专题01 由图形运动产生的最值问题（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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考点一：与图形平移有关的最值问题
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，点为边长为6的正方形的边的中点，点是边上一点，交于点，连接，，当最小时，______．
【答案】2
【分析】过点作于点，将平移至，连接，证明，则，由勾股定理求得，则最小值即为的最小值，由平移性质可得四边形为平行四边形，则，，由，得到点三点共线时，取得最小值，即为，可得为等腰直角三角形，设，由，得到，根据，求出，则，，则．
【详解】解：过点作于点，将平移至，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴最小值即为的最小值
由平移可得：，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点三点共线时，取得最小值，即为，如图：
∵，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键在于转化思想的运用．
2．（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，．
(1)画出将先向下平移6个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的，并直接写出点的坐标： ；
(2)若点D为上一点，轴，垂足为点E，当的长最小时，请通过作图，确定点D的位置．
【答案】(1)，图见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查平移作图，三角形三边关系等，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．
（1）根据平移的作图方法作图即可，然后读出点的坐标即可得出结果；
（2）将点向上平移2个单位长度得点M，连接交于点D，过点D作轴于点E即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，，
故答案为：
（2）将点向上平移2个单位长度得点M，连接交于点D，过点D作轴于点E．
3．（2025·广西南宁·三模）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，
作点关于x轴的对称点E，连接，则，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴，
解得（已检验），
∴平移后的抛物线解析式为，
故答案为：．
4．（2025·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)把向上平移4个单位长度得的对应点分别是．请做出．
(2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出的对应点分别是．
(3)设点是轴上的动点，当周长取最小时，写出点P的坐标______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，以及一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，数形结合是解题的关键；
（1）根据平移的性质，作出；
（2）根据旋转的性质，作出
（3）作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，进而待定系数法求解析式，进而求得点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，
∵的长度固定，当在上时，取得最小值，即周长取最小，
∴点即为所求；
设直线解析式为，代入，
解得：
∴
当时，
解得：
∴
故答案为：．
5．（2023·山东济南·二模）如图，矩形的边在平面直角坐标系中的轴上，矩形对角线交于点，过点M的反比例函数与矩形的边交于点，，直线交x轴于点F．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)若点P为x轴上一点，当最小时，求出点P的坐标；
(3)若点Q为平面内任意一点，若以点B，E，F，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或．
【分析】（1）反比例函数过，利用待定系数法可得解析式，再求解E的坐标，结合，可得B的坐标；
（2）如图，作D关于x轴的对称点T，连接交x轴于P，则此时最短，先求解，可得，设为，可得为，从而可得答案；
（3）先求解的解析式为：，可得，而，分三种情况讨论：当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：．
【详解】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数；
∵在反比例函数图象上，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
（2）如图，作D关于x轴的对称点T，连接交x轴于P，则此时最短，
∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设为，
∴，解得：，
∴为，
当时，，
解得：，
∴．
（3）∵，，
同理可得的解析式为：，
当时，，
∴，而，
