上海市复旦附中2025-2026学年高一上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份上海市复旦附中2025-2026学年高一上学期期末数学试题（含答案解析），共5页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 函数的定义域是_______.
2. 函数的严格增区间是_______.
3. 设，若，则_____
4. 不等式的解集是__________.
5. 已知 ，则______
6. 已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________.
7. 已知扇形的周长为4，面积为1，则扇形的圆心角为__________；
8. 已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________.
9. 若函数的值域为R，则a的取值范围是_______.
10. 已知，满足，则的最大值为_______．
11. 已知若对任意都存在使得则实数m_________．
12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是________.
二、单选题
13. 已知 则是 的（ ）
14. 某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间单位：年)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为（ ）
15. 美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的The Mathematical Universe一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的错误选项为（ ）
16. 已知以下三个陈述句：：对任意，都有；：对任意，都有；：函数为偶函数.用这三个陈述句组成两个命题：命题p：“若，则”；命题q：“若，则”.关于命题p、q，以下说法正确的是（ ）
三、解答题
17. 已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
18. 已知函数.
(1)若是定义在R上的偶函数，求实数a的值；
(2)若，当m变化时，讨论方程解的个数.
19. 如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射现象，还会发生折射现象；我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率．
(1)已知该介质的折射率为若一束光从P点发射，在分界面O点处发生反射和折射；其反射光线经过点R，折射光线经过点Q，若其入射角的大小恰好是折射角β大小的两倍，求此时反射光线与折射光线夹角的正弦值；
(2)现有一束光从距分界面竖直高度h=2m处的光源P点以入射角α射入某介质甲，已知介质甲的折射率为 2，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为x轴，法线为y轴建立如图2 所示的平面直角坐标系，在介质甲中距离点水平距离为l=1m处有一竖直接收装置，设接收装置在点处接收到该折射光线，即若该光线从P点射出到Q点接收过程中所走过的总路程为(不考虑反射光线的路程)，求入射角的正切值.
20. 已知是定义域为的函数，实数，定义函数：.
(1)若，求函数的值域；
(2)若，函数满足对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)若满足：①，且当时，f(x)0；②对于任意满足，且当时，；求证：函数在上是严格增函数.
21. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.
(1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；
(2)若函数是在D上的"L函数"，求实数m的取值范围；
(3)若，函数是在D上的"L函数"，满足，设函数是定义在上周期为1的周期函数，满足当时，；求证:对任意的都有
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
A．5
B．6
C．11
D．12
A．
B．
C．
D．
A．p、q都是真命题
B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题
D．p、q都是假命题