第20讲 矩形的性质与判定（复习讲义（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

这是一份第20讲 矩形的性质与判定（复习讲义（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测，共30页。
01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关4
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测7
05·重难突破·思维进阶难 \l "_Tc214359314" 19
\l "_Tc214367046" 06·优题精选·练能提分22
考点一 矩形的性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：
边：对边平行且相等；邻边垂直；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等且互相平分；
整体：中心对称图形、轴对称图形；
1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为 ．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．1
3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点．
(1)求证：；
(2)设的角平分线交于点．
①当时，求点到的距离；
②若，作直线分别交于两点，求的值．
考点二 矩形的判定
矩形的判定方法
1．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
2．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．
3．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大．
命题点一 矩形的性质
►题型01利用矩形的性质求线段长
【典例】．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为 ．
1．（2025·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 ．
►题型02利用矩形的性质证明
【典例】．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、．
求证：
(1)；
(2)．
【变式】
1．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．
(1)直接写出___________°，___________；
(2)当时，求的值；
(3)如图2，连接并延长交直线于点．
①求证：；
②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值．
2．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：．
►题型03矩形与圆的综合
【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）在矩形中，，点是射线上异于两点的一个动点，连接，过点作于点，交射线于点．
(1)如图，点在线段上，
①求证：；
②连接，设四边形的面积为，在点运动的过程中，均有成立，求的最小值．
(2)在点运动的过程中，是否存在使四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出相应的长；若不存在，请说明理由．
【变式】
1．（2025·江苏淮安·一模）【探索发现】
数学兴趣小组成员在学习矩形的性质这节课时探究发现：如图1，四边形为矩形，为平面内任意一点，．
兴趣小组给出了证明，理由如下：
（1）请你补全余下的证明过程．
【初步应用】
（2）如图3，在矩形中，点在对角线所在直线上，且，连接、，则______．
【迁移应用】
（3）如图4，在四边形中，，，，是的中点，则的面积的最大值为_______．
【操作思考】
（4）如图5，已知点为内定点，，分别为圆上动点，，记的最大值为，在直线上作一点使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
2．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究．
问题背景：
（1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离；
问题迁移：
（2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，．
①求证：四边形是矩形；
②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度；
问题拓展：
（3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围．
►题型04矩形与反比例函数综合
【典例】．（2025·江苏淮安·一模）如图，由两个正方形组成的矩形的顶点A、B分别在y轴、x轴上，已知，，点D在反比例函数的图象上，则 ．
【变式】
1．（2025·江苏扬州·二模）如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，，反比例函数的图象经过点D，则k值为 ．
2．（2025·江苏苏州·二模）如图，以矩形的对称中心O为原点建立平面直角坐标系，各边与x轴、y轴交于点E，N，F，M，，反比例函数的图像与矩形的边分别交于点P，Q，且，直线经过P，Q两点．
(1)请分别求出直线l和反比例函数的表达式；
(2)连接．
①求证：；
②线段与反比例函数图像是否有公共点，如有，请求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
►题型05 利用矩形的性质尺规作图
【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知矩形．
(1)请用直尺与圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，连接；
②作的平分线交于点F；
③连接；
(2)在（1）作出的图形中，若，，求的面积．
【变式】
1．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形．
(1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的长．
2．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足．
(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）；
(2)若，试确定的长．
命题点二 矩形的判定
►题型06 添加条件使四边形成为矩形
【典例】．（2025·江苏常州·一模）如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点．
①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
②当平分时，求四边形的面积．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，的对角线、相交于点，，在上，且．