当为对角线时，则由平移的性质可得：，
当为对角线时，则由平移的性质可得：，
当为对角线时，则由平移的性质可得：．
综上：或或．
考点二：与图形折叠有关的最值问题
1．（2025·河南·模拟预测）如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、翻折变换的性质等知识，利用折叠性质结合三角形三边不等关系确定取最小值的位置，再结合角度关系推导边长是解题的关键．
由菱形的边得，，由高得，进而得，求得，则，由折叠得，由，可知当点落在上时，取得最小值，此时，则，得即可判断．
【详解】
解：如图1，
∵菱形的边，
∴，，
∵高，即，
∴，
∴，，
∴，
∵将四边形沿直线折叠，点的对应点为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当点落在上时，取得最小值，最小值为，
如图2，
点在上，则，
∴，
∴．
故选：D．
2．（2025·湖北·模拟预测）如图，已知和是两个全等的等边三角形，点是内部一点，连接、，点为直线上一动点，连接、，将沿直线翻折得到，连接，，若，，当的长度为最小时，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】依据题意，可证得，从而得出点在上，从而当时，最小，从而得出，，取的中点，连接，，作于，可得出，从而得出当点在上时，即可求出得解．
【详解】解：由题意，如图所示，取的中点，连接，，作于，
和是等边三角形，
．
，
由折叠知，，．
四边形是菱形，
，
．
，
点在上，
当时，最小，
，
．
，．
，
．
，
．
，
当点在上时， ，
故答案为：．
3．（2025·河北保定·三模）如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（ ）
A．7B．6C．5D．6.5
【答案】A
【分析】本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理的应用，翻折的性质、等腰三角形的判定．由可知点在以P为圆心以为半径的弧上，故此当C，P，在一条直线上时，有最小值，过点C作，垂足为H，先求得、的长，则可得到的长，然后再求得的长，最后依据折叠的性质和平行线的性质可证明为等腰三角形，则可得到的长．
【详解】解：∵菱形中，，，
∴，
∴点在以P为圆心以为半径的弧上，故此当C，P，在一条直线上时，有最小值，
如图所示：过点C作，垂足为H，
在中，，，
则，．
∵，
∴，
在中，依据勾股定理可知：，
∴由翻折的性质可知：．
∵，
∴．
∴．
∴．
故选：A．
4．（2025·安徽合肥·二模）中，，，，E为AC上一点，，F为BC上一点，连接EF，将沿EF翻折，得到，连接AD、BD，
（1）若，则_______；（填长度）
（2）当面积最小时，_______．（填长度）
【答案】 /
【分析】本题考查翻折变换的性质，最短路径问题，解三角形等知识，解题的关键是正确找到点D位置．
（1）如图1，过点作，利用得出，再解三角形即可；
（2）过点作，，垂足分别为，，由垂线段最短可知，得出当在上时，即、、三点共线，最小，再构造四边形是矩形，求出，再由解三角形即可解答．
【详解】解：（1）如图1，过点作，
由折叠可知：，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴
（2）如图1，过点作，，垂足分别为，，
，，，，
∴，
∴，
∴，
因为，
∴，
∴当在上时，即、、三点共线，最小，
∵，
∴当面积最小时，最小，
如图3． 当在上时，过点作，垂足分别为，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
又因为：，
∴，
∴，
故答案为：，．
5．（2025·广东广州·二模）如图，等边三角形的顶点，点在第一象限内，点在边上且，点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点到的距离为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质，由等边三角形的性质可得，，求出，由折叠的性质可得，推出点在以为圆心，2为半径的圆上，作交于，交于，此时最小，得出的面积最小，解直角三角形得出，，即可得解．
【详解】解：∵等边三角形的顶点，，
∴，，
∵，
∴，
∵点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，
∴，
∴点在以为圆心，2为半径的圆上，作交于，交于，如图，
，
此时最小，
∵，
∴此时的面积最小，
∵，
∴，
∴，
∴当的面积最小时，点到的距离为．
故选：D．

考点三：与图形旋转有关的最值问题
1．（2025·重庆·模拟预测）如图，等边三角形，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交直线于点．
(1)如图1，若，，求的长度；
(2)如图2，当，，三点共线时，连接，点为中点，连接，过点作于点，请猜想，的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，连接，点在边上运动时，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，且，当以及均最小时，连接，若，直接写出当以及均最小时对应的面积．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，分别解，，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可；
