人教版（2024）八年级下册（2024）24.1 数据的集中趋势精品第1课时教学设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）24.1 数据的集中趋势精品第1课时教学设计，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学准备，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
24.1 数据的集中趋势人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案
授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课
一、教学目标
知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。
过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。
二、教学重难点
重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。
难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。
三、教学准备
教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。
四、教学过程
（一）复习回顾（5分钟）
1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言：
① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC；
② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）；
③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。
2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。
（二）核心应用梳理（7分钟）
梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架：
1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”）
思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。
2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”）
思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。
3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”）
思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。
4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合）
思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。
强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。
（三）典例精讲（18分钟）
结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。
例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。
讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。
例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。
引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。
例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。
引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。
例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。
引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。
教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。
（四）变式训练（10分钟）
布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧：
1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。
2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。
3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。
学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。
（五）易错点总结（3分钟）
梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调：
1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质；
2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系；
3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱；
4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。
引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。
（六）课堂小结（2分钟）
引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。
（七）布置作业（2分钟）
基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。
拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。
五、板书设计
平行四边形的性质的运用
一、核心性质（几何语言）
1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC
2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补）
3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点）
二、常见应用场景及思路
1. 边长计算：对边相等+周长公式
2. 角度推理：对角相等+邻角互补
3. 对角线：互相平分+勾股定理
4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理
三、解题关键
1. 明确前提：四边形是平行四边形
2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨
四、典例精讲（规范书写步骤）
例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合
六、教学反思
本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。
24.1.1 平均数
第 1课时 平均数
解题大招 平均数与加权平均数
(1)若 x=1nx1+x2+x3+⋯+xn,y=1ny1+y2+y3+⋯+yn，则有下列结论：
①x1±y1,x2±y2,x3±y3,⋯,xn±y，n的平均数为x±y；
②x1,y1,x2,y2,x3,y3,⋯,xn,yn的平均数为 12x+y;
③ax1+b,ax2+b,ax3+b,⋯,axn+b的平均数为ax+b.
(2)平均数与一组数据中的每个数据都有关系，当一个数据发生变化时，会影响整组数据的平均数.
(3)算术平均数是加权平均数的特例.加权平均数的实质就是考虑不同权重的平均数，当加权平均数的各项的权相等时，就变成了简单的算术平均数.
例 小军八年级下学期的数学成绩如表所示：
(1)计算小军下学期平时的平均成绩；
(2)如果学期总评成绩按扇形图所示的权重计算，那么小军下学期的总评成绩是多少分?
解：(1)(90+95+85+90)÷4=90.
答：小军下学期平时的平均成绩是90分.
(2)90×10%+88×40%+92×50%=90.2.
答：小军下学期的总评成绩是 90.2分.
教学目标
课题
24.1.1 第1课时 平均数
授课人

素养目标
1.理解数据的权和加权平均数的概念，理解加权平均数在数据统计中的意义和作用.
2.会根据简单的算术平均数和加权平均数的计算公式进行有关计算，发展初步的统计意识和数据处理能力.
3.明确加权平均数与算术平均数的区别和联系，感受加权平均数在现实生活中的广泛应用.
4.理解把算术平均数的简便算法看成加权平均数的道理，进一步加深对加权平均数的认识.
教学重点
加权平均数概念的理解以及运用加权平均数解决实际问题.
教学难点
1.理解权的差异对平均数的影响.
2.对算术平均数的简便算法与加权平均数算法一致性的理解.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：提出问题，导入新课
【问题导入】
(教材P149问题1)甲、乙两组同学的跳绳成绩(单位：次/min)如下：
甲组182194143185156
乙组199148242 170 141
(1)现在要比较甲、乙两组的跳绳成绩，我们要用到哪一个统计量?请求出这个统计量.
答：需要用到平均数.
甲组跳绳成绩的平均数为 182+194+143+185+1565=172;
乙组跳绳成绩的平均数为 199+148+242+170+1415=180.
(2)你认为哪组的跳绳成绩更好?
答：由于乙组的跳绳成绩的平均数大于甲组的，所以乙组的跳绳成绩更好.
概念引入：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，我们把 x₁+x₂+⋯+xₙn，作这n个数据的平均数，记作“”.
平均数反映了一组数据的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量.本节课我们将对平均数进行进一步的探究.
【教学建议】
引导学生回顾平均数的计算公式，由学生自行求值，并指定学生代表回答，同时引导学生思考能否用跳绳成绩的总数比较两组跳绳成绩.
设计意图
通过简单的对算术平均数的复习，为新知识的学习奠定基础，并进行比较.
活动二：问题探究，引出新知
探究点 加权平均数
1.权表示数据的重要程度(权以比例的形式出现)
问题1 [教材P150问题2(1)]一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩(百分制)如表所示.如果这家公司想招一名综合能力较强的英文翻译，计算两名应试者的平均成绩.从他们的成绩看，应该录取谁?
