专题01 矩形的计算与证明（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

这是一份专题01 矩形的计算与证明（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案，共5页。试卷主要包含了如图，点，在矩形内，等内容，欢迎下载使用。
目 录
考点一：根据矩形的性质求线段长
1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________．
2．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______．
3．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______．
4．（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______．
5．（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为__________．
考点二：根据矩形的性质计算面积
1．（2025·湖北·中考真题）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是______．
2．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ）
A．12B．C．16D．
3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求四边形的面积．
4．（2025·云南丽江·一模）如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若菱形的面积为48，求矩形的面积．
5．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，是矩形的对角线，点为边上的点，连接、，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为______．
考点三：坐标系中的矩形计算问题
1．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E．
(1)求点D的坐标和k的值；
(2)延长 交x轴于点F，求的面积．
2．（2025·四川南充·三模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，分别过点，作轴，轴平行线，交于点，的面积为16．
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；
(2)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，直接写出点，的坐标．
3．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形中，边、分别在轴和轴上，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为，则点的坐标为______．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴上，点，，是矩形对角线的交点，双曲线在如图所示的位置上．请写出一个符合要求的双曲线的表达式：_________．
5．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
考点四：矩形的折叠问题
1．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形．
(1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的长．
2．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
(1)求的长；
(2)求证：四边形是黄金矩形；
(3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为________．
4．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、．
【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．创新小组经过探究，发现，证明过程如下：由折叠可知，．由矩形的性质，可知，．①________．．智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一：
方法一：证明，得到，再由可得结论．
方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程．
【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长．
5．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．
考点五：矩形的判定
1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ）
A．B．4C．D．
2．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ）
A．B．5C．4D．8
3．（2025·河北·中考真题）综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
(1)图中，矩形的周长为______；
(2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求．
(4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
当时，求的值；
当最大时，直接写出的长．
4．（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
5．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M是射线的一个动点，连接，过作于点P．
(1)如图①．当点M为边中点时，连接并延长交于点E．
①求证：；
②的长为 ．（直接写出答案）
(2)如图②，点Q在边上，且，当时，求的长．
1．（2025·新疆·模拟预测）如图，矩形，点在射线上，将沿翻折，使得点与点重合，连接交于点．
(1)求证：．
(2)如图，若点落在边上，且，求的长．
(3)如图，点为中点，连接，，点在射线上运动过程中，求长的最大值．
2．（2025·湖南·模拟预测）已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠．
(1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，．
①判断四边形的形状，并证明你的结论；
②若，，求折痕的长；
(2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且．
①求证：；
②若，，求的长．
3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．
(1)直接写出___________°，___________；
(2)当时，求的值；
(3)如图2，连接并延长交直线于点．
①求证：；