（2）连接，延长至点使得，连接，证明，旋转，结合等边对等角，求出，三线和一得到为中垂线，进而得到，证明，得到，为含30度角的直角三角形，进而求出，线段的和差关系求出；
（3）延长至点，使，证明，从而推出，得到点在直线上运动，垂线段最短，得到时最短，得到此时三点共线，结合（2）中结论得到，将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到当，，三点共线时，有最小值，求出的长，进而确定的位置，利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：过点作于点
∵旋转，
∴
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
中，，，
∴，
∴，，
∴，
；
（2）连接，延长至点使得，连接，
∵点为中点，
∴，
∵，
，
∴，
∵旋转，
∴，，
，，三点共线，
∴，
∴，
∵，
，，
为中垂线，
，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
，
∴；
；
（3）延长至点，使，则：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
∴当时，最小，
此时，
∴，
∴当最小时，点，，三点共线，
由（2）可知，此时为中点，，，
如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当，，三点共线时，有最小值，
过点作，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图当以及均最小时，，位置如图，则：，
过点，则：，，
∴．
2．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点在平面内旋转得到菱形，若与所在直线交于点，则当最小时，的长为______．
【答案】
【分析】如图，A、、C三点共线，连接，，相交于点O，先推出当A、、C三点共线时，最小，根据菱形的性质以及旋转的性质可得，，，，进而可得，，则，，根据可得答案．
【详解】解：如图，A、、C三点共线，连接，，相交于点O，
当A、、C三点共线时，，
当A、、C三点不共线时，A、、C三点构成三角形，则，
∴当A、、C三点共线时，最小，
∵菱形是边长为2的菱形，，
∴，，，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转得，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，中，，，为边的中点，将线段以点中心逆时针旋转得到线段，连接．
（1）若，则长为______；
（2）长最大为______．
【答案】 2
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，借助于圆求线段的最值问题，解题的关键是构造出圆来解决最值问题．
（1）利用勾股定理和线段的中点即可求解；
（2）过点作，使，以线段的中点为圆心，长为半径画，连接并延长，交于点，此时长最大，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）由勾股定理得，
为边的中点，
，
故答案为：2；
（2）如图，以为直径画，则点在上，
过点作，使，连接
以线段的中点为圆心，长为半径画，
，，
，
，
∴点在以为直径的圆弧上，
连接并延长，交于点，此时长最大，
，
，
由勾股定理得，
，
故答案为：．
4．（2025·四川泸州·二模）图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作于点，连接，根据等边三角形和矩形的性质，当且仅当、、三点共线时，取得最小值为4，然后根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：过点作于点，连接，
由题意可得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
当且仅当、、三点共线时，取得最小值为4，
，
，
，
，
．
当最小时，则．
故选：B．
5．（2025·河南周口·三模）如图，在矩形中，，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点A运动，将绕点P顺时针旋转，得到，连接．当的值最小时，点P运动的时间为（ ）
A．2秒B．2秒C．秒D．3秒
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，以为边在矩形内部作等边三角形，连接并延长交于点，过点作于点，证明，得出，，即点在垂直于的直线上运动，进而得出当点运动到点时，取得最小值，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，以为边在矩形内部作等边三角形，连接并延长交于点，过点作于点，
将绕点顺时针旋转，得到，
，
三角形是等边三角形，

又是等边三角形，
，
，
，
，，
即点在垂直于的直线上运动，
，
当点运动到点时，取得最小值，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，即取得最小值，，
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，
点运动的时间为，
故选：C．
