2026届高三数学二轮复习讲义：每日一练　第四周（含解析）

这是一份2026届高三数学二轮复习讲义：每日一练　第四周（含解析），共16页。
1.(2025·镇江模拟)2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况的种数是( )
A.12B.9C.6D.15
答案 B
解析 从6所大学中任取4所，有C64种，其中甲、乙两所学校同时被取到，有C42种，所以该考生报名的可能情况的种数是C64-C42=9.
2.(2025·新余模拟)已知sin(α-β)=n，tan α=3tan β，则sin(α+β)等于( )
A.-2nB.-n2C.n2D.2n
答案 D
解析 ∵sin(α-β)=n，
∴sin αcs β-cs αsin β=n，
∵tan α=3tan β，
∴sin αcs β=3cs αsin β，
∴cs αsin β=n2，sin αcs β=3n2，
∴sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=2n.
3.(多选)(2025·芜湖模拟)在△ABC中，已知CA+CB=10，AB=8，则此三角形的面积可能为( )
A.e2B.103C.12D.15
答案 AC
解析 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为CA+CB=10，AB=8，
则a+b=10，c=8，
所以cs C=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab=102-2ab-822ab=18ab-1，
因为012，e20,若f(a)+f(-1)=2，则a= .
答案 8
解析 因为f(-1)=-(-1)2=-1，所以f(a)=3，
当x≤0时，f(x)=-x2≤0，
所以a>0，f(a)=lg2a=3，解得a=8.
5.(2025·杭州模拟)已知函数f(x)=xex-1-1.
(1)求函数f(x)在点(1，0)处的切线方程；
(2)若不等式f(x)≥ln x+ax恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)f'(x)=ex-1-1+xex-1=(x+1)ex-1-1，
所以f'(1)=1，
所以f(x)在点(1，0)处的切线方程为y=x-1.
(2)由f(x)≥ln x+ax(x>0)参变分离得，
a≤x(ex-1-1)-lnxx在(0，+∞)上恒成立，
令g(x)=x(ex-1-1)-lnxx，x>0，
则g'(x)=x2ex-1+lnx-1x2，
令h(x)=x2ex-1+ln x-1，x>0，h(1)=0，
则h'(x)=(2x+x2)ex-1+1x>0，即h(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以当x∈(0，1)时，h(x)0，
即当x∈(0，1)时，g'(x)0,|φ|0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，M(5，4)在E上，MA·MB=32.
(1)求E的方程；
(2)过M的直线l交E于另一点N(异于点A，B)，与x轴交于点G，直线NA与MB交于点H，证明：直线GH过定点.
(1)解 ∵M(5，4)在E上，∴25a2-16b2=1.①
∵A(-a，0)，B(a，0)，
∴MA=(-a-5，-4)，MB=(a-5，-4)，
∴MA·MB=41-a2=32，②
由①②解得a=3，b=3，故E的方程为x29-y29=1.
(2)证明 方法一 设直线NA的方程为x=my-3(m≠0)，∵直线MB的斜率为2，直线MA的斜率为12，∴m≠12且m≠2，直线MB的方程为y=2x-6，
联立x=my-3,y=2x-6,得H6m+32m-1,122m-1，
联立x=my-3,x29-y29=1,
消去x得(m2-1)y2-6my=0，
则m2-1≠0，Δ=36m2>0，
∴yN=6mm2-1，xN=3m2+3m2-1，
即N3m2+3m2-1,6mm2-1.
当直线MN的斜率存在时，显然直线MN的斜率不为0，
直线MN的斜率为6mm2-1-43m2+3m2-1-5=2m+1m+2，m≠-12，
∴直线MN的方程为y=2m+1m+2(x-5)+4.
令y=0，得x=6m-32m+1，即G6m-32m+1,0.
∴直线GH的斜率为122m-16m+32m-1-6m-32m+1=2m+12m，
∴直线GH的方程为y=2m+12mx-6m-32m+1，
即2m(x-y-3)+x+3=0，
由x-y-3=0,x+3=0,解得x=-3,y=-6,
故直线GH过定点(-3，-6).
当直线MN的斜率不存在时，N(5，-4)，G(5，0)，H95,-125，则直线GH的方程为y=34(x-5)，显然直线GH过点(-3，-6)，
综上，直线GH过定点(-3，-6).