②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值．
4．（2025·河南濮阳·一模）在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接．
【特例发现】
（1）如图1，当时，________；
【类比探究】
（2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值；
【拓展运用】
（3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长．
5．（2025·湖南·模拟预测）如图，为矩形对角线，的交点，，，是直线上的动点，且，求的最小值．
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四边形为矩形，点，在上，连接，．
(1)如图，求证：；
(2)如图，点在上，，求证：平分；
(3)如图，在的条件下，与相切，交于点，点在上，，连接，若，，求的长．
2．（2025·山西朔州·二模）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点．
(1)如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由．
(2)如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点．
①求证：．
②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______．
(3)若点落在直线上，请直接写出的长．
3．（2025·河南驻马店·三模）综合与实践
如图，在中，，点M为边上不与端点重合的一个动点，过点M作于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，过点M作，交于点N．
(1)初步探究
如图1，，四边形的形状是____________；线段与的数量关系是____________；
(2)类比探究
如图2，，
①写出图中与相等的角，并说明理由；
②求证：；
(3)拓展应用
当时，直接用含n的代数式表示的值．
4．（2025·海南海口·三模）矩形中，，，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，过点F作于点M．
(1)如图，当点E在上时，求证：；
(2)当点E在折线上运动时，连接，．
①若，求的长；
②请直接写出的最小值．
5．（2025·河南·模拟预测）如图1，已知矩形分别为中点，连接．
(1)_____，与的位置关系为_____；
(2)如图2，若把绕点逆时针旋转与之间的数量关系和位置关系是否会发生变化，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图3，直线与交于点，当旋转至时，请直接写出的长．
刷考点 精准巩固，扫清盲区
提能力 聚焦过程，优化策略
测综合 跨界融合，挑战创新
易｜混｜易｜错
易错点（考试最容易丢分） 1.只记得对角线相等，忘记 “互相平分” 易错：以为对角线分成的四段不相等 正确：矩形对角线互相平分且相等，四段都相等。 2.把 “对角线的一半” 当成整条对角线 求线段时经常少除以 2。 3.勾股定理算错边 把邻边当成斜边，或把对角线当成直角边。 3.折叠题不设未知数 不设 x，硬找关系，容易乱、算错。 4.忽略矩形 “直角”，有矩形却想不到构造直角三角形。 5.混淆矩形与平行四边形 平行四边形对角线只平分不相等，矩形既平分又相等。
解｜题｜技｜巧
1. 先标性质
四个角都是直角 → 可用勾股定理
对边平行且相等
对角线相等且互相平分 → 分成四段相等线段
对角线相交形成等腰三角形
2.求线段长通用思路
看是否在直角三角形里：直接勾股定理
看是否是对角线一半：利用对角线相等、互相平分
看是否是对边：直接等量代换
有折叠 / 平移：找相等线段、相等角
3.常用模型
矩形 + 直角三角形 → 勾股定理
矩形 + 中点 → 对角线一半、中位线
矩形 + 折叠 → 设未知数，列方程。
解｜题｜技｜巧
1.基础公式
矩形面积 = 长 × 宽；
矩形对角线把矩形分成面积相等的两个三角形
2.常用思路
直接算：已知长、宽，直接用公式
间接算：用大矩形 − 空白部分
等分算：对角线、中线把矩形等分面积
平移 / 折叠算：面积不变，只找对应边长
3. 高频模型
矩形内一点：四个三角形面积之和 = 矩形面积的一半
折叠问题：重叠部分面积，用边长变化 + 勾股定理算
动点问题：用底 × 高，把变量表示成线段长
易｜混｜易｜错
1.坐标相减时顺序反了；距离一定是正数，横坐标、纵坐标都要大减小。
2.只考虑一种情况，漏解：矩形存在性问题常两解甚至多解，必须分类。
3.把 “平行” 当成 “垂直”：坐标系里矩形一定要满足邻边垂直。
4.中点坐标公式用错；中点横坐标 =，纵坐标 ，忽略点在坐标轴 / 象限符号
坐标带正负，但长度、面积永远为正。
解｜题｜技｜巧
坐标化边长：
水平线段长 = 右边点横坐标 − 左边点横坐标
竖直线段长 = 上边点纵坐标 − 下边点纵坐标
用坐标表示矩形顶点:
已知对角顶点，可直接写出另外两点：
(x1​,y1​)、(x2​,y2​) 为对角线 → 另两点 (x1​,y2​)、(x2​,y1​)
利用矩形性质列方程:
对边平行且相等 → 横坐标差相等、纵坐标差相等
四个角为直角 → 可用勾股定理、垂直斜率乘积为 - 1
对角线相等且互相平分 → 中点坐标相同、对角线长度相同
存在性问题通用思路:
以哪条线段为边;以哪条线段为对角线,两种情况分类讨论，不重不漏。
易｜混｜易｜错
 1.忘记折叠前后边相等，直接用原图边长乱算，不做等量代换。
 2.不设未知数，硬算关系，复杂折叠不设 x 几乎做不出来。
 3.找错直角三角形，把不在同一直角三角形的三条边拿来套勾股定理。
 4.把 “折叠后的边” 当成原来的边长，只看图不标相等线段，最容易错。
 5.漏看 “点落在边上 / 内部 / 外部”，导致边长关系表示错误。
 6.计算错误，平方、移项、符号出错，思路对但答案错。
解｜题｜技｜巧
一、解题技巧（4 步万能法）
1.先找不变量（折叠核心）；折叠前后，对应边相等、对应角相等；
2.找直角三角形：矩形折叠一定会出现直角三角形，目标就是把所求线段放进这个直角三角形。
3.设未知数 + 表示各边：
4.根据勾股定理列方程求解。
易｜混｜易｜错
1.直接用 “对角线相等” 判矩形； 错误：对角线相等的四边形是矩形； 正确：对角线相等的平行四边形才是矩形； 2.直接用 “有一个直角” 判矩形； 错误：有一个角是直角的四边形是矩形； 正确：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 3.把 “平行四边形” 性质当成矩形性质； 平行四边形：对角线平分； 矩形：对角线平分且相等； 4.判定时漏条件、跳步骤； 必须写清楚：先平行四边形，再证矩形； 5.坐标系里只证平行不证垂直 / 对角线相等； 平行四边形≠矩形，还差一步；
如图3，嘉嘉的思路如下：
①连接，交于点；
②过点作，分别交，于点，
……
如图4，淇淇的方法如下：
①在边上截取，连接；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③在边上截取，作直线．
解｜题｜技｜巧
1.先判平行四边形，再证矩形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
2.直接判定矩形（不用先证平行四边形）
三个角是直角的四边形是矩形
3.坐标系里判定矩形
先证平行四边形（对边平行 / 中点相同）
再证邻边垂直 或 对角线相等