1．（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据题意可得抛物线的解析式为，分析可知当最小时，的周长最小，利用轴对称分别作出点M关于x轴和y轴的对应点，分别求解出直线的解析式，找到最短路线，分别求出的值，比较两种情况取值更小的结果即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，，是抛物线上的一点，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为，
∴，，
的周长为，且是定值，所以只需最小；
如图，过点，作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P，
设直线的解析式为，
由点，和点，可得，
解得：，
∴直线的解析式为，当时，，即，；
，，，，，
∴，
此时的周长为；
同理，如图，过点，作关于x轴对称的点，，连接，与x轴的交点即为所求的点P，
设直线的解析式为，
由点，和点，可得，
解得：，
∴直线的解析式为，当时，，即，，
，，，，，
∴，
此时△PMN的周长为；
，，
∴，
∴点P在y轴上时，的周长最小，此时点P的坐标是，．
故选：C．
2．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，交于点O，，现以点O为旋转中心，将所在的直线绕点O逆时针旋转一定的角度，旋转之后的直线与边，所在的直线分别交于点E，F，连接、，要使四边形是矩形，这个旋转角的度数最小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题综合考查了矩形的性质、菱形的性质以及旋转的性质．由菱形的对角线互相垂直知，由矩形的两条对角线互相平分且相等的性质、等边对等角推知，则，再由求解即可．
【详解】解：如图，∵四边形是菱形，
∴，即，
∵四边形是矩形，
，
∴，
即，
，
，
即把所在的直线绕点逆时针旋转最小的角是．
故选：C．
3．（2025·安徽池州·三模）如图，在等边三角形中，，P为边上一动点，连接，M为的中点，连接，将线段以M点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．则线段的长最小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
取的中点D，以为边作等边三角形，连接，，，证明，而可得，则当时，最小，过点作于点，记与交于点，根据平行线间的距离处处相等可得，再解，求出即可．
【详解】解析：如图，取的中点D，以为边作等边三角形，连接，，．
∵等边，
∴，
∵M为的中点，D为的中点，
∴，
∴，
∵等边，
∴，，
∴，
∴点三点共线，
∵绕点M旋转，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，当时，最小，
过点作于点，记与交于点，
∴，
在等边中，，
∵点为中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理可求，
∴此时，
∴最小为，
故选：A．
4．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为______．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
连接，证明是等腰直角三角形，则有，，求出，然后证明点是外接圆的上的一个动点，故有当点共线时，的长最小，则的面积最小，过点作于点，则四边形是矩形，则有，再由面积公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴在中，，
连接，由题意可知是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
∴点是外接圆的上的一个动点，
作的外接圆，连接，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点作于点，
当点共线时，的长最小，则的面积最小，
当点共线时，，
∴，
∴是等边三角形，，
过点作于点，则四边形是矩形，
∵，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小面积为，
故答案为：．
5．（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线，掌握相关知识的灵活运用．
连接交于E，，可推出，，从而得出当B、Q、E共线时，最小，作于H，设，则，，利用勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，由即可得解．
【详解】解：如图，连接交于E，
∵于D，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵Q是的中点，
∴是定值，当B、Q、E共线时，最小，即的周长最小，
作于H，设，
∵，
∴，
∵Q是的中点，，，
，
∴，
在中，，
∵的周长最小值为，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
6．（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为_____．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，两点之间，线段最短等．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．先确定点关于直线对称的点的坐标，连接与直线的交点即为点，再求出直线的解析式，联立方程组，求出两直线的交点坐标即可．
【详解】解：作点关于直线对称的点，连接，如图：
