数学（二）-2025年高考考前终极冲刺讲义（含答案解析）

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第二辑
数列（解答题）……………………………………………………………………01
新定义（解答题）…………………………………………………………………07
函数及其性质（选填题 ）……………………………………………………… 12
三角函数的图象及其性质（选填题）……………………………………………19
三角恒等变换（选填题）…………………………………………………………26
数列（解答题）
近三年新高考数学数列解答题考查情况总结
1.考点方面
数列基本量计算：等差数列通项公式前项和公式的基本量计算是核心。如2023年新课标I卷、Ⅱ卷，2022年新高考卷均涉及。数列通顶公式求解：利用定义法（如等差数列定义）、与的关系(求通项。如2022年新高考I卷通过为等差数列求通项。
数列求和与综合：分组求和（如2023年新课标II卷)、裂项相消法（如2022年新高考I卷证明不等式)；数列与不等式结合（如证明。
2.题目设置方面
通常设置两问，第一问求数列通项公式，第二问求和或证明不等式、比较大小（如2023年新课标卷证明时整体考点稳定，注重对数列基本公式、方法的理解与运用，兼顾计算能力和逻辑推理能力的考查。
题型与分值：预计以一道解答题（分值约 12 - 17 分）呈现，设置两问，梯度分明。​
考查方向​
数列基本性质：等差数列、等比数列的通项公式与前 n项和公式仍是考查重点，可能结合递推关系求通项。​
数列求和方法：裂项相消法、分组求和法、错位相减法等仍会考查，尤其裂项相消在证明不等式或求和中出现概率高。​
综合应用：数列与不等式的综合（如证明数列和的范围、不等式恒成立求参数），或与函数结合考查数列的单调性、最值。​
计算与推理：注重基本概念与公式的灵活运用，第二问可能设置一定计算量或推理过程，如通过数列求和证明不等式，考查逻辑严谨性和运算准确性。
等差数列通项公式： 或
等比数列通项公式：
通项公式的构造
（1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解
（2）已知用求通项
（3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式
（4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法
（5）已知用求通项公式，其本质是除以
（6）已知用求通项公式，其本质是取到数
（7）已知用求通项公式，其本质是取对数
的类型，公式
数列求和的常用方法：
对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.
即
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
典例1
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
典例2
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
典例3
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【名校预测·第一题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下数学试卷）
已知正项数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【名校预测·第二题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：．
【名校预测·第三题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【名师押题·第一题】已知数列满足，．
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【名师押题·第二题】已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求；
(2)若，求关于n的表达式．
【名师押题·第三题】已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【名师押题·第四题】已知数列的前n项和为，且，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)设，求数列的前n项和．
(3)设，证明：．
【名师押题·第五题】已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
新定义（解答题）
新高考数学新定义解答题考查情况总结​
考点方面：聚焦于对新定义概念的理解与运用，如 2024 年新高考全国 I 卷 “可分数列” 的新定义，结合等差数列通项公式的基本量计算，以及数列与概率的交汇考查。注重知识的综合运用，要求考生快速理解新定义，并调用已有知识（如数列性质、概率计算）进行分析。​
题目设置方面：通常设置多问，第一问常为具体实例探索（如写出满足条件的所有可分数列），帮助考生初步理解新定义；后续问题逐步深入（如证明某数列符合新定义、计算相关概率并证明不等式），对数学抽象、逻辑推理和运算求解能力要求较高。整体强调对新定义的深度理解与综合应用，考查考生学习新知识并解决问题的素养。​
2025 年新高考新定义解答题高考预测​
题型与考查形式：预计 2025 年新高考仍会以新定义题考查学生创新思维与综合能力，可能涉及更多元的知识交汇，如数列与函数、几何、概率统计等的结合。题目或设多问，第一问引导理解新定义，后续问题增加难度，深入考查应用能力。​
考点趋势：除数列相关新定义外，函数、几何领域的新定义考查概率增加。例如，给出函数的新性质定义，或几何图形的新判定规则，要求考生通过分析、推理、计算解决问题。注重对数学抽象、逻辑推理和创新意识的考查，计算与证明过程可能更复杂，强调基础知识的灵活运用与思维的开放性。
一、数列新定义问题
1. 考察对定义的理解。
2. 考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.
3. 考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想需要熟练掌握.
二、函数新定义问题
涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.
关于新定义题的思路有：
1.找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
2.由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
3.将已知条件代入新定义的要素中；
4.结合数学知识进行解答.
