2026年高考数学考前20天冲刺讲义（二）

这是一份2026年高考数学考前20天冲刺讲义（二），文件包含北京市东城区20252026学年度第二学期高三综合练习二语文试题原卷版docx、北京市东城区20252026学年度第二学期高三综合练习二语文试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。

倒计时16天
➤圆锥曲线（解答题）……………………………………………………………01
聚焦圆锥曲线定义、方程、几何性质及直线与曲线位置关系等综合问题 10大考向14个核心考点
倒计时15天
➤数列（解答题）…………………………………………………………………19
聚焦等差等比数列通项与求和、数列求通项与求和方法、数列不等式等 6大考向6个核心考点
倒计时14天
➤函数及其性质（选填题）………………………………………………………31
聚焦函数定义域值域、单调奇偶周期对称、零点与指对幂函数性质等 6大考向15个核心考点
倒计时13天
➤导数及其应用（选填题） ……………………………………………………44
聚焦导数几何意义、单调性极值最值、不等式恒成立、零点问题等 6大考向10个核心考点
倒计时16天 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。
——《荀子・劝学》
圆锥曲线（解答题）
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：①以椭圆、抛物线为考查主体（双曲线多为小题），核心考点包括轨迹方程、直线与曲线位置关系、弦长面积、定点定值、最值范围。②联立方程与韦达定理是通法，几何条件代数化（如向量垂直、斜率积为定值）是关键转化能力，运算量较大。
►高考前沿：聚焦“非对称韦达”与“联立”技巧，减少机械运算；强调几何背景的转化（如阿基米德三角形、仿射变换）。突出逻辑推理与数学运算核心素养，需强化分步得分意识。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 基础公式与方程
终极考点2 弦长公式与硬解定理（椭圆+直线 y=kx+m）
由直线与圆锥曲线联立，消元得到（）
则：
则：弦长
或
联立 x2a2+y2b2=1 与 y=kx+m：
a2k2+b2x2+2a2km x+a2m2-b2=0
Δ=4a2b2a2k2+b2-m2
x1+x2=-2a2kma2k2+b2, x1x2=a2m2-b2a2k2+b2
AB=2ab1+k2a2k2+b2-m2a2k2+b2
若直线设为 x=ty+n（避免讨论斜率不存在）：
b2t2+a2y2+2b2tn y+b2n2-a2=0
Δ=4a2b2b2t2+a2-n2
y1+y2=-2b2tnb2t2+a2, y1y2=b2n2-a2b2t2+a2
AB=2ab1+t2b2t2+a2-n2b2t2+a2
终极考点3 点差法（中点弦）
设弦 AB 中点 Mx0,y0，斜率 k=kAB。
椭圆 x2a2+y2b2=1：k⋅y0x0=-b2a2 或 k=-b2x0a2y0
双曲线 x2a2-y2b2=1：k⋅y0x0=b2a2 或 k=b2x0a2y0
抛物线 y2=2px：k=py0 或 y0=pk
使用点差法时，需先设 Ax1,y1,Bx2,y2，代入方程相减，再代入中点坐标。
终极考点4 弦长与面积
弦长公式
直线 y=kx+m：AB=1+k2 x1-x2=1+k2⋅ΔA
直线 x=ty+n：AB=1+t2 y1-y2=1+t2⋅ΔA
常见面积
S=12AB⋅d（d 为点到直线距离）
S=12x1y2-x2y1（顶点为原点）
S=12y1-y2⋅x1-x2（一边平行坐标轴）
终极考点5 平移齐次化（斜率之和/积为定值）
适用：直线过定点 Pm,n，涉及 k1+k2 或 k1k2。
步骤：
平移坐标系：x'=x-m, y'=y-n，使 P 变为原点。
在新坐标系下写出曲线方程（展开至二次项）。
设直线方程 y'=kx'，代入曲线方程，得到关于 x' 的二次方程。
化为齐次形式（各项次数相同），则 k1,k2 即为该方程的两根。
由韦达定理得 k1+k2, k1k2。
注意：平移后曲线方程会多出一次项和常数项，需通过“1的替换”（如用 x2a2+y2b2=1 代入常数项）化为齐次。
终极考点6 仿射变换（椭圆→圆）
变换：x'=x, y'=aby，则椭圆 x2a2+y2b2=1 变为圆 x'2+y'2=a2。
对应关系：
点：x,y→x,aby
直线：y=kx+m→y'=abkx'+abm
斜率：k'=abk
面积：S原=baS圆
平行、共线、比例保持不变。
终极考点7 轨迹方程常用方法
终极考点8 常见几何条件代数化
终极考点9 最值与范围常用工具
二次函数：配方求顶点（注意定义域）
均值不等式：一正二定三相等
判别式法：将目标式转化为关于参数的二次方程，利用 Δ≥0
导数法：连续函数求导找极值
几何意义：斜率、距离、投影的范围
终极考点10 易错点清单
设直线方程忘记讨论斜率不存在 → 扣1分
联立后二次项系数可能为零（如直线与抛物线对称轴平行）→ 单独验证
判别式 Δ>0 必须写，且由此确定参数范围 → 漏写扣1分
韦达定理符号写反（尤其 x1+x2=-BA 的负号）→ 全错
弦长公式漏 1+k2 → 结果错误
面积公式漏 12 → 结果错误
双曲线中点弦未验证点是否在曲线内 → 可能无解
存在性问题解出后未检验 Δ>0 或范围 → 扣1分
最值问题未说明取等条件或未验证取等点是否在定义域内 → 扣1分
轨迹方程未注明范围（如 x≠0）→ 扣1分
