2026届高三数学二轮复习讲义：每日一练　第二周（含解析）

这是一份2026届高三数学二轮复习讲义：每日一练　第二周（含解析），共18页。
1.(2025·江西八校联考)在(x2+x+y)6的展开式中，x7y的系数为( )
A.3B.6C.60D.30
答案 C
解析 根据二项式定理，可得[(x2+x)+y]6展开式的通项为Tk+1=C6k(x2+x)6-kyk(k=0，1，2，…，6).
要求x7y的系数，则y的次数k=1，此时(x2+x)6-k=(x2+x)5.
同样根据二项式定理，(x2+x)5展开式的通项为Tm+1=C5m(x2)5-mxm=C5mx10-m(m=0，1，2，…，5).
要得到x7，则令10-m=7，解得m=3.
当k=1，m=3时，x7y的系数为C61C53=6×10=60.
2.(2025·湖北高中协作体联考)若数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1-an(n∈N*)，则该数列的前2 025项的乘积是( )
A.-2B.-1C.2D.1
答案 C
解析 因为数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1-an(n∈N*)，
所以a2=1+a11-a1=1+21-2=-3，
同理可得a3=-12，a4=13，a5=2，…，
所以数列{an}的周期为4，即an+4=an，
且a1·a2·a3·a4=1，而2 025=506×4+1，
所以该数列的前2 025项的乘积是a1·a2·a3·a4·…·a2 025=1506×a1=2.
3.(多选)(2025·辽宁协作体模拟)下列说法中，正确的有( )
A.两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近于1
B.一组数据删除一个数后，得到一组新数据12，14，15，17，19，19，20，21.若这两组数据的中位数相等，则删除的数是18
C.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ8)=0.15，则P(2≤ξ≤5)=0.45
D.若一组样本数据x1，x2，…，x10的平均数是3，方差是2，则8可能在这组数据中
答案 AB
解析 两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近于1，线性相关程度越弱，样本相关系数的绝对值越接近于0，A正确；
12，14，15，17，19，19，20，21，这组数据共有8个，且已按照从小到大的顺序排序，中位数为第4个和第5个数的平均数，即中位数为17+192=18，由题意，原数据有9个，中位数恰为这9个数据从小到大排序后的第5个数，则该数为18，B正确；
P(ξ8)，则μ=5，且P(ξ0，则g'(x)=1-1x=x-1x，
令g'(x)=0，解得x=1，
当00，则g(x)单调递增；
故g(x)≥g(1)=0，则x-1≥ln x，
所以f(x)=|3x-1|-3ln x≥(3x-1)-3(x-1)=2，
当且仅当x=1时，等号成立，因此f(x)的最小值为2.
5.(2025·安徽皖南八校模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csAcsB=2sinC-π6.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3，AC边上的高为1，求△ABC的周长.
解 (1)由csAcsB=2sinC-π6，
得cs A=2cs B32sinC-12csC，①
由A+B+C=π，得cs A=-cs(B+C)=-cs Bcs C+sin Bsin C，②
由①②联立，得sin Bsin C=3cs Bsin C，
由C∈(0，π)，得sin C>0，所以tan B=3，
又由B∈(0，π)，得B=π3.
(2)因为△ABC的面积为3，
所以12b×1=3，得b=23.
由12acsin B=3，即12ac×32=3，所以ac=4.
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accs B，
即12=a2+c2-ac，
所以(a+c)2=3ac+12=24，可得a+c=26，
所以△ABC的周长为a+b+c=26+23.
[周二]
1.(2025·齐齐哈尔模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，设AB=a，AC=b，AA1=c，N为BC的中点，则A1N等于( )
A.a+b+cB.12a+b+c
C.12a+12b-cD.12a+12b+c
答案 C
解析 连接AN，如图，因为N为BC的中点，
所以A1N=A1A+AN=-AA1+12(AB+AC)=12a+12b-c.
