2026年高考数学考前20天冲刺讲义（三）

这是一份2026年高考数学考前20天冲刺讲义（三），文件包含北京市东城区20252026学年度第二学期高三综合练习二语文试题原卷版docx、北京市东城区20252026学年度第二学期高三综合练习二语文试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。

倒计时12天
➤三角函数的图象及其性质（选填题）………………………………………01
聚焦三角函数图象变换、周期性、单调性、对称性与最值等综合 4大考向5个核心考点
倒计时11天
➤三角恒等变换与解三角形（选填题）………………………………………12
聚焦三角恒等变换公式应用及正弦余弦定理解三角形等 2大考向16个核心考点
倒计时10天
➤数列（选填题） ………………………………………………………………22
聚焦等差等比数列通项、性质及求和，数列递推与单调性等 3大考向14个核心考点
倒计时09天
➤立体几何（选填题） …………………………………………………………30
聚焦空间几何体表面积体积、点线面位置关系与空间角等综合问题 5大考向8个核心考点
倒计时12天 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
——《警世贤文》
三角函数的图象及其性质（选填题）
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：①核心考点包括三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象变换（平移伸缩）及三角函数模型（ω、φ的求值）。②难度以中低档为主，常以f(x)=A sin(ωx+φ)为载体，考查整体代换数形结合，注意特殊图象的识别（如绝对值型、分段型）。
►高考前沿：聚焦ω与φ的逆向求解（由图象或性质求参数）及复合三角函数的单调区间；突出直观想象与逻辑推理，强调利用单位圆和五点法快速判断，提升选填解题速度。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 特殊角的三角函数值
终极考点2 同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
终极考点3 三角函数的图象与性质
终极考点4 三角函数型函数的图象和性质
正弦型函数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
正切型函数性质
的周期公式为：
终极考点5 三角函数的伸缩平移变换
伸缩变换（，是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为；
若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比
平移变换（，是平移量）
平移法则：左右，上下
真题精研--复盘经典 把握规律
考向01 三角函数求值
1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
解题妙法
三步解题法：
观察角度关系：看已知角与所求角之间是否有和、差、倍、半、互余、互补关系，利用诱导公式或和差公式转化。
确定符号：根据已知角的范围（或所在象限）判断三角函数值的正负。
选用公式计算：
已知 sinα 求 csα，用 sin2α+cs2α=1，注意符号。
已知 tanα 求 sin2α 等，用齐次式或万能公式。
给值求值：将所求角用已知角表示，代入和差倍半公式。
口诀：角度关系先看透，象限符号定正负；公式选用要熟练，给值求值靠恒等。
考向02 三角函数值域问题
5．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______．
7．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
8．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A．B．C．1D．0
解题妙法
三步解题法：
化一形式：将函数化为 y=Asinωx+φ+k 或 y=Acsωx+φ+k。
利用辅助角公式：asinθ+bcsθ=a2+b2sinθ+φ。
确定整体范围：由定义域（或 x 的范围）求出 ωx+φ 的取值范围。
利用有界性得值域：
sint∈−1,1，则 y∈k−A,k+A。
若为复合函数（如 y=sin2x+sinx），换元 t=sinx∈−1,1 转化为二次函数求值域。
技巧：注意定义域限制可能导致值域不是完整区间，需结合图象判断最值点。
考向03 三角函数中的交点问题
9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

12．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
解题妙法
三步解题法：
转化为方程：两函数图象交点 ⇔ 方程 fx=gx 的根。常为 Asinωx+φ=m 或 Asinωx+φ=kx+b 等形式。
利用图象分析个数：
画出 y=Asinωx+φ 与 y=m（水平线）的草图，在一个周期内交点数乘以周期数，注意端点取舍。
与直线 y=kx+b 相交，考虑直线与正弦曲线的相对位置，常用导数或切线分析。
代数法（含参）：分离参数，转化为 a=hx，研究 hx 的值域与单调性，结合图象得参数范围。
注意：求交点个数时，务必考虑定义域区间端点是否包含，以及周期边界重复计数。
考向04 三角函数图象与性质综合
13．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
18．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．3
19．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________．
20．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
21．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
解题妙法
三步解题法：
由图象求解析式：
振幅 A=ymax−ymin2，平衡位置 k=ymax+ymin2。
周期 T 由相邻对称轴、对称中心或零点距离确定，ω=2πT。
代特殊点（最值点或零点）求 φ，注意范围。
性质判断：
单调区间：令 ωx+φ 落在正弦函数的单调区间内解出 x。
对称轴：ωx+φ=π2+kπ；对称中心：ωx+φ=kπ。
平移伸缩变换：遵循“左加右减，上加下减”，注意 ω 变换时先伸缩后平移。
图象变换：明确由哪个函数变到哪个函数，确定平移量（注意系数提取）。例如 y=sinx→y=sin2x+π3 需先左移 π3 再横坐标缩为 12，或先缩再左移 π6。
口诀：求解析式看振幅周期，代点定初相；单调对称靠整体换元，平移注意系数提。
终极预测--压轴实战 稳拿高分
一、单选题
1．（2026·江西南昌·二模）已知函数是奇函数，则的一个可能取值为（ ）
A．0B．C．D．
2．（2026·山东青岛·三模）函数在的零点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2026·四川成都·三模）已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·广东·三模）已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．（2026·宁夏·一模）已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ）.