方法二 同方法一，得H6m+32m-1,122m-1，G6m-32m+1,0，
设直线GH过定点T(x0，y0)，则GT∥HT，
又GT=x0-6m-32m+1,y0，HT=x0-6m+32m-1,y0-122m-1，
∴x0-6m+32m-1y0=x0-6m-32m+1y0-122m-1，
整理得2m(x0-y0-3)+x0+3=0，
由x0+3=0,x0-y0-3=0,解得x0=-3,y0=-6.
故直线GH过定点(-3，-6).
当直线MN的斜率不存在时，N(5，-4)，G(5，0)，m=-2，
则H95,-125，GT=(x0-5，y0)，HT=x0-95,y0+125，
∴(x0-5)y0+125=y0x0-95，
化简得3x0-4y0-15=0，
显然点(-3，-6)满足上式，
综上，直线GH过定点(-3，-6).
方法三 ①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k(x-5)+4(k≠0)，则G5k-4k,0，
由直线MB的斜率为4-05-3=2，直线MA的斜率为4-05+3=12，得k≠2，且k≠12，
联立y=k(x-5)+4,x29-y29=1,消去y得(k2-1)x2+(8k-10k2)x+25k2-40k+25=0，
则k2-1≠0，且Δ=4(4k-5)2>0，
∴5xN=25k2-40k+25k2-1，yN=k(xN-5)+4，
∴N5k2-8k+5k2-1,-4k2+10k-4k2-1，
∴直线NA的斜率为-4k2+10k-4k2-15k2-8k+5k2-1+3=-k-22k-1，
∴直线NA的方程为y=-k-22k-1(x+3).
直线MB的方程为y=2x-6，
联立y=-k-22k-1(x+3),y=2x-6,
当k≠45时，得H9k5k-4,24-12k5k-4，
∴直线GH的斜率为24-12k5k-49k5k-4-5k-4k=3k4k-2，
∴直线GH的方程为y=3k4k-2x-5k-4k，
即(3x-4y-15)k+2y+12=0，
由3x-4y-15=0,2y+12=0,解得x=-3,y=-6.
当k=45时，直线l经过原点，则点N与M关于原点对称，NA∥MB，不符合题意.
②当直线l的斜率不存在时，N(5，-4)，G(5，0)，H95,-125，则直线GH的方程为y=34(x-5)，显然直线GH过点(-3，-6)，
综上，直线GH过定点(-3，-6).
[周六]
1.(2025·揭阳模拟)“物竞天择，适者生存”是自然选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v(单位：分米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)近似满足v2=4H1-Hv2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为( )
A.0.2米米米D.0.7米
答案 B
解析 由v2=4H1-Hv2可知v2-Hv4=4H，故H=v2v4+4≤v224v4=14，当且仅当v2=2时，等号成立，于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.
2.(2025·张家口模拟)某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为( )
A.119B.122C.125D.132
答案 C
解析 从小到大排序为115，117，119，125，126，129，130，132，又8×40%=3.2，所以第40百分位数为第四个数，即125.
3.(多选)(2025·石家庄模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+11n，则下列说法正确的是( )
A.数列Snn为递减数列
B.当且仅当n=5时，Sn取得最大值
C.an=-2n+12
D.2an是等比数列
答案 ACD
解析 由题意可知，Snn=-n+11，则Sn+1n+1-Snn=-n+10-(-n+11)=-10,|φ|≤π2，圆C：x-122+y2=94.
(1)若f(x)两条相邻的对称轴与C相切，求ω，φ；
(2)若φ=π2，xi(i=1，2，…)是f(xi)的极值点，且点(xi，0)(i=1，2，…)有且仅有两个在C的内部，求ω的取值范围.
解 (1)由题意知，f(x)相邻对称轴间的距离为πω，又圆C的直径为3，则πω=3，得ω=π3，
又圆心C12,0，半径为32，
所以f(x)的其中一条对称轴为直线x=2，
则2×π3+φ=π2+k'π，k'∈Z，
解得φ=-π6+k'π，k'∈Z，
又|φ|≤π2，所以φ=-π6.
(2)若φ=π2，则f(x)的极值点满足ωx+π2=π2+kπ，k∈Z，解得x=kπω，k∈Z，
又圆C与x轴交点分别为(-1，0)，(2，0)，
所以原题设等价于有且仅有2个k值满足-1