(1)求证：；
(2)请你添加一个条件_____，则四边形是矩形．并证明．
2．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，点分别在边上，且．
(1)求证：；
下面是小轩的证明过程：
证明：四边形是平行四边形，
．①
，
，②
在与中，
，
；
上述推理过程从第___________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程．
(2)请添加一个条件___________，使四边形是矩形．（直接填空，不需说明理由）
►题型07证明四边形是矩形
【典例】．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，、是的弦，且，是直径，求证：四边形是矩形．
【变式】
1．（2025·江苏连云港·二模）如图，在菱形中，交于点D，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接交于点G，若，求的长．
2．（2025·江苏扬州·三模）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
►题型08利用矩形的性质与判定解决实际问题
【典例】．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？
【变式】
1．（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题：
(1)图中的度数为______°；
(2)求的长（精确到）；
(3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，）
2．（2025·江苏徐州·三模）徐州市苏宁中心广场是我市地标性建筑，该项目的A塔楼高61层，是我市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在水平的彭城广场上进行测量和计算．当无人机飞行到C点处时，无人机距离地面，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角为，测得该塔楼顶端处点A的仰角为．假定点A，B，C，D，E都在同一平面内，求最高塔的高度（结果保留整数）（参考数据：，，）
突破一 矩形的折叠问题
【典例】．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ．
【变式】
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为 ．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
突破二 矩形与抛物线的综合问题
【典例】．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分．
(1)①线段的长为_______．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
(2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．
【变式】
1．（2025·江苏宿迁·三模）已知：二次函数的图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，且．
(1)求二次函数表达式；
(2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围；
(3)设是二次函数位于第一象限图象上一点，作于点，轴于点．当最大时，求点的坐标．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，．
(1)求图象对应的函数表达式；
(2)若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标；
(3)如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式．
1．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2025·江苏苏州·二模）如图，四边形是矩形，过点的直线分别与，的延长线交于点，，且，点，分别在，上，且，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
4．（2025·江苏宿迁·三模）如图1所示，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设点同时出发秒时，的面积为，已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当时，；⑤当时，与相似；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2025·江苏南通·二模）平面直角坐标系中，点，，，，当四边形的周长最小时，m的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·江苏泰州·二模）命题“四个角都是直角的四边形是正方形”是 （填“真命题”或“假命题”）．
7．（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，为上的一点，连接、，当的值最小时， ．
8．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M是射线的一个动点，连接，过作于点P．
(1)如图①．当点M为边中点时，连接并延长交于点E．
①求证：；
②的长为 ．（直接写出答案）
(2)如图②，点Q在边上，且，当时，求的长．
9．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，是它的一条对角线，
(1)请借助无刻度的直尺和圆规画出矩形，使点、在上（点在点的左下方）（保留作图痕迹，不写画法）；
(2)在（1）的条件下，过点作于点，若，．求的长．
10．（2025·江苏南通·模拟预测）如图①，在中，点、分别与的中点．则与的关系是
(1)如图②，在矩形中，O为的中点，M为边上一动点，N 为 的中点，连接、、．若，则与的数量关系是 ．
(2)如图③，中，，，、是的中线，、分别是和的中点，求的长．
(3)如图④，在中，E为边上一点，连接，点 P 在上，，G是的中点，连接并延长，交 于点 F．若 F 为的中点，，连接，求 的值．
1．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，、分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A．B．2C．D．
3．（2025·江苏宿迁·三模）已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）．
A．7B．8C．D．10
4．（2025·江苏宿迁·二模）如图，将矩形沿翻折，使点B落在上的点F处，射线与矩形的外角的平分线相交于点，若，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江苏南京·一模）如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为，则（ ）
A．2B．C．D．
6．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ．