A．B．
C．D．
8．（2026·重庆·二模）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．是偶函数
B．最大值为2
C．最小值为
D．是周期函数
9．（2026·吉林白山·模拟预测）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（ ）.
A．的最小正周期为B．在上单调递减
C．图像关于直线对称D．图像关于点对称
10．（2026·天津·一模）已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 . 设甲: ；乙: 是偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
12．（2026·山东聊城·二模）已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
13．（2026·江西·二模）已知函数与的图象关于原点对称，则（ ）
A．函数的最大值为
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象
D．，存在唯一的，使得
14．（2026·广东广州·二模）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期B．是图象的一条对称轴
C．的最大值为D．在内单调递减
15．（2026·山东聊城·二模）设函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递增
D．当时，方程在区间上所有实根的和为
16．（2026·河北保定·二模）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象与函数的图象只有2个交点
C．函数在区间上有6个零点
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
17．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，是的一个周期
B．的图象关于直线对称
C．不存在整数，使得的最大值为2
D．当时，在上恰有个零点
三、填空题
18．（2026·安徽淮南·二模）已知函数在区间上单调递减，且函数图象关于中心对称，则________.
19．（2026·安徽合肥·二模）设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________.
20．（2026·河北·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C分别为图象与x轴的交点，且为正三角形，则______．

倒计时11天 操千曲而后晓声，观千剑而后识器。
—— 刘勰《文心雕龙》
三角恒等变换与解三角形（选填题）
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：①三角恒等变换考查公式正用逆用（两角和差、倍角、辅助角、诱导公式），常与化简求值、给值求角结合；解三角形考查正余弦定理直接应用、面积公式、边角互化及多解判断。②难度中档，常以条件求值、三角形形状判断、实际测量问题为背景。
►高考前沿：聚焦恒等变换与三角函数性质的综合（如化简后求对称轴、最值）及三角形中的最值范围（利用基本不等式或三角函数有界性）；突出数学运算与逻辑推理，强化角度变换与边角互化的灵活性。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 正弦的和差公式
，
终极考点2 余弦的和差公式
，
终极考点3 正切的和差公式
，
终极考点4 正弦的倍角公式
终极考点5 余弦的倍角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
终极考点6 正切的倍角公式
终极考点7 推导公式
终极考点8 辅助角公式
，，其中，
终极考点9 常见三角不等式
（1）若，则.
（2）若，则.
（3）.
终极考点10 半角公式
(1)sin eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2)).
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2)).
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
以上称之为半角公式，符号由eq \f(α,2)所在象限决定．
终极考点11 万能公式
终极考点12 和差化积与积化和差公式
终极考点13 正弦定理
基本公式：
（其中为外接圆的半径）
变形
①
②
③
④
应用：边角互化
①
②
③
或（舍）
终极考点14 三角形中三个内角的关系
，，
终极考点15 余弦定理
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
应用1.求值，求角
①在中，已知，求
，
②在中，已知，求
，
应用2.判断三角形的形状
设为最大边，则为最大角
终极考点16 三角形的面积公式
真题精研--复盘经典 把握规律
考向01 三角恒等变换综合
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·上海·高考真题）已知，则=__________.