2.(2025·潍坊模拟)现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为( )
A.325B.15C.625D.310
答案 C
解析 将甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作，每个社区的人数分别为3，1，1或2，2，1，所以不同的分法种数为C53+C52C32A22A33=10+10×32×6=150；
现在考虑安排甲、乙在同一个社区，若甲、乙所安排的社区有3人，则还需从另外3人中抽1人，此时分法为C31A33=18(种)；
若甲、乙所安排的社区只有他们两人，此时只需将剩余3人分为两组，则分法为C32A33=18(种).
综上所述，甲、乙被安排在同一个社区的概率为18+18150=625.
3.(多选)(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)=2sin2x+π3，函数y=g(x)的图象由y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度得到，则( )
A.f(x)与g(x)在π6,π3上有相同的单调性
B.g(x)的图象关于直线x=π12+kπ2(k∈Z)对称
C.设h(x)=f(x)g(x)，则h(x)的图象的一个对称中心为π12,0
D.当x∈[0，2π]时，直线y=f π2与g32x-π6的图象有6个交点
答案 ACD
解析 由题意知y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度可以得到g(x)=2sin2x+π4+π3=2sin2x+π2+π3=2cs2x+π3的图象，
对于A，当x∈π6,π3时，2x+π3∈2π3,π，
由正弦函数和余弦函数的性质可知，f(x)与g(x)在π6,π3上均单调递减，即它们有相同的单调性，故A正确；
对于B，由g(x)=2cs2x+π3，
令2x+π3=kπ(k∈Z)，解得x=-π6+kπ2(k∈Z).
因此g(x)的图象关于直线x=-π6+kπ2(k∈Z)对称，故B错误；
对于C，易知h(x)=f(x)g(x)=2sin2x+π32cs2x+π3=tan2x+π3，x≠π12+k1π2，k1∈Z，
令2x+π3=k'π2(k'∈Z)，解得x=-π6+k'π4(k'∈Z)，
则h(x)的图象的对称中心为-π6+k'π4,0(k'∈Z)，
当k'=1时，h(x)的图象的一个对称中心为π12,0，故C正确；
对于D，当x∈[0，2π]时，g32x-π6=2cs232x-π6+π3=2cs 3x，又f π2=2sin2×π2+π3=-3；
画出函数g32x-π6的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[0，2π]时，
直线y=f π2与g32x-π6的图象有6个交点，故D正确.
4.(2025·宝鸡模拟)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，当an为偶数时，an+1=an2，当an为奇数时，an+1=an+3，则S13= .
答案 30
解析 由题意知，a1=2，
则a2=a12=1，a3=a2+3=4，a4=a32=2，a5=a42=1，a6=a5+3=4，…，
归纳可得数列{an}是以3为周期的数列，且a1+a2+a3=2+1+4=7，
则a13=a1=2，
故S13=a1+a2+a3+…+a12+a13=4(a1+a2+a3)+a13=4×7+2=30.
5.(2025·芜湖模拟)已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(-4，0)，且与x轴，y轴分别交于B(x，0)，C(0，y)两个动点.
(1)求点M(x，y)的轨迹E的方程；
(2)若圆N与曲线E恰有一个公共点，且圆N与x轴相切于点F(1，0)，求圆N的半径.
解 (1)因为圆经过x轴上的两点A(-4，0)和B(x，0)，所以圆心为AB的中点x-42,0，
又因为该圆经过点A(-4，0)和C(0，y)，
所以x-422+y2=x-42+4，
化简得y2=4x，
所以点M(x，y)的轨迹E的方程为y2=4x.
(2)设圆N的半径为r(r>0)，且不妨设圆心N在x轴的上方，因为圆N与x轴相切于点F(1，0)，
所以圆心N(1，r)，
则圆N的方程为(x-1)2+(y-r)2=r2，
联立(x-1)2+(y-r)2=r2,y2=4x,
消去x，得y24-12+y2-2ry=0，
于是r=12yy24-12+y2=(y2+4)232y，(*)
因为圆N与曲线E恰有一个公共点，所以恰有一个正数y满足(*)，
记f(y)=(y2+4)232y(y>0)，
则f'(y)=(y2+4)(3y2-4)32y2，
令f'(y)0)在x=2时取得极小值，
所以f'(x)=2x-m+2x=0在x=2处成立.