三、集合新定义问题
对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1.紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2.用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3.涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
4.认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化化归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
典例1
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和．
(1)若．
①若，，求；
②若为偶数，证明：；
(2)若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合．
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列．
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差．
【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数.
(1)写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简；
(2)证明：；
(3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求．
【名校预测·第四题】（山西大学附属中学校2024-2025学年高三下学期3月模拟数学试题）
定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知．
(1)求出f（x）的“优秀区间”；
(2)设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明：（参考数据：）．
【名师押题·第一题】已知集合，集合B满足．
(1)判断，，，中的哪些元素属于B；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则．
【名师押题·第二题】已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”.
(1)判断是否是上的“函数”？请说明理由；
(2)证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；
(3)已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值.
【名师押题·第三题】已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作．若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为．
(1)求数列的通项公式；
(2)当数列的项数为时，求的值；
(3)若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值．
【名师押题·第四题】设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列．
(1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式；
(2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值；
(3)证明：不存在“等比关联数列”．
【名师押题·第五题】设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的．
(1)如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值；
(2)已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项；
(3)设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值．
函数及其性质（选填题）
近三年新高考数学函数及其性质选填题考查情况总结
1.考点方面
函数基本性质：单调性（如根据分段函数或复合函数单调求参数）、奇偶性（由奇偶性求参数或判断性质）、对称性（利用函数对称性解决问题）是核心考点。例如 2024 年新课标 Ⅰ 卷第 6 题考查分段函数单调求参数，2023 年新课标 Ⅱ 卷第 4 题由奇偶性求 a 值。
函数综合应用：涉及函数值比较（2024 年新课标 Ⅰ 卷第 8 题）、函数零点与参数关系（2024 年新课标 Ⅱ 卷第 6 题）、不等式恒成立求最值（2024 年新课标 Ⅱ 卷第 8 题）。还考查抽象函数性质（2022 年新课标 Ⅱ 卷第 8 题利用函数方程求累加和）。
导数与函数结合：如 2022 年新课标 Ⅰ 卷第 12 题通过导函数与原函数对称性的关系解题，体现导数工具性。
2.题目设置方面
以选择题为主，分值 5 分，题干简洁但综合性强。注重对函数性质的深度理解与灵活运用，如根据单调性列不等式组、利用奇偶性建立方程、结合对称性推导函数值关系等。
1.题型与分值：预计 2025 年仍以选择题或填空题形式出现，分值 5-6 分，保持对函数核心性质的考查。
2.考查方向
核心性质深化：函数的单调、奇偶、对称性质仍是重点，可能结合导数考查复杂函数单调性，或通过奇偶性与对称性的综合推导函数特征。
综合应用拓展：函数与方程零点、不等式的综合会更常见，如根据零点个数求参数范围，或利用函数单调性解不等式。也可能出现函数与数列的简单交汇，如通过函数周期性求数列和。
创新与灵活度：可能引入新情境或新定义（如给定特殊函数方程），考查对函数性质的迁移应用能力，注重思维灵活性与对知识的综合运用。
单调性
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的四则运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
典例4
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第一题】（山东省实验中学2025届高三第五次诊断考试数学试题）
函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
（多选）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．
【名校预测·第三题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
（多选）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ）
A．2026B．2025C．2024D．2023
【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
（多选）已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
【名师押题·第一题】已知是奇函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【名师押题·第二题】若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第三题】已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（ ）
A．B．C．1D．
【名师押题·第四题】已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ）
A．B．C．0D．1
【名师押题·第五题】（多选）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足当时，，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
三角函数的图象及其性质（选填题）
近三年新高考数学三角函数的图象及其性质选填题考查情况总结
考点：涉及函数图象交点（如2024年新课标Ⅰ卷）、性质比较（2024年新课标Ⅱ卷）、性质与参数求解（2023年新课标Ⅰ卷）、图象与特殊点（2023年新课标Ⅱ卷）、综合性质判断（2022年新课标Ⅱ卷）。
题型：以选择题为主，分值5或6分，侧重考查对三角函数图象和性质（周期、对称轴等）的理解与应用。
2025 年新高考预测题型与分值：预计为选择题或填空题，分值约 5 -6分。
考查方向：深化核心性质（如结合多性质求参数）；拓展图象应用（如交点问题、求参问题）；综合创新（与导数结合求切线或考查图象变换）。
特殊角的三角函数值
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
三角函数的图象与性质
三角函数型函数的图象和性质
正弦型函数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
正切型函数性质
的周期公式为：
三角函数的伸缩平移变换
伸缩变换（，是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为；
若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比
平移变换（，是平移量）
平移法则：左右，上下
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
典例4
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【名校预测·第一题】（2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题）