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
解题妙法
三步解题法：
观察角与函数名：分析已知角与所求角的差异（和、差、倍、半、互余、互补），以及函数名称是否一致。
选择公式：
同角关系：sin2α+cs2α=1，tanα=sinαcsα
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
和差公式：sinα±β=sinαcsβ±csαsinβ，csα±β=csαcsβ∓sinαsinβ，tanα±β=tanα±tanβ1∓tanαtanβ
倍角公式：sin2α=2sinαcsα，cs2α=cs2α−sin2α=2cs2α−1=1−2sin2α，tan2α=2tanα1−tan2α
降幂公式：sin2α=1−cs2α2，cs2α=1+cs2α2
辅助角公式：asinα+bcsα=a2+b2sinα+φ（tanφ=ba）
化简求值：将所求式子用已知角表示，代入计算，注意角的范围对符号的影响。
口诀：角名差异看公式，同角诱导优先用；和差倍半灵活选，辅助角化一形式。
考向02 解三角形综合
8．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
11．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知的面积为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
解题妙法
三步解题法：
选定理：
已知两角一边或两边及对角 → 正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R。
已知两边及夹角或三边 → 余弦定理 a2=b2+c2−2bccsA 等。
已知边的关系判断形状 → 用余弦定理或正弦定理化角化边。
边角互化：
边化角：a=2RsinA 等，将边的关系转化为三角方程。
角化边：sinA=a2R 等，将角的关系转化为边的关系。
结合三角形内角和 A+B+C=π 消元。
求值或范围：
求边长、角度或面积：直接代入公式计算，注意解的个数（如 sinA=k 时需判断有两解、一解或无解）。
求范围：将目标表示为某一角或边的函数，利用基本不等式、三角函数有界性或几何意义求解。
口诀：正弦边角对角用，余弦两边夹角通；边角互化是核心，解三角形要验根。
终极预测--压轴实战 稳拿高分
一、单选题
1．（2026·陕西咸阳·三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·江苏苏州·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·安徽合肥·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·陕西·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．3C．D．
5．（2026·河南濮阳·二模）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2026·四川遂宁·模拟预测）中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
7．（2026·陕西·二模）已知锐角满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·河北衡水·一模）若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2026·河北张家口·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（ ）
A．6B．C．D．
12．（2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（ ）
A．B．C．D．
13．（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形
14．（2026·安徽合肥·二模）在中，，为边上一点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2026·山西太原·二模）物体在太阳光照射下影子的长度是随着太阳高度（相对于地面）的变化而变化.如图，在某斜坡面道路旁两点处（其中在斜坡路面底，在斜坡路面上），有两根长度均为10米且垂直于水平面放置的路灯杆，在阳光的照射下（阳光可视为平行光），处路灯杆的影子在水平路面上，长度为10米；处路灯杆的影子完全在斜坡路面上，长度为米.则该斜坡面与水平面的夹角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
16．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
17．（2026·湖南怀化·二模）已知，则的值可能为（ ）
A．1B．－1C．D．
18．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，，，，则（ ）
A．B．若是的中线，则
C．若是的高，则D．若是的角平分线，则
19．（2026·云南昭通·模拟预测）内角的对边分别为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2026·河北邯郸·二模）在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．当，时，仅有一解
C．当时，为等边三角形D．当时，的最大值为
21．（2026·江苏南京·一模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．当最小时，D．当时，
三、填空题
22．（25-26高三下·辽宁·月考）计算：__________.
23．（2026·山东日照·二模）已知分别为的三个内角的对边，若，，则角__________________．
24．（2026·河北沧州·二模）已知，，若，，则______.
25．（2026·广东肇庆·二模）设的内角所对边的长分别为. 若，，则__________.