∵点与点关于直线对称，
∴，
故，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，
即点是与直线的交点；
∵点关于直线对称点坐标为，
∴点关于直线对称的点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵点是直线与直线的交点，
故联立方程组，
解得：，
即点的坐标为．
故答案为：．
7．（2025·陕西西安·一模）问题提出
（1）如图1，在正方形中，点E是其内部一点，连接，，且．若，求的最小值；
问题解决
（2）如图2，是某公园的一块四边形空地的平面图，其中，，，，园区管理员计划在空地中找一点E，修建四条观光小路，，，（小路宽度不计），将其分成四个区域，用来种植不同的花卉．根据实际要求：，且的面积最小，请问是否存在这样的点E，使得，且的面积最小？若存在，请确定出点E的位置，并求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）存在；位置见解析；
【分析】（1）如图1中，取的中点O，连接，．求出，．再利用两点之间线段最短解决问题；
（2）存在．如图2中，在的下方作等边三角形，作的外接圆，过点K作交于点E，点E即为所求．过点K作的垂线交于点M，连接，，过点D作于点N，则四边形是矩形，解直角三角形求出，，可得结论．
【详解】解：（1）如图1中，取的中点O，连接，．
∵四边形是正方形，
，．
，，
．
．
，
的最小值为；
（2）存在．如图2中，在的下方作等边三角形，作的外接圆，过点K作交于点E，点E即为所求．
过点K作的垂线交于点M，连接，，过点D作于点N，
，
则四边形是矩形．
，．
，
，
，
，
，．
是等边三角形，
．
．
，
．
．
，
．
，，
．
∴四边形是平行四边形，．
．
．
，
．
的面积的最小值．
8．（2025·陕西·一模）【问题提出】
（1）如图1，在中，，点A在外，连接，若，，点O是上的一个动点，连接、，当最小时，的度数为______；
【问题探究】
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，，点D在边上，点F是延长线上一点，且，连接，判断与的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点D修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形（即）的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计），从的中点F处向点A铺设一条灯光地板．已知，，若在线段上找一点P修建游客休息亭，，当点B到点P的距离与的长度之和最小（即最小）时，求此时铺设灯光地板的长度．

【答案】（1）45；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）连接，交于点M，根据两点之间线段最短原理，得当三点共线时，最小，解答即可；
（2）根据题意，得，于是得到即，证明即可得证；
（3）过点A作，且，连接交于点G，连接，当点P与点G重合时，取得最小值，利用三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，余弦定理，等腰三角形的性质等，计算其长度即可．
【详解】（1）解：连接，交于点M，根据两点之间线段最短原理，得当三点共线时，最小，即当点O与点M重合时，最小，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：45；
（2）解：与的数量关系为．理由如下：
根据题意，得，
∴即，
∵，，，

∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：过点A作，且，
连接交于点G，连接，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴当P，M，B三点共线时，取得最小值即点P与点G重合，取得最小值，
过点A作于点T，
∵，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
延长到点N，使得，连接，，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴，
∵，，
∴，
过点C作，交的延长线于点Q，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴

故此时铺设灯光地板的长度为．
9．（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题．
问题提出
（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．
的度数是 ；
周长的最小值是 ．
问题探究
（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值．
问题解决
（3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值．
【答案】（1），；
（2）；
（3）米
【分析】根据对称的性质可知：，，所以可知，，从而可得：；
根据对称性质可知，，所以可知是等边三角形，从而可知，线段的长度就是周长的最小值；
过点作于点，延长到点，使，连接，则点与点关于直线对称，连接交于点，则，线段的长度就是的最小值，利用勾股定理求出线段的长度即可；
