重难点01 三角形的全等与相似（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测试+答案

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01 TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214369010" 深挖重难·固根基 PAGEREF _Tc214369010 \h 1
02 分 \l "_Tc214369011" 层锤炼·验成效18
重难点一 全等三角形
1.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高）
2.全等三角形的判定方法
题型01利用全等证明线段关系
【典例】（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：．
【变式】
1．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：．
2．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：．
题型02利用全等证明角的关系
【典例】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证：
(1)；
(2)．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、．
求证：
(1)；
(2)．
2．（2025·陕西渭南·一模）如图，在正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．求证：．
重难点二 直角三角形
1.直角三角形的定义、性质
1. 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2. 直角三角形的性质：
性质1：（边关系）勾股定理：（如图①）
性质2：（角关系）直角三角形两锐角互余：
3.直角三角形的判定方法：
方法1：通过计算证明一个角为90°；
方法2：证明三角形中有两个角的和互余；
方法3：勾股定理的逆定理；
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
题型01 直角三角形的斜边中线性质
【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A．5B．C．8D．
【变式】
1．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（ ）
A．B．2C．2D．4
2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ．
题型02 勾股定理解决折叠问题
【典例】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．的面积的面积D．四边形的面积的面积
【变式】
1．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时， ．
2．（2025·江苏扬州·二模）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
题型03 勾股定理的应用
【典例】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ．
【变式】
1．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？
2．（2025·江苏南京·一模）如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是 ．
重难点三 等腰三角形
等腰三角形的定义
文字语言：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
符号语言：AB=AC,则△ABC叫做等腰三角形
等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两腰相等。
性质2：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。
∵AB=AC,∴∠B=∠C
性质3：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一）
符号语言：（三种不同形式）
性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线．
3．等腰三角形的两个判定方法
方法1：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）。
符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形
方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边）
符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形
题型01 等腰三角形的概念
【典例】（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可）
【变式】
1．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ．
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ．
题型02 等腰三角形的性质与判定
【典例】（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点E是矩形内一点，，求证：．
【变式】
1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，则与l的位置关系是________．
2．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
重难点四 相似三角形
1．相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．相似三角形性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．相似三角形判定方法：
（1）有两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）平行线分线段成比例推论．
题型01 相似三角形的性质与判定
【典例】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点．
(1)求证：；
(2)设的角平分线交于点．
①当时，求点到的距离；
②若，作直线分别交于两点，求的值．
【变式】
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，以为直径的交于点D，，垂足为E，的延长线交于点F．
(1)求的值
(2)求证：
(3)若，则
2．（2025·江苏无锡·模拟预测）在矩形中，，点是射线上异于两点的一个动点，连接，过点作于点，交射线于点．
(1)如图，点在线段上，
①求证：；
②连接，设四边形的面积为，在点运动的过程中，均有成立，求的最小值．
(2)在点运动的过程中，是否存在使四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出相应的长；若不存在，请说明理由．
题型02 相似三角形的应用
【典例】（2025·江苏南京·二模）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B．
(1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离；
(2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）．
【变式】
1．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘．
【了解】
在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N．
【发现】
如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由；
【探索】
图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长．
2．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为．
(1)如图（1），步道为直线型（记为直线）．
①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ；
②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变．
(2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长．
1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为（ ）
A．1.4B．2C．0.6D．1
2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2025·江苏常州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江苏苏州·二模）如图，四边形是矩形，过点的直线分别与，的延长线交于点，，且，点，分别在，上，且，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
5．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，平分，，垂足为D，交于点E．若，则的长为（ ）
A．6B．C．7D．
6．（2025·江苏常州·三模）如图，在等腰中，直角边，D为的中点，E为边上的动点，交于点F，M为的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论：
；
；
若，则；
若则四边形是菱形．
上述结论中．所有正确结论的序号是（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
10．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，为的中点．动点在边上，过点作的垂线交折线于点．以为邻边构造矩形．
(1)的长为___________，的长为___________；
(2)当点落在上时，证明；
(3)当点落在的边上时，用圆规和无刻度的直尺在备用图中作出矩形（保留作图痕迹），并求此时的长；
(4)沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合条件的的长．
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，在中，，，点D，E均在边上（点D在点E的左侧），且．
(1)如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若，，求线段的长度．
2．（2025·江苏苏州·二模）在中，，，点是上一个动点（点不与，重合），以点为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数：如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点是上的中点，以点为旋转中心，将线段逆时针转得到线段，连接，若，求线段的取值范围．
3．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，．
（1）求旗杆的高度．
活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，．
（2）求妙光塔的高度．
文字语言
图形语言
符号语言
全等三角形的对应边相等，对应角相等；
全等三角形的周长相等，
面积相等；
全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等．
文字语言
图形语言
符号语言
简记
有三边对应相等的两个三角形全等
SSS
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
SAS
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
ASA
有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等
AAS
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
HL
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形式①
形式②
形式③
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD
∴BD=CD,AD⊥BC
∵AB=AC, BD=CD
∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC
∵AB=AC, AD⊥BC
∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD
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图序
角平分线的长
的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
2
4
4
图②
1
2
图③
1
______
______
______
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