7．（2025·江苏常州·一模）如图，矩形的长和宽分别是15和9，在其内部放置5个大小相同的正方形，且、、、四个点分别在矩形的四条边上，则 ．
8．（2025·江苏常州·一模）如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点．
①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
②当平分时，求四边形的面积．
9．（2025·江苏扬州·一模）若点P在四边形内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形内部，且，则称点P为边的“等距点”．
(1)如图1，四边形中，于点P，，求证：点P是边BC的“等距点”．
(2)如图2，点P是矩形边的“等距点”，，．
①当时，请求出的值；
②设、分别为α、β，试求的最大值．
(3)当四边形满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点．
10．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则：
①________；
②与的关系是________；
【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值．
1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（ ）
A．1B．5C．2D．
5．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．C． D．
7．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
8．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求和的长．
9．（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，已知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点M在上，点N在上，点P在上，点Q在上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
10．（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
11．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
12．（2025·福建·中考真题）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于．
(1)如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长；
(2)若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围．
13．（2025·河北·中考真题）综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
(1)图中，矩形的周长为______；
(2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求．
(4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
当时，求的值；
当最大时，直接写出的长．
命题点一 矩形的性质
题型01 利用矩形的性质求线段长
题型02 利用矩形的性质证明
题型03 矩形与圆的综合
题型04 矩形与反比例函数综合
题型05 利用矩形的性质尺规作图
命题点二 矩形的判定
题型06 添加条件使四边形成为矩形
题型07 证明四边形是矩形
题型08 利用矩形的性质与判定解决实际问题
突破一 矩形的折叠问题
突破二 矩形与抛物线的综合问题
基础巩固→能力提升→全国新趋势
考点
2025年
2024年
2023年
课标要求
矩形的性质
南京T15、24、27
淮安T24
无锡T21
徐州T14
宿迁T28
南通T25
扬州T18
镇江T21无锡T26
连云港T16、25
宿迁T16
淮安T19
徐州T13
南通T5
无锡T21
苏州T8、27
扬州T24
连云港T15
淮安T15
苏州T23
连云港T16
镇江T25
常州T28
南通T8、18
宿迁T21
泰州T24
徐州T27
苏州T7
连云港T8、15
苏州T23
连云港T27
探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，
对角线相等。探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。
矩形的判定
常州T26
镇江T21
无锡T26
宿迁T16
连云港T16、27
苏州T8、27
南京T20
淮安T15
南京T5
苏州T23
连云港T16
苏州T23
连云港T27
命题预测
2023 - 2025 年矩形的考查情况分析：
矩形作为特殊平行四边形的核心内容，在江苏省 13 市中考数学中每年必考，考查形式多样，难度相对偏高，以中等以上、压轴题为主，覆盖选择、填空、解答（含压轴）全题型，分值占比5-12 分，属于高频核心考点。
2026年中考数学关于矩形的命题预测：
矩形性质与判定仍是基础考查内容，难度中等；
折叠问题将继续成为热点，可能结合隐形圆（定弦定角）考查，难度提升；
动点与最值问题将成为压轴题核心，对学生综合能力要求提高；
矩形与函数综合（二次函数、反比例函数）将增加，考查数学建模与函数思想；
矩形与圆、函数等综合可能再次出现，结合圆周角定理、切线性质、函数的性质等，考查几何综合应用能力；
创新性提升：可能出现新的命题形式，如矩形与实际生活结合的应用题，或矩形与几何变换（旋转、平移）结合的探究题；
备考建议：
 夯实基础：熟练掌握矩形的性质与判定，理解矩形与平行四边形、正方形的关系；
 专项突破：针对折叠、动点、最值等热点题型进行专项训练，总结解题模型和方法；
 综合训练：加强矩形与函数、圆、相似三角形等知识的综合应用训练，提高解题能力；
 思想方法：注重转化思想、方程思想、函数思想、数形结合思想的培养，提升数学思维品质；
 关注本地考情：研究南京、苏州、无锡等地区近三年真题，了解命题特点，针对性备考。
判定方法
文字语言
图形语言
符号语言
方法1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形,
且
∴四边形ABCD是矩形
方法2
有三个角是直角的四边形是矩形
∵在四边形ABCD中，
，
∴四边形ABCD是矩形
方法3
对角线相等的平行四边形是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形,
且
∴四边形ABCD是矩形
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如图2，过点作交于点，垂足为，则，
四边形为矩形，
∴，
，
在中，，
同理可得：，，，…，
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如图3，嘉嘉的思路如下：
①连接，交于点；
②过点作，分别交，于点，
……
如图4，淇淇的方法如下：
①在边上截取，连接；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③在边上截取，作直线．