上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（A卷）（含答案解析）

这是一份上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（A卷）（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 已知等差数列的前n项和为，，，则______．
2. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则______．
3. 已知双曲线的离心率为，则______．
4. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为__________.
5. 从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______．
6. 已知等比数列满足：，，则公比______．
7. 已知数列满足：，，则数列的前383项和为______．
8. 已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为______.
9. 某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm.
10. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆，其中的长轴AC为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为______．

11. 如图，有一个用8个完全一样的空心正方体框架所搭建的模型．现有一只蚂蚁沿着这些正方体的棱，并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点爬到B点，可能的爬行路径共有______种（用数字作答）．
12. 对于无穷数列，若对任意，，总存在，，使得，则称数列是“Q数列”．若等差数列是“Q数列”，设公差为（），则的取值集合为______．
二、单选题
13. 函数在上（ ）
14. 已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（ ）条件．
15. 定义“摆动数列”如下：存在正整数t，满足，且存在正整数s，满足．已知“摆动数列”共4项，若，则这样的数列共有（ ）
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点和点的坐标分别为，，P为平面上的动点，直线l经过点P，记点，到直线l的距离分别为，，若，则称直线l为P的“Q直线”．给出以下两个命题：①存在点P，有且仅有两条“Q直线”；②存在点P，有且仅有三条“Q直线”．则下列说法正确的是（ ）．
三、解答题
17. 已知二项式，求：
(1)二项展开式中第3项的系数；
(2)二项展开式中项的系数．
18. 已知数列满足：，．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
19. 已知，其中．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求实数a的值；
(2)当时，求证：函数存在唯一零点．
20. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合．
(1)求b的值；
(2)已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程；
(3)若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围．
21. 若函数的定义域为，且的导函数是上的严格减函数，则称函数为函数．
(1)分别判断函数，与函数，是否为函数．直接写出结论，无需说明理由；
(2)已知函数是函数，且曲线在点（t为常数）处的切线方程为，记集合，求集合；
(3)已知函数与都是函数，且函数与的图象都是连续曲线．若存在条不同的直线与两条曲线及都相切，求证：曲线与曲线至少存在s个不同的公共点．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．既无极大值也无极小值
B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．有极大值无极小值
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分又非必要
A．64个
B．57个
C．56个
D．54个
A．①②均正确
B．①②均不正确
C．①正确②不正确
D．①不正确②正确