应试者
听
说
读
写
甲
85
78
85
73
乙
73
80
82
83
解：甲的平均成绩为 85+78+85+734=80.25,
乙的平均成绩为 73+80+82+834=79.5.
因为甲的平均成绩比乙的高，所以应该录取甲.
如果计算平均成绩的话，显然甲的平均成绩较高，但是在现实生活中，公司往往更看重翻译的笔译能力，那么应该怎样设计成绩评比的方案呢?我们一起来看下面的问题：
问题2 [教材P150问题2(2)]如果这家公司想招一名笔译能力较强的英文翻译，用简单的算术平均数来衡量他们的成绩合理吗?如果听、说、读、写成绩按照2：1：3：4的比确定，应该录取谁?
解：不合理.如果听、说、读、写成绩按照2：1：3：4的比确定，那么甲的平均成绩为 85×2+78×1+85×3+73×42+1+3+4=79.5，乙的平均成绩为 73×2+80×1+82×3+83×42+1+3+4=80.4.因为乙的平均成绩比甲的高，所以应该录取乙.
问题3 比较问题1和问题2中的数据，他们在重要程度上有什么不同?
答：问题1中的数据被认为是同等重要，问题2是根据实际需要对不同的数据赋予与其重要程度相应的权重.
即：问题2中的2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权.
问题4 说一说问题1中听、说、读、写四项成绩的权是多少?问题2这四项中哪一项最重要?
答：问题1中听、说、读、写四项成绩的权都是1，问题2这四项中“写”最重要.
问题5 能把问题2中这种平均数的计算方法推广到一般吗? 能 .
概念引入：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别为w1，w2，…，wn，则 x₁w₁+x₂w₂+⋯+xₙwₙw₁+w₂+⋯+wₙ叫作这n个数的加权平均数.
问题6 利用上面提到的权和加权平均数的有关知识，我们再来看一个问题：
(教材P151思考)如果这家公司想招一名口语能力较强的英文翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取?
解：甲的平均成绩为 85×3+78×3+85×2+73×23+3+2+2=80.5,
乙的平均成绩为 73×3+80×3+82×2+83×23+3+2+2=78.9.
因为甲的平均成绩比乙的高，所以甲将被录取.
问题7 综合以上问题的分析，你认为权在加权平均数的计算中对结果有何影响?
答：通过上述问题的分析，我们可以发现权能够反映数据的相对重要程度，权的改变一般会影响这组数据的平均水平，它对最后的结果也会产生很重要的影响.某一项的权越大，说明此项越重要，那么此项的成绩越高，被录取的可能性也越大.
2.权表示数据的重要程度(权以百分比的形式出现)
例1 (教材 P151例1)一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、语言表达、形象风度三个方面为选手打分.各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%、语言表达占40%、形象风度占10%，计算选手的综合成绩.进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示，请确定两人的名次.
选手
演讲内容
语言表达
形象风度
A
85
95
95
B
95
85
95
解答前提问：这里“演讲内容、语言表达、形象风度”成绩的权是以什么形式出现的?各是多少?哪一项最重要?
答：“演讲内容、语言表达、形象风度”成绩的权是以百分比的形式出现的，分别是50%,40%,10%, “演讲内容”最重要.
写出例1的解答过程.
解：选手 A 的综合成绩是85×50%+95×40%+95×10%50%+40%+10%=90.
选手 B的综合成绩是 95×50%+85×40%+95×10%50%+40%+10%=91.
因为 9065>64,所以丙将去参赛.
【教学建议】
注意提醒学生：
(1)加权平均数不仅与每个数据有关，还受每个数据权的影响，权越大，对平均数的影响越大，反之越小.
(2)权的表现形
式有比例、百分比、数据出现的次数等几种情况.
设计意图
巩固学生对加权平均数的认知，能运用加权平均数解决实际问题.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
加权平均数中，权的作用是什么?加权平均数的计算公式是什么?当一组数据中有多个数据重复出现时，如何简便地计算这组数据的平均数?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P164~165习题24.1第5,6,8题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
24.1.1 平均数
第1课时平均数
1.平均数.
2.加权平均数的概念：
一般地，若n个数x₁，x₂，…，xₙ的权分别是 w₁，w₂，⋯，wₙ,，则 x₁w₁+x₂w₂+⋯+xₙwₙw₁+w₂+⋯+wₙ叫作这n个数的加权平均数.
教学反思
本课时先探究平均数，再通过探究不同的求解方式发现加权平均数，在学习过程中体会权的重要性，掌握加权平均数的概念与计算公式，学会分析数据并利用数据指导我们的学习和生活.
本节课培养了学生的数学思维能力，让学生从生活中学习数学，体现了数学来源于生活并应用于生活.