数学（四）-2025年高考考前终极冲刺讲义（含答案解析）

这是一份数学（四）-2025年高考考前终极冲刺讲义（含答案解析），文件包含数学四-2025年高考考前20天终极冲刺攻略原卷版docx、数学四-2025年高考考前20天终极冲刺攻略解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共86页， 欢迎下载使用。
第四辑
平面向量（选填题）…………………………………………………………………01
排列组合与二项式定理（选填题）…………………………………………………05
事件与概率、分布列与统计综合（选填题）……………………………………… 11
复数（选填题）………………………………………………………………………20
集合与常用逻辑用语（选填题）……………………………………………………24
平面向量（选填题）
近三年新高考数学平面向量选填题考查情况总结​
考点：涵盖向量垂直的坐标表示（2024年新课标Ⅰ卷）、数量积运算及向量垂直（2024年新课标Ⅱ卷）、向量线性运算与垂直（2023年新课标Ⅰ卷）、数量积运算律（2023年新课标Ⅱ卷）、用基底表示向量（2022年新课标Ⅰ卷）、向量夹角与线性运算（2022年新课标Ⅱ卷）。​
题型：多为选择题，分值5分，侧重考查向量的坐标运算、数量积、垂直关系及线性运算，注重对向量基本概念和运算规则的理解与应用。
2025年新高考平面向量选填题高考预测​
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5分。​
考查方向：延续对向量垂直、数量积、线性运算的考查，可能强化坐标运算与几何意义的结合，或涉及向量模长、夹角的综合计算，注重运算能力与逻辑推理，如根据向量垂直或数量积求参数，或利用坐标运算解决向量关系问题。
向量的运算
两点间的向量坐标公式：
，，终点坐标始点坐标
向量的加减法
，
，
向量的数乘运算
，则：
向量的模
，则的模
相反向量
已知，则；已知
单位向量
向量的数量积
向量的夹角
投影向量
向量在上的投影向量为
向量的平行关系
向量的垂直关系
向量模的运算
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第一题】（福建省福州第一中学2024-2025学年高三数学试题）
已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ）
A．B．3C．3或D．或7
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ．
【名校预测·第四题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第五题】（重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三下学期二诊数学试题）
已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．3
【名师押题·第一题】已知向量，，若，则的值为 ．
【名师押题·第二题】已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第三题】已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ）
A．B．C．D．2
【名师押题·第四题】在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（ ）.
A．1B．C．D．
【名师押题·第五题】在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第六题】已知平面向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
排列组合与二项式定理（选填题）
近三年新高考数学排列组合与二项式定理选填题考查情况总结​
考点：涵盖排列问题（2024年新课标Ⅱ卷方格表选方格）、分类加法计数（2023年新课标Ⅰ卷）、分层抽样组合计数（2023年新课标Ⅱ卷）、二项式展开式系数（2022年新课标Ⅰ卷）、相邻排列问题（2022年新课标Ⅱ卷），侧重计数原理与公式应用。​
题型：均为选填题，分值5分，注重实际情境中的计数与二项式定理简单计算。
2025年新高考排列组合与二项式定理选填题高考预测​
题型与分值：预计为选填题，分值5分。​
考查方向：延续排列组合实际应用（如分组、排队），二项式定理求特定项系数，或与概率等简单结合，强化计数原理（分类、分步）及公式运用，考查分析与计算能力。
1.分类计数原理（加法原理）
.
2.分步计数原理（乘法原理）
.
3.排列数公式
==.(，∈N*，且)．注:规定.
4.组合数公式
===(∈N*，，且).
5.排列数与组合数的关系
.
6．单条件排列
以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有种；
②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.
②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当时，无解；当时，有种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.
7．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有
.
8.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式
.
典例1
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
典例2
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
典例4
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【名校预测·第一题】（黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟数学试题）
若在的展开式中，含项的系数为80，则 ．（用数字作答）
【名校预测·第二题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．24B．6C．D．
【名校预测·第三题】（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟试卷）
2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ）
A．16种B．32种C．48种D．64种
【名校预测·第四题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有 种（用数字作答）
【名校预测·第五题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研数学试卷）
现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【名师押题·第一题】将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作答）
【名师押题·第二题】若二项式展开式中的常数项为160，则 ．
【名师押题·第三题】已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为 .
