上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题（含答案解析）

这是一份上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题（含答案解析），共9页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________.
2. 设集合，，则______．
3. 已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______.
4. 某工厂生产一批零件，其尺寸（单位：）服从正态分布，且，，则______.
5. 为增强学生的体质，某校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和乒乓球.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学两者都爱好.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为______.
6. 已知，空间向量，，若，则______.
7. 已知等比数列满足，设的前项和为，则______.
8. 在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答）
9. 已知正数，，成等差数列，则的最小值为______.
10. 如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米）
11. 已知球的半径为2，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且.设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则的最小值是______.

12. 已知共有10项的数列是1，2，3，…，10的一个排列，若对于任意正整数，都有，则满足条件的不同数列的个数为______.
二、单选题
13. 设，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则（ ）.
14. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）.

15. 阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线与直线交于、两点，要求弓形部分面积.先构造直线，且与抛物线相切于点，得到一级；用同样的方法在切点两旁得到两个二级、；再用同样的方法在切点、两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明可知级三角形的面积都是级三角形面积的，则这无穷多个三角形的面积之和逼近弓形面积，所以求出这无穷多个三角形的面积之和的极限值就可以得出弓形面积.若已知抛物线：，直线：，则抛物线与直线围成的弓形面积为（ ）.

16. 已知的定义域为，若对任意，均有，则称该函数具有性质.对于下列两个命题，以下选项中正确的是（ ）.
①若具有性质，且在上严格增，则是奇函数；
②“是偶函数”的充要条件为“对任意定义在上的偶函数，函数均具有性质”.
三、解答题
17. 如图，在正三棱柱中，，，点、、分别是棱、、的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的大小.
18. 已知，其中.
(1)若，求函数的最小正周期及严格增区间；
(2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围.
19. AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表.
(1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由；
(2)从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）；
(3)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望.
参考公式及数据：①，其中.
②，，，.
20. 已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.

(1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值；
(2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程；
(3)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
21. 设，.
(1)求证：在上恒成立；
(2)若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围；
(3)设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．变量与呈现正相关，且
B．变量与呈现负相关，且
C．变量与呈现正相关，且
D．变量与呈现负相关，且
A．
B．
C．
D．
A．①、②都正确
B．①、②都错误
C．①正确，②错误
D．①错误，②正确
购买AI手机
购买无AI技术的手机
总计
男性顾客
45
65
110
女性顾客
56
34
90
总计
101
99
200