专题02 二次函数（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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目 录
考点一：二次函数的图象与性质
1．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线D．当时，y随x的增大而增大
3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江苏泰州·三模）设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为 ．
5．（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）．
考点二：二次函数与几何综合
1．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______；
(3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标．
(4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
3．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______；
(3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标；
(4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
(5)点F在x轴下方，，则最小值为______．
4．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若，求的值．
(3)直线与直线交于点，求的最小值．
5．（2025·四川南充·一模）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴直线为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在直线上方的抛物线上，平分，求点M坐标；
(3)如图2，点D与点C关于直线对称，过点D与抛物线有唯一公共点的直线与x轴交于点G，直线交抛物线于P，Q两点，连接交y轴正半轴于点E，连接交y轴负半轴于点F，探究的值是否变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
考点三：二次函数的实际应用
1．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．
2．（2025·山西长治·二模）项目化学习
项目主题：如何获得最大利润？
项目背景：3月5日是二十四节气之一的惊蛰，惊蛰吃梨的风俗在中国有着悠久的历史和丰富的文化内涵，因此梨成为了惊蛰前的热销水果之一．某城市水果销售商以2元/千克的进价购进了一批梨，并放到了本市5家分店进行销售．
任务驱动：销售这批梨完，并获得最大利润．
研究步骤：研究步骤：（1）分别对5家分店进行不同价位的销售；
（2）收集每家分店的日销量；
（3）分析数据，形成结论．
收集数据∶
(1)结合数据分析，请直接写出5家分店销售梨的日销量与售价的函数关系式．
(2)该水果销售商计划对5家分店统一规定售价，在无损耗的情况下，当售价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出该销售商销售此梨一天的最大利润．
(3)若每天未售出的梨中会有因变质第二天无法销售，请直接写出当统一售价定为多少时，平均每天可获得最大利润．
3．（2025·河南·模拟预测）投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米．
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由．
(3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值．
4．（2025·山西临汾·二模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为．
(1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）；
(2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由；
(3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）．
5．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．
(1)求，的值；
(2)点是抛物线上一动点
①当时，则点的坐标为______．
②当时，试求点的坐标．
(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．
1．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
4．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）．
①若，求点坐标；
②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值．
5．（2025·河南开封·一模）某校数学智慧社团研究“城市广告牌照明优化项目”中的数学问题．
项目背景
在城市繁华的商业街道，有一块大型广告牌，如图①，其顶部为抛物线拱形，拱高为4m，底部是长方形，长方形的长为，宽为．
任务一：建立数学模型
以长方形的边的中点O为原点，以所在的直线为x轴，竖直方向为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
任务二：确定射灯位置
为保证整个广告牌照明效果最优，经测算，需要在广告牌顶部边缘（抛物线拱形边缘）安装4个射灯，其间的水平距离相等，两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线的水平距离均为，在图②的平面直角坐标系中，请用坐标表示这4个射灯的位置．
1．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为．
(1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标．
(2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度．
(3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围．
2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围．
3．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线解析式；
(2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______．
4．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点．
(1)若该抛物线与y轴交于点．
①求该抛物线的解析式；
②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长．
5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程．
刷考点 精准巩固，扫清盲区
提能力 聚焦过程，优化策略
测综合 跨界融合，挑战创新
易｜混｜易｜错
一、概念类易错点
忽略二次函数的定义条件 a≠0
错误表现：判断“y=m−2x2+3x−1 是二次函数，求 m 的取值范围”时，仅关注表达式形式，遗漏 m−2≠0，即 m≠2；误将 y=ax2+bx+c 直接认定为二次函数，忽略 a≠0 的前提。
核心提醒：二次函数的严格定义是 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）；若 a=0 且 b≠0，则函数退化为一次函数 y=bx+c。
混淆二次函数的三种解析式形式及适用场景
错误表现：已知顶点坐标时，仍设一般式 y=ax2+bx+c 求解，增加计算量；已知与 x 轴交点时，不会用交点式 y=ax−x1x−x2，导致解题效率低。
核心提醒：三种解析式各有适用场景，需根据已知条件选择：
一般式：已知任意三点坐标；
顶点式 y=ax−h2+k：已知顶点 hk 或对称轴、最值；
交点式 y=ax−x1x−x2：已知与 x 轴的两个交点 x10、x20。
二、图象与系数关系类易错点
误判 a、b、c 及 Δ 的符号
错误表现1：由对称轴位置判断 b 的符号时，忘记“左同右异”原则（对称轴在 y 轴左侧，a、b 同号；对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号）；忽略对称轴公式 x=−b2a 的应用。
错误表现2：认为 c=0 时，二次函数图象过原点，但忽略此时顶点不一定在原点；误将“图象与 x 轴有交点”等同于“Δ>0”，遗漏 Δ=0 的情况（此时图象与 x 轴相切）。
核心提醒：
a 定开口方向：a>0 开口向上，a0 交正半轴，c0 有两个交点，Δ=0 有一个交点，Δ0；开口向下 → a0；负半轴 → c0；一个交点 →Δ=0；无交点 →Δ0，最小值在 x=h 处，最大值在离 h 较远的区间端点（比较 x=m 和 x=n 的函数值）；
若 a