【名师押题·第四题】一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答）
【名师押题·第五题】甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（ ）
A．36种B．42种C．54种D．72种
【名师押题·第六题】为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（ ）
A．160B．192C．224D．256
事件与概率、分布列与统计综合（选填题）
近三年新高考数学事件与概率、分布列与统计综合选填题考查情况总结​
考点：涵盖正态分布实际应用（2024年新课标Ⅰ卷）、古典概型概率计算（2024年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅰ卷）、统计量分析（均值、方差、极差、中位数，如2024年新课标Ⅱ卷、2023年新课标Ⅰ卷）、独立事件概率（2023年新课标Ⅱ卷），注重实际情境与概念结合。​
题型：以选择题为主，分值5-6分，侧重考查概率统计知识在实际问题中的应用及基本计算能力。
2025年新高考事件与概率、分布列与统计综合选填题高考预测​
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6分。​
考查方向：延续正态分布、古典概型、统计量计算的考查，可能结合分布列简单问题，强化实际应用（如生活场景中的概率计算、统计量分析），注重对概念的理解与运算准确性，如根据统计图表分析数据特征，或利用概率公式解决实际问题。
等可能性事件的概率.
互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
7.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）;
（2）.
8. 数学期望
数学期望的性质
（1）.
（2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
10. 方差
11. 标准差=.
12.方差的性质
(1)；
(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
13.方差与期望的关系
.
14.正态分布密度函数
，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
15.对于，取值小于x的概率
.
.
条件概率
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
条件概率的三种求法
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
贝叶斯公式
一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有
数字样本特征
众数：在一组数据中出现次数最多的数
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
平均数：，反映样本的平均水平
方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定；
标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
极差：等于样本的最大值最小值
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A．B．
C．D．
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
典例4
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
典例5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【名校预测·第一题】（025届湖南省长沙市雅礼中学高三4月综合自主测试数学试题）
语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
（多选）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【名校预测·第三题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
（多选）样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则的平均数为
B．若，则的方差为0
C．若的极差是，则
D．若，则这组数据的第75百分位数是
【名校预测·第四题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件D．与为互斥事件
【名校预测·第五题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学数学试题）
一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，当为奇数时，；当为偶数时，,则X的数学期望为 （用n表示），Y的数学期望为 （用n表示）．
【名师押题·第一题】某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ．
【名师押题·第二题】已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系无法判断
【名师押题·第三题】某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第四题】有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第五题】为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．28B．24C．32D．27
【名师押题·第六题】人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为 ．
复数（选填题）
近三年新高考数学复数选填题考查情况总结​
考点：涵盖复数除法、乘方运算（2024年新课标Ⅰ卷）、求模（2024年新课标Ⅱ卷）、共轭复数计算（2023年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅰ卷）、复数乘法及象限位置（2023年新课标Ⅱ卷、2022年新课标Ⅱ卷），侧重复数基本运算与概念。​
题型：均为选择题，分值5分，注重对复数运算法则（乘、除）、共轭复数、模及几何意义（象限）的考查。
2025年新高考复数选填题高考预测​
题型与分值：预计为选择题，分值5分。​
考查方向：延续对复数乘除运算、共轭复数、模的考查，可能结合复数方程或几何意义（如对应点所在象限），强化对复数基本概念和运算法则的掌握，考查运算准确性与概念理解。
虚数单位：，规定
虚数单位的周期
复数的代数形式：Z=，叫实部，叫虚部
复数的分类
复数相等：若
共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；，
复数的几何意义：复数复平面内的点
复数的模：， 则 ；
典例1
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【名校预测·第一题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）
复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第二题】（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟试卷）
复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【名校预测·第三题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
已知复数z满足，则（ ）
A．B．2C．D．1
【名校预测·第四题】（黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟数学试题）
复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ）
A．B．1C．D．
【名校预测·第五题】（河北省石家庄市第一中学2025届高三第二次模拟考试数学试题）
已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
【名师押题·第一题】若，则（ ）
A．B．C．D．2
【名师押题·第二题】已知是虚数单位，，则（ ）
A．B．C．0D．3
【名师押题·第三题】若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第四题】复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【名师押题·第五题】已知z是方程的一个复数根，则（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第六题】已知复数，（为虚数单位）则的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
集合与常用逻辑用语（选填题）
近三年新高考数学集合与常用逻辑用语选填题考查情况总结​
考点：涵盖集合的交集运算（2024年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅱ卷）、由集合包含关系求参数（2023年新课标Ⅱ卷）、解不等式（幂函数单调性解不等式、一元二次不等式、绝对值不等式）、命题真假判断及否定（2024年新课标Ⅱ卷）、充要条件证明（2023年新课标Ⅰ卷）。​
题型：均为选择题，分值5分，侧重集合运算、不等式求解及逻辑用语的基本概念应用，注重基础运算与逻辑判断能力。
2025年新高考集合与常用逻辑用语选填题高考预测​
题型与分值：预计为选择题，分值5分。​
考查方向：延续集合交集、并集运算，可能结合不等式（如一元二次不等式、绝对值不等式）求解集合；强化命题真假判断、充要条件分析，或涉及简单逻辑联结词，注重基础概念与运算的准确性，如根据集合关系求参数范围，或判断命题的否定及真假。
集合有个元素，子集有个，真子集有个，非空真子集个数为个.
