2026届高三数学二轮复习讲义：每日一练　第六周（含解析）

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1.将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A.30种B.60种C.90种D.180种
答案 A
解析 先从5名志愿者中选2名参加卫生项目，有C52=5×42=10(种)分配方案，
再在剩下的3人中选2人参加宣传项目，有C32=3×22=3(种)分配方案，
剩下的1名志愿者参加审计项目，有1种分配方案，
所以共有10×3×1=30(种)分配方案.
2.(2025·广州模拟)已知函数f(x)=ex,x≤0,x-ax,x>0,若函数g(x)=f(x)-a恰有2个零点，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，0)B.(0，1]
C.(0，4]D.(4，+∞)
答案 B
解析 易知当x≤0时，函数y=ex单调递增，且y=ex∈(0，1].
当x>0时，函数y=x-ax.
显然当a>0时，y=x-ax在(0，+∞)上单调递增；
当x→0时，y→-∞；当x→+∞时，y→+∞，
此时函数f(x)的大致图象如图所示，
若函数g(x)=f(x)-a恰有2个零点，即函数f(x)的图象与直线y=a有2个交点，
由图可知a∈(0，1]；
当a=0时，y=x在(0，+∞)上单调递增，且恒大于0，显然函数f(x)的图象与直线y=a没有交点，不符合题意；
当a0，
当且仅当x=-a时，等号成立，显然函数f(x)的图象与直线y=a没有交点，不符合题意.
综上可知，实数a的取值范围是(0，1].
3.(多选)(2025·景德镇模拟)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，P是C上位于第一象限的一点，|PF|=4，过点M(0，1)的直线与C交于A，B两点(A在线段BM上)，且PF⊥AB，则( )
A.直线PF的倾斜角为60°
B.直线PA，PB的斜率之和为0
C.|MB|=2|MA|
D.MA·MB=4
答案 ABD
解析 设点P(x0，y0)，|PF|=x0+1=4，
解得x0=3，代入y2=4x中，又y0>0，则y0=23，所以点P(3，23)，
又F(1，0)，故直线PF的斜率为23-03-1=3，直线PF的倾斜角为60°，A正确；
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为PF⊥AB，则直线AB的斜率为-33，
直线AB的方程为x=-3(y-1)，
联立y2=4x,x=-3(y-1),
消去x可得y2+43y-43=0.
则y1+y2=-43，y1y2=-43，
所以直线PA，PB的斜率之和为y1-23x1-3+y2-23x2-3=4y1+23+4y2+23=4(y1+y2)+163y1y2+23(y1+y2)+12=0，B正确；
若|MB|=2|MA|，则x2=2x1，即y22=2y12，
所以y2=-2y1，经验证不符合题意，C错误；
MA·MB=y124,y1-1·y224,y2-1=y12y2216+y1y2-(y1+y2)+1=4，D正确.
4.(2025·合肥模拟)如图所示，两直角三角形共斜边MN，且MN=1，MB-MA=12，NA-NB=13，设∠AMN=β，∠BMN=α，则cs(β-α)= .
答案 5972
解析 由题意可得MB=cs α，NB=sin α，MA=cs β，NA=sin β，
因为MB-MA=12,NA-NB=13,则csα-csβ=12,sinβ-sinα=13,
两式平方相加可得2-2cs αcs β-2sin αsin β=1336，
即2-2cs(β-α)=1336，所以cs(β-α)=5972.
5.(2025·大连模拟)已知函数f(x)=(ln x-2)x2-mx(x>0)，g(x)为f(x)的导函数.
(1)当m=0时，求曲线g(x)在(1，g(1))处的切线方程；
(2)若f(x)的两个极值点分别为x1和x2，且x10，则h'(x)=2ln x-1，
所以当h'(x)>0时，x>e；
当h'(x)0，h(m)单调递增，
所以h(m)min=h-12=123，
故△QCD面积的最小值为12×123=63.
[周五]
1.(2025·沈阳模拟)若z=i(1+i)1-i，则( )
A.z+z=0B.z-z=0
C.z·z=-1D.zz=i
答案 B
解析 因为z=i(1+i)1-i=i(1+i)2(1-i)(1+i)=i·2i2=-1，则z=-1，
所以z+z=-2，z-z=0，z·z=1，zz=1，B正确，A，C，D错误.
2.(2025·黄山模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)渐近线的斜率小于55，则离心率e的取值范围为( )
A.(1，6)B.1,305
C.1,355D.(6，+∞)
答案 B
解析 依题意，00，ln x>0，此时f(x)>0，
当00，因此f(x)在(1，+∞)上单调递增，结合C选项可知x=1为f(x)的极小值点，故D正确.
4.(2025·衡阳模拟)已知点P在圆x2+y2-10x-10y+49=0上，点A(4，0)，B(0，3)，则当BA·BP最小时，点P到原点的距离为 .
答案 7
解析 由题知，圆的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=1，圆心为M(5，5)，半径r=1，
设P(x，y)，又A(4，0)，B(0，3)，
则BA=(4，-3)，BP=(x，y-3)，
所以BA·BP=4x-3y+9，
令4x-3y+9=t，则4x-3y+9-t=0，
又P(x，y)在圆上，由|4×5-3×5+9-t42+(-3)2≤r=1，解得9≤t≤19，
根据题意可知t=9满足题意，即4x-3y+9-t=0与圆相切时满足题意，
此时|OP|=|OM|2-r2=50-1=7，即点P到原点的距离为7.
5.(2025·新乡模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C+cs2B+sin(π-A)sin(π+C)=1.
(1)求B；
(2)若a=2，c=3，求△ABC内切圆的半径；
(3)若M为△ABC的垂心，且点M在△ABC内，直线AM与BC交于点D，且BM=4，求AB+MD的最大值.
解 (1)因为sin2A+sin2C+cs2B+sin(π-A)sin(π+C)=1，
所以sin2A+sin2C-sin Asin C=1-cs2B=sin2B.
由正弦定理得a2+c2-b2=ac，
所以cs B=a2+c2-b22ac=12，
因为0