倒计时10天 十年磨一剑，霜刃未曾试。
—— 贾岛《剑客》
数列（选填题）
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：①核心考点为等差等比数列的基本量计算（通项、求和）、性质（下标和、片段和）、递推数列（累加累乘、构造）及数列与函数单调性、最值。②难度中低档为主，压轴选填常涉及奇偶项讨论、周期数列、数列与整除组合。
►高考前沿：聚焦等差等比数列性质的灵活应用（减少计算量）及递推数列求通项的快速构造；突出数学运算与逻辑推理，强调特殊值法、枚举归纳法在选填中的运用。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 等差数列通项公式： 或
终极考点2 等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项
终极考点3 若，为等差数列，则，仍为等差数列
终极考点4 等差数列前n项和公式：或
终极考点5 等差数列的前项和中，，（为奇数）
终极考点6 等比数列通项公式：
终极考点7 等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项
终极考点8 若，为等比数列，则，仍为等比数列
终极考点9 等比数列前项和公式：
终极考点10 等差数列任意前n项和的关系
终极考点11 等比数列任意前n项和的关系
终极考点12 已知与的关系
终极考点13 分组求和
若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和
终极考点14 裂项相消求和

真题精研--复盘经典 把握规律
考向01 等差数列
1．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
5．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
解题妙法
三步解题法：
基本量法：设首项 a1，公差 d，通项 an=a1+n−1d，前 n 项和 Sn=na1+nn−12d=na1+an2。
活用性质（小题快解）：
若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq（特别地，a1+an=a2+an−1=⋯）。
下标成等差，项成等差。
连续 k 项和 Sk,S2k−Sk,S3k−S2k,… 仍成等差数列，公差为 k2d。
Sn=An2+Bn（二次函数无常数项），对称轴 n=−B2A 对应 Sn 最值。
列方程求解：根据条件（如已知某几项和或某几项的关系）列出关于 a1,d 的方程（组），解出基本量；选填中优先用性质避免复杂计算。
口诀：等差通项加公差，中项性质两倍中；前 n 项和二次型，下标和等项和等。
考向02 等比数列
9．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______；
10．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
12．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．
13．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则______.
14．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________.
15．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．
解题妙法
三步解题法：
基本量法：设首项 a1，公比 q（q≠0），通项 an=a1qn−1，前 n 项和 Sn=na1q=1a11−qn1−qq≠1。
活用性质（小题快解）：
若 m+n=p+q，则 aman=apaq（特别地，a1an=a2an−1=⋯）。
下标成等差，项成等比（ak,ak+m,ak+2m 成等比）。
连续 k 项积、和（非零）仍成等比。
等比数列中所有奇数项同号，所有偶数项同号。
列方程求解：根据条件列出关于 a1,q 的方程，注意 q=1 的特殊讨论，以及公比的正负对项符号的影响。选填中常用两式相除整体求 q。
口诀：等比通项乘公比，中项平方等积；前 n 项和公式分，q=1 要单独记。
考向03 递推关系
17．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
18．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16B．32C．54D．162
终极预测--压轴实战 稳拿高分
一、单选题
1．（2026·辽宁沈阳·三模）等比数列的公比为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·福建福州·模拟预测）设等差数列的前项和为，公差为.若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，则（ ）
A．1B．5C．D．
4．（2026·甘肃酒泉·二模）已知等差数列的公差，前项和为. 若，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（ ）元．（参考数据：）
A．778.5B．624C．185.7D．154.8
6．（2026·重庆·二模）已知等比数列的首项，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·浙江宁波·二模）数列满足：为的前项和，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2026·河北张家口·二模）已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知数列的首项，且满足，令，则数列的前2026项和为（ ）
A．B．C．D．
11．（2026·重庆万州·模拟预测）在数列中，已知，若，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2026·云南昆明·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（ ）
A．15B．10C．9D．5
14．（2026·河北唐山·二模）在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
二、多选题
15．（2026·山东东营·模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．
C．D．当或5时，最大
16．（2026·湖北·二模）已知数列满足，且，则的值可能是（ ）
A．1B．2026C．D．
17．（2026·内蒙古包头·二模）记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（ ）
A．B．C．最小D．
18．（2026·山西晋城·一模）记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是等比数列
C．设，则
D．设，则
19．（2026·重庆·二模）已知数列满足，则（ ）
A．存在，使得是常数列
B．存在，使得是递减的等比数列
C．不存在，使得是递增的等差数列
D．存在，使得，且
20．（2026·福建·二模）已知公差为的等差数列的前项和为，公比为的等比数列的前项和为，且，．下列命题正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，集合可能有三个元素
21．（2026·河南焦作·模拟预测）记为数列的前项和，已知，为实数，则（ ）
A．当是等比数列时，则
B．当时，则
C．当时，数列的前项和为
D．当时，数列第7项的值最大
三、填空题
22．（2026·海南海口·模拟预测）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，且，，成等差数列，则数列的公比为________．
23．（2026·浙江金华·二模）数列中，，，记数列的前n项和为，则______．
24．（2026·山东泰安·模拟预测）与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______.