（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度
C．在上的值域为
D．两个相邻的零点之差的绝对值为
【名校预测·第二题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第五题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是
A．B．
C．D．
【名师押题·第一题】已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【名师押题·第二题】已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第三题】下列关于函数说法正确的是（ ）
A．是函数图象的一个对称中心B．的值域为
C．在区间上单调递减D．直线是函数图象的一条对称轴
【名师押题·第四题】（多选）已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减D．在区间上仅有2个零点
【名师押题·第五题】（多选）已知函数，为常数，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．在，上单调递增
D．若对于任意的，函数（a为常数）的图象均与曲线总有公共点，则
三角恒等变换（选填题）
近三年新高考数学三角恒等变换选填题考查情况总结
1.考点：聚焦三角函数化简求值，涉及和、差角公式（2024 年新课标 Ⅰ 卷）、正切公式（2024 年新课标 Ⅱ 卷）、二倍角公式（2023 年新课标 Ⅰ 卷）、半角公式（2023 年新课标 Ⅱ 卷）等。
2.题型：以选择题为主，分值 5 分，侧重考查公式的灵活运用与化简求值能力。
1.题型与分值：预计为选择题或填空题，分值 5-6 分。
2.考查方向：延续对和差角、二倍角等公式的考查，可能与其他知识结合，注重公式的灵活运用，考查化简求值问题。
正弦的和差公式
，
余弦的和差公式
，
正切的和差公式
，
正弦的倍角公式
余弦的倍角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
正切的倍角公式
推导公式
辅助角公式
，，其中，
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【名校预测·第一题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
设是锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第三题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）
已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第四题】（2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题）
已知，则 .
【名校预测·第五题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
则（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第一题】已知，都是锐角，，，则 ．
【名师押题·第二题】已知，且满足，则，则 ．
【名师押题·第三题】已知，且，则（ ）
A．3B．2C．D．
【名师押题·第四题】已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【名师押题·第五题】已知，，且满足，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
年份
题号
分值
题干
2023年新高考I卷
20
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计算
2023年新高考II卷
18
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
利用定义求等差数列通项公式；分组（并项）法求和；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和
2022年新高考I卷
17
10
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用与关系求通项或项；利用等差数列通项公式求数列中的项
2022年新高考II卷
17
10
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式能成立（有解）问题
年份
题号
分值
题干
2024年新高考I卷
19
17
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
数列新定义；等差数列通项公式的基本量计算，数列与概率交汇结合
年份
题号
分值
题干
2024年新高考I卷
6
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
B．
C．D．
判断指数函数的单调性；根据分段函数的单调性求参数；研究对数函数的单调性
2024年新高考I卷
8
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
求函数值；比较函数值的大小关系
2024年新高考II卷
6
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
B．
C．1D．2
函数奇偶性的应用；根据函数零点的个数求参数范围；函数奇偶性的定义与判断；求余弦（型）函数的奇偶性
2024年新高考II卷
8
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
B．
C．D．1
由对数函数的单调性解不等式；函数不等式恒成立问题
2023年新高考I卷
4
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；已知二次函数单调区间求参数值或范围
2023年新高考I卷
11
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析
2023年新高考II卷
4
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
B．0
C．D．1
由奇偶性求参数；函数奇偶性的应用
2022年新高考I卷
12
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
B．
C．D．
函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系；抽象函数的奇偶性
2022年新高考II卷
8
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
B．
C．0D．1
函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值
年份
题号
分值
题干
2024年新高考I卷
7
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
正弦函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数
2024年新高考II卷
9
6
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
与有相同的零点
B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期
D．与的图象有相同的对称轴
求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求函数零点或方程根的个数
2023年新高考I卷
15
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用
2023年新高考II卷
16
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

由图象确定正（余）弦型函数解析式；特殊角的三角函数值
2022年新高考I卷
6
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
2022年新高考II卷
9
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性
函
数
性
质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
年份
题号
分值
题干
2024年新高考I卷
4
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；用和、差角的余弦公式化简、求值
2024年新高考II卷
13
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
用和、差角的正切公式化简、求值
2023年新高考I卷
8
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
B．
C．D．
给值求值型问题；用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式
2023年新高考II卷
7
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
B．
C．D．
二倍角的余弦公式；半角公式
2022年新高考II卷
6
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
用和、差角的余弦公式化简、求值；用和、差角的正弦公式化简、求值