【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题5.3 矩形的性质与判定（全国通用版）练习（原卷版）

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专题3 矩形的性质与判定
知识梳理
【考点一】矩形的定义及性质
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【注意】
（1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法.
2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质
【注意】
（1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等.
（2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点.
（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等.
【考点二】直角三角形斜边上中线的性质
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，则BD=12AC=AD=DC.
【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形.
【考点三】 矩形的判定
【易错点辨析】
1.矩形性质混淆：误将矩形对角线性质记为 “互相垂直”（垂直是菱形性质，矩形对角线相等但不一定垂直，正方形除外）；
2.定定理误用：
用 “对角线相等的四边形是矩形”（缺少 “平行四边形” 前提，错误）；
用 “有一个角是直角的四边形是矩形”（缺少 “平行四边形” 前提，错误，反例：直角梯形）；
3.直角三角形推论应用错误：忽略 “中线是斜边上的中线”，误将直角边中线当作斜边一半；
4.对称性误区：认为矩形只有 1 条对称轴，或误将对角线当作对称轴（实际为对边中点连线）；
例题讲解
【题型一】利用矩形的性质求角度
◇典例1：
如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（ ）
A．α2B．45°−α2C．α﹣45°D．30°+α2
◆变式训练
1.如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC＝α，则∠BAF的度数为（ ）
A．2α﹣90°B．45°+α2C．45°−α2D．90°﹣α
2.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AM⊥BD，交BD于点M，若∠MAD＝5∠BAM，则∠MAO的度数为 ．
【题型二】利用矩形的性质求线段长度
◇典例2：
如图，长方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，EF垂直平分AC，分别交AC，AD于点O和F，若EO＝2，则长方形ABCD的周长为（ ）
A．12+43B．6+23C．18D．19
◆变式训练
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD 交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为（ ）
A．32B．3−1C．12D．3−12
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（ ）
A．3B．175C．1710D．85
【题型三】利用矩形的性质求面积
◇典例3：
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
◆变式训练
1.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10B．12C．16D．18
2.如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型四】利用矩形的性质解折叠问题
◇典例4：
如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为 ．
◆变式训练
1.如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿CE折叠，得到线段B′E，折痕EC与BD相交于点M，若B′E∥BD，∠ADB＝36°，则∠EMD＝ ．
2.如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，DE的长为 ．
【题型五】利直角三角形斜边上中线的性质
◇典例5：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD＝（ ）
A．35°B．30°C．45°D．50°
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（ ）
A．7B．8C．55D．73
2.如图，D，E分别是三角形ABF的边AB和AF的中点，点C是DE上的一点，∠ACB＝90°，CE=13CD，AB＝6，则BF的长是（ ）
A．6B．7C．8D．10
【题型六】矩形的判定条件
◇典例6：
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（ ）
A．AC＝BDB．AB＝6，BC＝8，AC＝10
C．AC⊥BDD．∠1＝∠2
◆变式训练
1.在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB∥CD且AC＝BD
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列条件①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB⊥BC，④∠ABD＝∠CBD，⑤∠ODC＝∠OCD中能判定四边形ABCD是矩形的是 ．
【题型七】证明一个四边形是矩形
◇典例7：
如图，在▱ABCD中，点C是BE的中点．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）当△ABE满足 时，四边形ACED是矩形，并说明理由．
◆变式训练
1.已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是边BC、AC的中点，过点A作BC的平行线，交射线EF于点D．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）如果AB＝AC，联结AE、CD，求证：四边形AECD为矩形．
2.如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【题型八】矩形的判定解动点问题
◇典例8：
如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．当t＝ s时，四边形ABQP是矩形．
◆变式训练
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为t s，当t＝ s时，四边形APQD是矩形．
2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形DEBF能够成为矩形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由．
【题型九】矩形的判定与性质综合
◇典例9：
如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长．
◆变式训练
1.如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
2.如图，在▱ABCD中，O为AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝4，BD＝8，求OC的长．
【题型十】矩形中求最值问题
◇典例10：
如图，AB＝402，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线，DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（ ）
A．202B．20C．402D．40
◆变式训练
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．2D．22
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为（ ）
A．2B．23C．4D．25
真题在线
一、单选题
1．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．C． D．
2．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（ ）
A．1B．5C．2D．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为，则这个矩形的面积是（ ）
A．25B．C．D．
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
5．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2B．C．D．
7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ）
A．B．4C．D．
8．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（ ）
A．①②④B．①②③C．①②③④D．②③④
二、填空题
9．（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ．
10．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．

11．（2025·福建·中考真题）如图，已知矩形，点是的中点，将边沿翻折到的位置，点的对应点为，连接并延长交于点，当恰为的中点时，的值是 ．
12．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为 ．
三、解答题
13．（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
14．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，D是的中点，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
15．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．
(1)直接写出___________°，___________；
(2)当时，求的值；
(3)如图2，连接并延长交直线于点．
①求证：；
②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值．
专项练习
一、单选题
1．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（ ）
A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否互相垂直D．测量其中三个角是否是直角
2．如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．对于任意，四边形都是矩形
C．D．当时，四边形是正方形
3．如图，在矩形中，，点P在边上，且，点Q在边上，若为等腰三角形，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．如图，矩形中，，，点E，F分别在边和上（不与端点重合），且四边形为正方形．若，则的长度为（ ）
A．4.5B．4C．D．
5．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（ ）
A．16B．15C．12D．10
6．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（ ）
A．B．C．D．8
7．如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在矩形中，，点在边上，于点，且平分，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．5
10．如图，矩形的对角线相交于点，，过点B作，过点作， 交于点，连接，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙长）和18m长的围栏围成一个面积为的矩形场地，则矩形的宽为 m．
12．如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为 ．
13．如图，8个面积为1的小正方形组成了L型，则矩形的周长为 .
14．如图，在矩形中，，，，点在边上，连接，过点作，垂足为，交于，则的长为 ．
15．如图，在长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，则的长为
16．如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若 ，，求菱形的面积．
18．矩形中，连接，的平分线交于点E，交的延长线于点F．在线段上取点G，使．
(1)判断三角形的形状，并证明；
(2)若，，求及的长．
19．如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若四边形是菱形，，且，求的面积．
20．如图，为矩形对角线，的交点，，，是直线上的动点，且，求的最小值．
21．如图1，在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．，分别是在边上．
(1)若G，H分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
答：________；（直接填空，不用说理）
(2)在（1）的条件下，当时，求证：四边形是矩形；（提示：在图2中先标出点E、F；可直接使用（1）中的结论）
(3)如图3，和分别是和的中点，若从点出发向点运动，从点出发向点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，的值为________．
性质
数学语言
图形
角
矩形的四个角都是直角
∵四边形是矩形，
对角线
矩形的对角线相等
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD
对称性
中心对称图形：对称中心为对角线交点 O；
轴对称图形：有 2 条对称轴，即两组对边中点连线所在直线（区别于平行四边形，平行四边形非轴对称图形）。
判定方法
数学语言
图形
角
有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）
在中，
，
是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形
在四边形中，
，
四边形是矩形.
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
在中，
，
是矩形