过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求，根据直角三角形的性质可知米，利用可证，根据全等三角形的性质可知，米，利用勾股定理求出米，可得：的最小值是米．
【详解】解：点与点关于对称，
，
点与点关于对称，
，
，
，
，
，
故答案是：；
解：点与点关于对称，
，，
点与点关于对称，
，，
，
由可知，
是等边三角形，
，
的周长是，
周长的最小值是，
故答案是：；
解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接，
则点与点关于直线对称，
连接交于点，则，
线段的长度就是的最小值，
是等腰直角三角形，，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
点是的中点，
，
，
的最小值是；
如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求，
四边形为一个矩形，
，
，米，
米，
米，
，
点是矩形的中心，
，
，
，
，
在中， ，，
，
在和中，，
，
，米，
米，
米，
的最小值是米，
米，
的最小值是米．
10．（2025·河南郑州·一模）下面是人教版八上的一道复习题：
王老师带领学生们研讨了此题，并就“解决实际应用中的路线最短问题”进行了如下探究．
【阶段一】王老师进行了如下作图：如图（2），作点A关于的对称点，作点B关于直线l的对称点，连接，分别交，直线L于点P，Q，连接，则最短路径为折线．请同学们研讨：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为① ，最短路径的长是线段② 的长．
【阶段二】王老师又提出问题：如图（3），P是内一点，在上分别找点A，B，使的周长最小．
解决方法：分别作点P关于的对称点，连接，分别交于点A，交于点B，连接，则此时的周长最小，最小值为的长．若，，则周长的最小值为③ ．
【阶段三】如图（4），在一个机器人比赛项目上，机器人从的边上的一点D出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点D（机器人的速度为）．请你完成以下任务．
(1)【阶段一】中的①处应填 ，②处应填 ．
(2)在图（3）上按【阶段二】的“解决方法”画出；③处应填 ．
(3)若，请计算出机器人完成比赛所用的最短时间．
【答案】(1)两点之间，线段最短；
(2)图见详解，
(3)
【分析】本题主要考查两点之间线段最短 ，轴对称的性质，解直角三角形；
（1）根据两点之间，线段最短来解答即可；
（2）根据题意画出，连接，根据轴对称的性质，可得，求得．过点O作于点 Q，得到，即可求出；
（3）分别作点D关于的对称点，连接，分别交于点E，交于点F，则的长为的周长，得到的周长为，求出当的值最小时， 的周长最小，而当时， 的值最小，再计算出结果即可．
【详解】（1）解：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为：两点之间，线段最短；
最短路径的长是线段的长；
故答案为：两点之间，线段最短；；
（2）解：根据题意画出，如下图：
连接，如下图：
根据轴对称的性质，可得，．
又∵，
∴，
∴．
过点O作于点 Q，
则，
∴，
故周长的最小值为．
（3）解：分别作点D关于的对称点，连接，分别交于点E，交于点F，则的长为的周长．
如下图：
∵，，
∴，
∴，
此时的周长最小值为，
∴当的值最小时， 的周长最小．
而当时， 的值最小，
如下图，
则 ，
∴周长的最小值为，
∴机器人完成比赛的最短时间为．
1．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出
（1）如图①，在中，，为边上的一个点，过点作，若，则的值为____________；
问题思考
（2）如图②，矩形中，，，若为边上的一个动点，在矩形内部找一点，使最小，求的最小值；
问题解决
（3）某市为了迎接国际篮联三人篮球挑战赛，计划在城市运动公园中新修一条绿色长廊和一个篮球馆．城市运动公园的形状（四边形）如图③所示．现场测量：，，，，，现在欲修建一个绿色长廊（在边上，在边上）和一个篮球馆，根据有关设计要求需满足：，且，为了方便市民，想让篮球馆到、、三个点的距离之和最小．若存在，请求出满足设计要求的绿色长廊的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）满足设计要求的绿色长廊的长为
【分析】（1）根据，得出，从而 ，进而得出结果；
（2）在的下方作等边三角形，作等边三角形， 作于，交于，可证得，从而，进而得出结果；
（3）延长， ， 交于点， 连接， 以为边作等边三角形，连接，作 的外接圆，可证得，进而得出点在上， ，设交于，交于，当点在， 点在处时， 点到、、的距离之和最小，然后根据勾股定理求出的值，然后根据平行线分线段成比例解答即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图，
在的下方作等边三角形，作等边三角形， 作于， 交于，连接，
，， ，
，
，
∴，
，
，
当、、、共线时， 即在， 点在上时，上时，，
∵是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，
延长， ， 交于点， 连接， 以为边作等边三角形，连接，作的外接圆，
，
，
，
，，
， 点在上，
，即，
解得，
设交于， 交于，
根据（2）中结论，当、、、、共线，即点在， 点在处时， 点到、、的距离之和最小，
作，交的延长线于，作，
，，
，
，
∵，
，即，
解得，
满足设计要求的绿色长廊的长为．