即f'(2)=4-m+1=5-m=0，所以m=5，
当m=5时，f'(x)=2x-5+2x=(2x-1)(x-2)x，
当x∈12,2时，f'(x)0，所以根据基本不等式得2x+2x≥22x·2x=4，
当且仅当2x=2x，即x=1时取等号，
所以导函数f'(x)的最小值为4-5=-1.
3.(多选)(2025·苏北七市调研)已知双曲线C：x26-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y=kx交C于A，B两点，则( )
A.|k|0)，故x1，x2满足2x1-3ln x1-3=0，2x2-3ln x2-3=0，
即ln x1=13(2x1-3)，ln x2=13(2x2-3).
而f(x1)=x1ln x12x1-3=x1·13(2x1-3)2x1-3=13x1，同理f(x2)=13x2，故过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点的直线的斜率k=13x1-13x2x1-x2=13.
3.(多选)(2025·济南模拟)在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=AD=12BC=3，P为平面SAB内一动点，且直线CP，DP分别与平面SAB所成的角相等，则( )
A.BC⊥BP
B.平面SAB与平面SCD夹角的正切值为2
C.点P到平面SCD距离的最大值为6+33
D.当三棱锥P-ABC的体积最大时，其外接球的表面积为61π
答案 ABD
解析 在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，AB⊥AD，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，3，0)，S(0，0，3)，
对于A，AB=(3，0，0)，AS=(0，0，3)，BC=(0，6，0)，则AB·BC=0，AS·BC=0，
则AB⊥BC，SA⊥BC，而AB∩SA=A，AB，SA⊂平面SAB，因此BC⊥平面SAB，又BP⊂平面SAB，则BC⊥BP，A正确；
对于B，平面SAB的一个法向量为BC=(0，6，0)，DC=(3，3，0)，DS=(0，-3，3)，
设平面SCD的法向量n=(a，b，c)，
则DC·n=3a+3b=0,DS·n=-3b+3c=0,
取c=1，得n=(-1，1，1)，
设平面SAB与平面SCD的夹角为α，则cs α=|BC·n||BC||n|=663=13，tan α=1-cs2αcsα=2，B正确；
对于C，因为AD∥BC，所以AD⊥平面SAB，CP，DP与平面SAB所成的角分别为∠CPB，∠DPA，
由∠CPB=∠DPA，得BCBP=ADAP，则BP=2AP，设点P(x，0，z)，则(x-3)2+z2=4x2+4z2，
整理得(x+1)2+z2=4，令P(2cs θ-1，0，2sin θ)，
则DP=(2cs θ-1，-3，2sin θ)，
则点P到平面SCD的距离d=|2sinθ-2csθ-2|3=|22sin(θ-45°)-2|3≤26+233，
当且仅当sin(θ-45°)=-1时取等号，C错误；
对于D，因为S△ABC=9，所以当且仅当点P到直线AB的距离最大，即点P坐标为(-1，0，±2)时，三棱锥P-ABC的体积最大，此时PB=25，PA=5，sin∠PBA=2PB=15，
△PAB外接圆半径r=PA2sin∠PBA=52，而△ABC外接圆圆心为AC的中点，
令过此中点与平面ABC垂直的直线为l，则三棱锥P-ABC外接球球心O∈l(图略)，
可得l∥平面SAB，因此点O到平面SAB的距离d'=12BC=3，
球半径R=r2+d'2=612，所以外接球的表面积为4πR2=61π，D正确.
4.(2025·赣州模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,π2上单调，且f 2π3=f π2=-f π6，则正数ω的值为 .
答案 2
解析 由函数在π6,π2上单调，则T2≥π2-π6=π3，又f 2π3=f π2=-f π6，
12×π3+π6=π3，
所以函数f(x)的图象的一个对称中心为π3,0，
又2π3-π2=π6