25．（2026·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，记的前项和为，则___________．
倒计时09天 千锤万凿出深山，烈火焚烧若等闲。
—— 于谦《石灰吟》
立体几何（选填题）
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：①核心考点为空间几何体的表面积体积（柱锥台球）、点线面位置关系判断、空间角与距离（线面角、二面角、异面直线角、点面距）、球内切外接问题。②难度分布广泛，中低档考查公式与定理，压轴题考查动态问题（翻折、动点轨迹、最值）。
►高考前沿：聚焦球与多面体组合及空间动点轨迹与最值（建系转化为函数或几何条件）；突出直观想象与逻辑推理，强化补形法、等体积法与向量坐标法快速判断。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 平面初等几何基础
三角形的面积公式：
正方形的面积公式：
长方形的面积公式：
平行四边形的面积公式：
菱形的面积公式：（，为菱形的对角线）
梯形的面积公式：（为上底，为下底，为高）
圆的周长和面积公式：，
终极考点2 立体几何基础公式
所有椎体体积公式：
所有柱体体积公式：
球体体积公式：
球体表面积公式：
圆柱：
圆锥：
终极考点3 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
已知长宽高求体对角线：
已知三条面对角线求体对角线：
终极考点4 球体问题
球体体积公式：，球体表面积公式：
正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ）
球心体心，直径体对角线
已知长宽高，，求体对角线，公式为：
，
直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ）
，其中为直棱柱的高，为底面外接圆半径（可用正弦定理求解）
墙角问题可转化为类型Ⅰ
侧棱底面问题可转化为类型Ⅱ
内切球体积
任意的简单n面体内切球半径为(V是简单n面体的体积，是简单n面体的表面积)
棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
终极考点5 异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
终极考点6 线面角
直线与平面所成角，(为平面的法向量).
终极考点7 二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
终极考点8 点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
真题精研--复盘经典 把握规律
考向01 空间中点线面的位置关系
1．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2025·天津·高考真题）若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：
①若，则或 ②若，则或
③若且，则 ④若与,所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
4．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ）
A．B．平面
C．D．平面
解题妙法
三步解题法：
明确关系类型：判断线线、线面、面面的平行与垂直关系。熟记判定定理与性质定理的符号语言。
构造模型：借助长方体、正方体或身边实物（如教室墙角）进行空间想象，排除错误选项。
反例排除：对于“一定成立”的命题，只需举出一个反例即可推翻；对于“可能存在”的命题，构造满足条件的图形验证。选填中常用特殊化策略（将点取为中点、线取为对角线等）。
口诀：平行传递看相交，垂直转化找射影；长方体里试位置，反例一驳定乾坤。
考向02 空间几何体的体积、面积、侧面积、表面积
5．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．

6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
11．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．2D．3
14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
15．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______．
17．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________．
解题妙法
三步解题法：
识别几何体：确定是柱、锥、台、球还是组合体，找准底面和高。
柱体：V=S底h，S侧=C底h（直棱柱）；圆柱 S侧=2πrh。
锥体：V=13S底h，S侧=12C底l（其中 l 为斜高）。
台体：V=13hS上+S下+S上S下。
球：V=43πR3，S=4πR2。
求关键量：利用平面几何计算底面积、斜高、高。常见方法：
将空间问题转化为轴截面或底面内的平面图形。
利用勾股定理、相似比、正三角形面积公式（34a2）等。
代入公式：注意单位统一，组合体要细分求和或作差。
考向03 球体综合
18．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________．
19．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．
20．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．
21．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________．
22．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
解题妙法
三步解题法：
定球心位置：
长方体外接球球心为体心，2R=a2+b2+c2。
正方体内切球 R=a2；与棱相切球 R=22a。
正四面体外接球半径 R=64a，内切球半径 r=612a。
找直角三角形：球心到截面圆心的连线垂直截面，R2=r截2+d2。