2．（2025·陕西渭南·一模）【问题提出】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为、．若点是轴上的一个动点，则当最小时，点的坐标为________；
【初步探究】
（2）如图2，菱形的边长为10，点在上，且，点为对角线上一动点，连接、，若的周长最小为12，求的值；
【实际应用】
（3）如图3，是某植物园的一块空地，的中点处有一座凉亭，现要在这块空地中修建一口水井（即点在内部），并沿、修建两条小路，沿、铺设地下水管，在分成的四个区域中分别种植四种不同的植物供游客观赏．已知，，，且区域的面积为，为节约铺设地下水管的成本，要求最小．当最小时，求此时区域的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）作点A关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点C，则点C即为所求，进而根据图象可进行求解；
（2）连接，交于一点O，由菱形的性质可知，，点A、C关于成轴对称，然后可得，进而问题可求解；
（3）过点D作于点M，作点E关于直线的对称点Q，连接，与交于一点P，连接，由题意易得点D在直线上运动，然后根据轴对称的性质可知当点A、P、Q三点共线时，的最小值为线段的长，此时点D与点P重合，进而根据相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：（1）作点A关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点C，则点C即为所求，如图所示：
此时，，
由图象可知：点；
故答案为：；
（2）连接，交于一点O，如图所示：
∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
∴，
由的周长为可知：要使的周长最小，则需满足的长为最小，由点A、C关于成轴对称，所以的最小值为的长，
∵的周长最小为12，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∵区域的面积为，设点D到的距离为h，
∴，
∴，
过点D作于点M，作点E关于直线的对称点Q，连接，与交于一点P，连接，如图所示，
∴点D在直线上运动，
要使的值最小，则根据轴对称的性质可知：，所以当点A、P、Q三点共线时，的最小值为线段的长，此时点D与点P重合，
作于点H，交于点N，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点E是的中点，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2025·青海西宁·一模）综合与实践
如图，正方形和正方形有公共顶点，将正方形绕点按顺时针方向旋转，记旋转角，其中，连接，．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)请你画出除图1外，满足的其它图形，并写出的度数；
(3)旋转过程中，________时，最大，________时，最小；
(4)旋转过程中，判断与的大小关系，并写出对应的的范围．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，
(3)，
(4)当或时，，当时，，当时，
【分析】（1）连接，根据题意，当时，重合，重合，由正方形的性质可得，则重合，根据正方形的性质可得垂直平分，即可得到；
（2）由（1）知，当点F在垂直平分线上时，则，可得除图1外，当点F在延长线上时，满足，根据正方形的性质即可求出；
（3）根据题意可得点F在以点A为圆心，正方形对角线的长为半径的圆上运动，结合图形可得当三点共线时，由最大值，同理可得当三点共线时，有最小值；由此即可解答；
（4）由（1）（2）知，或时，；画出示意图，结合图形根据三角形大角对大边，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，
当时，则重合，重合，
∵四边形与四边形都是正方形，
∴，
∴重合，
∵垂直平分，
∴；
（2）解：由（1）知，当点F在垂直平分线上时，则，
∴当点F在延长线上时，满足，
如图：
则，即三点共线，点在延长线上，
∴；
（3）解：根据题意可得点F在以点A为圆心，正方形对角线的长为半径的圆上运动，
如图，当三点共线时，由最大值，
此时，；
同理，如图，当三点共线时，有最小值，
此时，；
（4）解：如图，由（1）（2）知，或时，，，连接，
∵，
∴，
∴，
当点在下方时，即时，
∴，
∴，
如图：在中，，
∴，
∴，
同理得：；
当点在上方时，即时，
同理得：，
∴，
综上：当或时，，当时，，当时，．
4．（2025·江苏淮安·二模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中，等腰顶点D在边上，边经过点C，DE与交于点M．
(1)若D为的中点．
①_____；
②如图2．将绕点D按顺时针方向旋转，直角边交于N，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
③如图2，若，在绕点D的旋转过程中，求的最小值；
(2)如图3，若，在绕点D的旋转过程中，同时改变点D在上位置，的最小值也会发生变化，当_____时，在绕点D的旋转过程中的最小值达到最小，最小值为_____．
【答案】(1)①；②，理由见解析；③
(2)，3
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）①证明是等边三角形，得，，由正切函数可得结论；
②先证明，再证明，利用相似三角形的性质解决问题即可；
