值
减
0
0
减
极小值
增