，
充分条件与必要条件
对于若则类型中，为条件，为结论
若充分性成立，若必要性成立
若，，则是的充分必要条件（简称：充要条件）
若，，则是的充分非必要条件（充分不必要条件）
若，，则是的必要非充分条件（必要不充分条件）
若，，则是的既不充分也不必要条件
全称量词命题与存在量词命题
全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题
存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
全称量词命题：，，否定为：，
存在量词命题的否定
存在量词命题：，，否定为：，
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟试题）
若集合，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知集合，则中元素的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第四题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【名校预测·第五题】（广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年数学试题）
已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【名师押题·第一题】已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第二题】已知集合，，则（ ）
A．，B．C．D．
【名师押题·第三题】已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第四题】已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【名师押题·第五题】已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【名师押题·第六题】“”是“”的（ ）
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
3
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．1D．2
向量垂直的坐标表示；平面向量线性运算的坐标表示
2024年新高考II卷
3
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．
C． D．1
数量积的运算律；已知数量积求模；垂直关系的向量表示
2023年新高考I卷
3
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示；利用向量垂直求参数
2023年新高考II卷
13
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
数量积的运算律
2022年新高考I卷
3
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．
C．D．
用基底表示向量
2022年新高考II卷
4
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．5D．6
向量夹角的坐标表示；平面向量线性运算的坐标表示
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考II卷
14
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
全排列问题；写出基本事件
2023年新高考I卷
13
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题
2023年新高考II卷
3
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题；抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
2022年新高考I卷
13
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
两个二项式乘积展开式的系数问题
2022年新高考II卷
5
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种
C．36种D．48种
元素（位置）有限制的排列问题；相邻问题的排列问题
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
9
6
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
B．
C．
D．
指定区间的概率；正态分布的实际应用
2024年新高考I卷
14
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
求离散型随机变量的均值；均值的性质；计算古典概型问题的概率
2024年新高考II卷
4
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；计算几个数的中位数
2023年新高考I卷
9
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
计算几个数的中位数；计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差
2023年新高考II卷
12
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
利用互斥事件的概率公式求概率；独立事件的乘法公式；独立重复试验的概率问题
2022年新高考I卷
5
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B．C． D．
计算古典概型问题的概率；实际问题中的组合计数问题
2022年新高考II卷
13
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
指定区间的概率
条件概率的定义
条件概率的性质
已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．
当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以记成AB)
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)
(1)0≤P(B|A)≤1，
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
亩产量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1050，1100）
[1100，1150）
[1150，1200）
频数
6
12
18
30
24
10
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
2
5
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
复数的除法运算；复数的乘方
2024年新高考II卷
1
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0B．1
C．D．2
求复数的模
2023年新高考I卷
2
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．
C．0D．1
共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
2023年新高考II卷
1
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
在各象限内点对应复数的特征；复数代数形式的乘法运算
2022年新高考I卷
2
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．1D．2
共轭复数的概念及计算
2022年新高考II卷
2
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（ ）
A．B．
C．D．
复数代数形式的乘法运算
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
1
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
交集的概念及运算；由幂函数的单调性解不等式
2024年新高考II卷
2
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．和q都是真命题
C．p和都是真命题
D．和都是真命题
全称量词命题的否定及其真假判断；存在量词命题的否定及其真假判断；判断命题的真假
2023年新高考I卷
1
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2023年新高考I卷
7
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和
2023年新高考II卷
2
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1
C．D．
根据集合的包含关系求参数
2022年新高考I卷
1
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
交集的概念及运算
2022年新高考II卷
1
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
交集的概念及运算；公式法解绝对值不等式