③证明M，D，N，C四点共圆，推出是该圆的直径，易知当是该圆的直径时，的长最短．
（2）当时，根据“垂线段最短”知，的长最短，当四边形是矩形时，，此时最短．解直角三角形，求出即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵°，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图，过点作于点，于点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，即；
③连接．
∵，
∴，
∴M，D，N，C四点共圆，
∴是该圆的直径，
∵，
∴当时，的长最短，此时．
（2）解：如图，当时，
根据“垂线段最短”知，的长最短，
当四边形是矩形时，，此时最短．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为3，
故答案为：，3
5．（2025·福建龙岩·一模）如图（1），四边形为矩形，，，点在对角线上，点，分别在边和上，，．
(1)求的值；
(2)将四边形绕着点逆时针旋转到图（）的位置，为和的交点，
①求的值；
②当，其中旋转角为，且，连接，求的最大面积．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据解析的性质以及,得出，，，根据得出，根据即可求解．
（2）①由（1）得出，进而证明，，根据相似三角形的性质即可求解；
②令和的交点为，和的交点为，由（）①，可得：，得出四边形存在共圆，令共圆为，由，则为圆弧上一动点，令弦的中点为，当，，三点共线时，存在最大面积，在中，在中，分别求得，，进而求得，即可得出的最大面积．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴
又，则，
∴，，，
∴，即有
∵，
∴
∵，，，
∴
（2）①由（1）得，
∴
依题意可得：，
，，
，即有
，
，
②如图，令和的交点为，
如图由（）①，
∴
在四边形中，
四边形存在共圆，令共圆为
由，则为圆弧上一动点，令弦的中点为，当，，三点共线时，存在最大面积，
在中，，，
在中，，，
，
的最大面积为：
刷考点 精准巩固，扫清盲区
提能力 聚焦过程，优化策略
测综合 跨界融合，挑战创新
易｜混｜易｜错
1.平移方向搞反
上 / 下、左 / 右弄反，直接全错
2.平移距离不是线段长
造桥问题：平移距离必须是河宽
将军饮马平移：必须是定线段长度
3.把 “平移线段” 当成 “普通动点”
有固定长度线段在动，一定要平移转化
4. 忘记取等号条件
最短路径必须共线才取最小值
5.漏看 “垂直” 条件
造桥问题桥必须垂直河岸
6.坐标系平移后坐标算错
符号、加减最容易错
 多解情况只写一种
左右 / 上下平移可能有两个最值点
解｜题｜技｜巧
1. 看到 “平移 + 线段和最小”：平移转化
（1）把带固定长度的动线段消掉
（2）将一个定点按平移方向、平移定长
（3）把问题变成两点之间线段最短
口诀：有平移，先平移，化归成将军饮马。
2. 看到 “造桥选址”
固定步骤：
（1）确定河宽（平移距离）
（2）将 A 向下平移河宽 → A′
（3）连 A′B，交河岸于 N
（4）作 NM ⊥ 河岸，即为桥
技巧：总路程最短 = A′B+桥长，不用复杂计算，作图即答案
3. 看到坐标系里平移求最值
（1）写出平移后点坐标
（2）用距离公式：d=x2​−x1​2+y2​−y1​2​
（3）转化为二次函数最值或几何最短
4. 求最值通用判断（秒选方法）
求和最小：→ 平移 + 对称 + 两点之间线段最短
求差最大：→ 三角形三边关系 + 共线
求距离最小：→ 垂线段最短
有定长线段移动：→ 一定用平移构造
5. 做题书写技巧（不被扣步骤分）
先写：由平移性质得……
再写：两点之间线段最短
最后写：当…… 共线时，取最小值
易｜混｜易｜错
1.对应点找错，折叠问题中的对应点有时候是加“”表示的，也有时候不是这样的，使用别的字母表示的，所以对应点容易找错；
2.把折叠后的线段当成原图边长；
3.轨迹判断错：明明是圆，当成直线；明明直线，当成圆；判断动点轨迹可以使用三点判断法；
4.最短距离忘记 “垂直”；
5.忽略等号成立条件（共线、垂直）；
6.多解题目只算出一种。
7.计算时涉及到二次根式的运算，计算复杂，容易导致计算错误。
解｜题｜技｜巧
1. 折叠后求线段最小值
常见：
点到点最小
点到线最小
点到圆最小
方法：
找折叠后对应点的轨迹
用垂线段最短 / 两点之间线段最短
2. 折叠后求线段最大值
轨迹是圆：最远点 = 圆心到定点距离 + 半径
轨迹是直线：最远一般在端点
3. 折叠后求周长最值
周长 = 固定部分 + 变动部分
只需要求变动线段和的最值
4. 折叠后求面积最值
面积 = 底 × 高 / 其他公式
一般转化为某条线段的最值
5. 折叠 + 动点 + 分类讨论（多解）：每种情况画一个图，分别算。
点落在边上不同位置
沿不同边折叠
易｜混｜易｜错
1.旋转中心找错；
2.旋转半径看错，不是定长当成定长；
3.轨迹判断错误：明明是圆，当成直线。
4.忘记共线条件，不写被扣步骤分；
5.旋转角方向搞反（顺时针/逆时针）；
6.多解题目只算出一种。
解｜题｜技｜巧
1.看到旋转求最值，先找定点和定长，锁定隐圆;
2.线段转化：把动线段 PA 换成等长的 PB。
3.求最值，一定要写：当三点共线时，取到最值;
4.手拉手旋转：出现全等三角形，直接换线段;
5.坐标系旋转：先算坐标，再用距离公式;
6.不会做时：先画共线图，再列式。
如图（1），牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．