终极考点11 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解
终极考点12 处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
终极考点13 处理定值问题的思路：
联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可.
终极考点14 答题规范模板
设方程：“设直线 l:y=kx+m（当 k 存在时）”
联立：“联立 y=kx+mx2a2+y2b2=1，消去 y 得：”
判别式：“由 Δ>0 得 a2k2+b2>m2”
韦达：“由韦达定理得 x1+x2=⋯, x1x2=⋯”
代入：“将韦达代入目标式，整理得：”
结论：“所以，直线恒过定点 x0,y0” / “定值为 λ” / “取值范围是 α,β”
真题精研--复盘经典 把握规律
考向01 第一问：求方程
（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．
（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．
（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
解题妙法
三步解题法：
定曲线类型：根据题意判断是椭圆、双曲线还是抛物线，明确标准方程形式（椭圆：x2a2+y2b2=1 或 y2a2+x2b2=1；双曲线：x2a2−y2b2=1；抛物线：y2=2px 等）。
列方程求参数：利用已知条件（如过定点、焦距、离心率、点坐标、几何性质）建立关于 a,b,p 的方程组。
解并验证：解出参数，代入标准方程；注意椭圆 a>b>0，双曲线 a>0,b>0，抛物线 p>0，并检查是否遗漏。
口诀：先定型再定量，代入条件解参数；椭圆双曲看分母，抛物线盯准一次项。
考向02 第一问：求离心率
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
解题妙法
三步解题法：
写出基本量关系：椭圆 e=ca，双曲线 e=ca（c2=a2−b2 椭圆，c2=a2+b2 双曲线）。
利用条件列出方程：将几何条件（如点坐标满足曲线方程、焦点三角形边长关系、渐近线夹角等）转化为关于 a,b,c 的齐次方程。
化为 e 的方程并求解：消去 b 或 a，得到 e 的二次方程，解出 e，注意范围（椭圆 00。
弦长公式：
若消去 y：AB=1+k2⋅x1+x22−4x1x2
若消去 x：AB=1+1k2⋅y1+y22−4y1y2（k≠0）
注意：直线过焦点时，可用焦半径公式简化弦长（如抛物线 AB=x1+x2+p）。
考向05 面积问题
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
（2020·海南·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．
解题妙法
三步解题法：
选底与高：
若三角形顶点在曲线上，常用 S=12AB⋅d（d 为第三点到直线 AB 的距离）。
或 S=12x1y2−x2y1（原点在顶点时）。
若直线过原点，S=12kx1−x2⋅x0 等形式。
联立+韦达：将直线与曲线联立，用韦达定理表示弦长和距离，面积表达为 k,m 的函数。
求最值或定值：利用基本不等式、函数单调性、导数等求面积最值；或代入验证得定值。
考向06 定点问题
（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
（2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
（2020·全国I卷·高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
解题妙法
三步解题法：
设动直线方程：根据题意设直线方程（点斜式、斜截式或 x=my+t），并设交点坐标。
联立+韦达：联立直线与曲线，利用韦达定理表示交点坐标之间的关系。
求定点：将目标条件（如某直线恒过定点、向量数量积为定值）转化为关于参数的方程，化简后若与参数无关，则定点的坐标即为所求。常用“参数分离法”，令参数系数为0解出定点。
口诀：动线引参设方程，联立韦达表关系；恒过定点参数消，解出坐标即得定。
考向07 定直线问题
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
解题妙法
三步解题法：
设动点或动线：根据题意设动点坐标或动直线方程。
推导点坐标关系：通过条件（如斜率之和/积为定值、点在某曲线上）得到动点的横纵坐标满足的方程。
消参数得定直线：消去参数，得到关于 x,y 的方程，若恒为某条直线（如 x=x0 或 y=kx+b 且与参数无关），则该直线为定直线。
例：椭圆上两点与原点连线斜率积为定值，则弦中点轨迹为定直线。
考向08 求直线方程
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
解题妙法
三步解题法：
设直线形式：根据已知条件选择合适形式：点斜式 y=kx+m、斜截式、x=my+n（避免斜率讨论）或两点式。
利用条件建立方程：如弦长、面积、垂直、中点、过定点等，结合曲线方程联立，用韦达定理表达条件，得到关于 k,m（或 m,n）的方程。
解参数并验证：解出参数，代回直线方程；注意判别式 Δ>0，且排除不合题意的解（如斜率不存在的情况单独讨论）。
技巧：若直线过某点 Px0,y0，设 y−y0=kx−x0，注意讨论 k 不存在。