已知球面上两点 A,B，球心在 AB 的中垂面上。
求体积或表面积：先由几何条件求出 R，再代入公式。涉及多个球时注意两球心距与半径和差的关系（外切、内切）。
口诀：球心垂线截圆心，勾股定理求半径；长方体体对角线，外接直径就是他。
考向04 求高
23．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C．D．
解题妙法
三步解题法：
明确高的类型：
棱柱的高：上下底面的垂直距离。
棱锥的高：顶点到底面的垂线段长度。
点到平面的距离（即“高”的通用形式）。
几何法：
若线面垂直直接可得高。
利用等体积法：h=3VS底（已知体积和底面积）。
构造直角三角形，用勾股定理求出高。
向量法（坐标法）：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量 n，再取平面外一点 P 和平面上一点 Q，则 d=QP⋅nn。选填中若图形规整，坐标法直接快速。
技巧：正三棱锥的高过底面外心且顶点与底面中心的连线垂直底面；正四棱锥的高过底面中心。
考向05 空间角的应用
24．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
25．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A．B．
C．D．
解题妙法
三步解题法：
辨角类型：
异面直线所成角：平移至相交，范围 (0∘,90∘]，余弦值取绝对值。常用向量法：csθ=u⋅vuv。
线面角：直线与它在平面内射影的夹角，范围 0∘,90∘，sinθ=v⋅nvn。
二面角：两个半平面所成的角，范围 0∘,180∘，csθ=±n1⋅n2n1n2，符号由实际锐钝确定。
几何法（定义或三垂线）：
异面直线：找中位线或平行四边形平移。
线面角：找斜足、垂足。
二面角：作棱的垂面，或利用三垂线定理作出平面角。
向量法（建系）：建立空间直角坐标系，写出相关点坐标及方向向量、法向量，代入公式直接计算三角函数值。选填中可快速得答案。
口诀：异面平移求夹角，线面射影是关键；二面棱垂作平面，向量公式代坐标。
终极预测--压轴实战 稳拿高分
一、单选题
1．（2026·安徽淮北·一模）已知直线和平面，下列表述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·江西·二模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2026·广东·一模）如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（ ）
A．16B．18C．D．24
7．（2026·山东东营·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点P在正方体的棱上运动，则三棱锥的体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·山东泰安·二模）2002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经3D打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时.如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度与时间的函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2026·河南信阳·模拟预测）正三棱台中，，与底面所成角的正切值为2，则正三棱台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ）
A．B．平面
C．D．平面
12．（2026·辽宁辽阳·二模）在长方体中，，，M是棱AB的中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二面角的余弦值是
C．过的平面截该长方体得到的图形面积是
D．沿长方体表面从到的最近距离是
13．（2026·河南濮阳·二模）如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．正方体外接球体积为
C．存在一点，使得直线CE与平面所成的角为
D．到平面的距离为
14．（2026·安徽安庆·二模）在棱长为1的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（ ）
A．点的轨迹长度等于
B．平面
C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D．异面直线与，所成角的余弦值的最小值为
15．（2026·四川达州·二模）如图，在棱长为3的正方体中，为对角线上的动点，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．点到直线的距离的最小值为
C．过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．当时，三棱锥外接球的体积为
16．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为是侧面内的一个动点（含边界），分别是的中点，设，则下列说法正确的有（ ）
A．若点在平面内，则
B．当取得最小值时，
C．若，则的取值范围是
D．若点在三棱锥的外接球面上，则的取值范围是
三、填空题
17．（2026·陕西咸阳·三模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为___________．
18．（2026·北京平谷·一模）如图在一个五面体中，其中面为矩形，平面，且与平面的距离为5，则该五面体的体积为______．
19．（2026·广东中山·一模）空间中有四个半径为2的小球，每个球都与其它三个球外切．现另有一小球与这四个球均外切，则该小球的半径为______．
20．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知四面体中，，，若该四面体的体积为48，则直线的夹角为______．
函
数
性
质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形