考向09 存在性问题
（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
解题妙法
三步解题法：
假设存在：先假设满足条件的点、直线或参数存在，设出相应变量。
推导条件：根据题意列出方程或不等式组（如点在曲线上、距离关系、向量关系等），结合联立消元得到关于变量的方程。
判断方程解的情况：
若有解且满足范围（判别式、定义域等），则存在，并求出结果；
若无解或违反约束，则不存在，给出结论。
注意：常需结合判别式 Δ≥0、点坐标范围、曲线性质进行验证。
考向10 证明问题综合
（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
解题妙法
三步解题法：
明确证明目标：证明定值、定点、定直线、垂直、平行、三点共线、角相等等几何结论。
转化为代数条件：用坐标表示几何关系（如垂直 ⇔x1x2+y1y2=0，共线 ⇔y1−y2x1−x2=y1−y3x1−x3，定值即表达式恒等于常数）。
联立+韦达/点差法：将直线与曲线联立，用韦达定理代入目标表达式，化简消去变量，证得结果与参数无关。点差法常用于中点弦问题。
技巧：遇到椭圆中与中点有关的问题，优先考虑点差法；证明共线常用向量共线或斜率相等。
终极预测--压轴实战 稳拿高分
1．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为.
(1)求曲线的方程：
(2)过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值.
2．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相切于点（异于点），证明：.
3．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值.
4．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，动点形成的轨迹称为曲线．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)已知曲线上的两点、满足，且的面积为，求直线的方程．
5．（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点.
（i）证明：为定值；
（ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
6．（2026·四川凉山·二模）已知为椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于两点.求的面积的最大值.
7．（2026·山东泰安·模拟预测）已知椭圆的离心率为，斜率为的直线过原点且与椭圆相交所得弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的内接四边形为菱形，且该四边形的周长为，面积为，判断是否为定值，若是求出该定值，否则说明理由.
8．（2026·重庆·二模）已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且
(1)求直线AB的斜率(用表示)；
(2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1.
①求证：直线l恒过定点Q；
②若向量，且，求的面积S的取值范围.
9．（2026·四川遂宁·三模）已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)，为上两点，的重心在直线上．
（i）证明：直线的斜率为定值；
（ii）设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动．
10．（2026·山东东营·二模）已知曲线上任意一点到点的距离比它到轴的距离大．
(1)求曲线的方程；
(2)为曲线上一点，直线与曲线交于两点（不与点重合），直线与轴交于点，直线与轴交于点，且．
（i）求直线的斜率；
（ii）证明：的外接圆的圆心在定直线上．
11．（2026·天津河东·二模）已知椭圆的方程为，上顶点为，右焦点为，椭圆的离心率为，点为中点，为坐标原点，，椭圆上一点在第一象限．
(1)求椭圆方程；
(2)若，求；
(3)若直线与椭圆交于点，点在点右侧，为线段上一点，，证明过定点，并求出定点坐标．
12．（2026·山西运城·二模）在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，点，，且向量与共线．
(1)求的方程．
(2)已知动直线与交于两个不同的点．
（ⅰ）若过点且斜率小于0，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长大于．
（ⅱ）若不经过点，且平分，求的外接圆圆心的轨迹方程．
13．（2026·江西南昌·二模）已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，．
(1)求椭圆的方程；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列的前项和为，若对任意的，都有（，），求的最小值．
14．（2026·河北保定·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，的周长为面积的最大值为
(1)求椭圆的方程.
(2)已知点，直线与椭圆交于两点，点为的垂心.
（i）若 为等边三角形，求点的坐标；
（ii）若直线过点，求的最大值.
15．（2026·河南开封·二模）已知椭圆经过点，F为C的右焦点，且与x轴垂直．
(1)求C的标准方程；
(2)设直线l与C交于A，B两点，且（O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切? 若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)在（2）的条件下，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．
16．（2026·天津南开·一模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为2，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线：（）与椭圆交于点，，若椭圆上存在点使得四边形为平行四边形.且，求的值.
17．（2026·广东广州·二模）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3．
(1)求的方程：
(2)已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点．
（i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由；
（ii）证明：直线ME过定点．
18．（2026·广东深圳·二模）已知抛物线的焦点为是上不同的两点（其中在第一象限），点．当与轴垂直，且时，．
(1)求的方程；
(2)若为轴上一点，且（点与不重合）．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①三点共线；
②轴；
③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．（2026·山西晋中·模拟预测）若，点，双曲线．
(1)写出，的坐标；
(2)证明：对任意，点在双曲线C上；
(3)设直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点，和点，记的面积为（O为坐标原点），求证：为定值．（参考公式：设三角形的三个顶点分别为，，，则三角形面积）
20．（2026·浙江温州·二模）已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，．
（ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率；
（ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值．
倒计时15天 锲而不舍，金石可镂。
——《荀子・劝学》
数列（解答题）
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：①核心考点为等差等比数列的证明与通项、求和（裂项相消、错位相减、分组求和），以及递推数列（构造法、取倒数、累加累乘）。②常与不等式、函数单调性结合考查最值与放缩，难度中档或压轴第一问。
►高考前沿：聚焦“数列与概率综合”（如马尔可夫链基础）及“奇偶项讨论”的新型递推；突出数学运算与逻辑推理，强调从特殊到一般的归纳思想，注意答题规范中的数学归纳法表述。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 等差、等比数列通项公式
（1）等差数列通项公式： 或
（2）等比数列通项公式：
终极考点2 通项公式的构造
（1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解
（2）已知用求通项
（3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式
（4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法
（5）已知用求通项公式，其本质是除以
（6）已知用求通项公式，其本质是取倒数
（7）已知用求通项公式，其本质是取对数
（8）的类型，公式
终极考点3 数列求和的常用方法
对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.
即
终极考点4 常见的裂项技巧
；
；

指数型；
对数型.
等
终极考点5 数学归纳法模板
n=1时，验证成立
假设n=k时成立
证n=k+1时成立（利用假设）
综上，对一切n∈N*成立
终极考点6 常用放缩不等式
1n21nn+1=1n-1n+1
12n-1b>0
±c,0,c2=a2-b2
e=ca∈0,1
x=±a2c
——
双曲线
x2a2-y2b2=1
±c,0,c2=a2+b2
e=ca>1
x=±a2c
y=±bax
抛物线
y2=2pxp>0
p2,0
e=1
x=-p2
——
方法
适用场景
步骤
直接法
动点直接满足几何条件
设点、列式、化简、限制范围
定义法
满足圆锥曲线定义
判断曲线类型，直接写方程
相关点法
动点随已知曲线上点运动
用动点表示已知点，代入已知曲线
参数法
动点坐标与参数有关
消去参数得方程
交轨法
两动直线交点
分别表示直线，联立消参
几何条件
代数表达式
A,B,C 共线
x1-x2y2-y3=x2-x3y1-y2
以 AB 为直径的圆过 C
x1-xCx2-xC+y1-yCy2-yC=0
M 为 AB 中点
x1+x2=2xM, y1+y2=2yM
四边形 ABCD 是平行四边形
xA+xC=xB+xD, yA+yC=yB+yD
点 P 分 AB 的比为 λ
xP=xA+λxB1+λ，yP=yA+λyB1+λ
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40