第17讲 相似三角形及其应用（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关3
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测20
05·重难突破·思维进阶难 \l "_Tc214359314" 48
\l "_Tc214367046" 06·优题精选·练能提分58
考点一 比例线段与黄金分割
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果eq \f(a,b)=eq \f(b,c)，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的基本性质：=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）
4.黄金分割
黄金分割定义：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
1．（2025·江苏盐城·二模）如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，再把代入所求式子中计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E 为线段的黄金分割点，，则的长为 cm．(结果保留根号)
【答案】/
【分析】本题主要考查黄金分割点的定义、勾股定理、正方形的性质、二次根式的混合等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．
根据勾股定理和正方形的性质求出，再根据黄金分割点的定义列式，然后根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：，
，
∵点E为线段的黄金分割点，，
，即，解得：，
．
故答案为：．
3．（2025·江苏扬州·三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ）
A．3.82B．4.82C．6.18D．6.28
【答案】A
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，
∴，
∴，
故选：A．
考点二 相似三角形的性质与判定
1．相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．相似三角形性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．相似三角形判定方法：
（1）有两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）平行线分线段成比例推论．
4.相似多边形的概念及性质
（1）相似多边形定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
（2）相似多边形性质：
相似多边形的对应边成比例；
相似多边形的对应角相等；
相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
5.位似图形的概念及性质
(1)位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
(2)位似图形性质：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
(3)位似图形作图的步骤：
确定位似中心；
确定原图形的关键点；
确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；
作出原图形中各关键点的对应点；
按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
则
∴，
故答案为：．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出．
（2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
（2）连接，如下图：
∵为直径，
∴，
设，
∴，
由（1）知：
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
即，
解得：
3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ．
【答案】2
【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点，
∵，，是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则：，，
∴，
∴面积，
∴当时，面积的面积最大；
此时；
故答案为：2．
考点三 相似三角形的应用
1.平行投影：在平行光的照射下，物体所产生的影成为平行投影。平行投影下：物高与影长成比例。
2.中心投影：在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影。
3.平行投影、中心投影的作用：可以借助两种投影结合相似三角形的知识求物体的高度或者距离。
4.常见问题类型：
类型1：测量物体高度（旗杆、树、建筑物）
这是中考最常考的题型，分为两种典型模型。
（1）模型A：影子法（太阳光线平行）
场景：同一时刻，测量标杆（或人）的高度、影子长度，以及被测物体的影子长度，求物体高度。
原理：太阳光线是平行光线 → 光线与地面夹角相等，且物体和标杆都垂直地面（直角相等） → 构成A字型相似三角形。
解题步骤
① 设被测物体高度为 ℎ；
② 找到或构建相似模型；
③ 列比例式求解。
注意：被测物体的影子长度是从物体底部到影子顶端的距离，要排除障碍物遮挡的情况。
（2）模型B：标杆法（视线法）
场景：人通过标杆顶端看到物体顶端，利用视线形成相似三角形。
原理：人眼、标杆顶端、物体顶端三点共线，人和标杆、物体都垂直地面 → 构成A字型相似。
关键：测量人到标杆的距离、人到物体的距离、标杆高度和人眼高度。
类型2：测量不可直接到达的距离（河宽、山间距）
（1）模型A：镜面反射法
场景：利用光的反射定律（入射角=反射角）测量河宽。
原理：在河岸选一点放平面镜，人站在另一岸，通过平面镜看到对岸标志物 → 入射角=反射角，且人和标志物都垂直地面 → 构成相似直角三角形。
步骤（同模型A类似）
（2）模型B：构造平行法
场景：测量河宽，在岸边构造平行线，利用 X型相似三角形。
原理：在河岸取两点 A、B，对岸取一点 C，作 AB∥DE，连接 AD、BE 交于 C，构建X型相似三角形；
类型3：盲区与视野问题（路灯、监控摄像头）
场景：判断路灯下人的影子长度变化、监控摄像头的监控范围。
原理：光源发出的光线是发散的，人和路灯杆都垂直地面 → 构成A字型相似。
解题关键：影子长度随人到路灯杆的距离变化而变化，距离越近，影子越短；反之越长。
1．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，．
（1）求旗杆的高度．
活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，．
（2）求妙光塔的高度．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
2．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线．
(1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
(2)路灯的高度是____________m．
(3)设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处
(2)6
(3)①线段的倾斜程度更大；②
【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处；
（2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是；
（3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可；
②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小．
本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：，
横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处．
（2）解：由题意得：，
解得：，
∴路灯的高度是，
故答案为：6．
（3）①解：∵，设直线的解析式为，
把代入，得，
∴．
为小明在坡上任意一点，
∴此时m，影长m，m，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∴线段的倾斜程度更大；
②如图，
：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则，
：小明走到灯下处，到达，则，
对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度，
设，其中，，表示小明在间，影长，
依题意，，则
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
同理可得
∴
由（2）可得，，
即
∴
∴
设，其中，
当接近时，，则，则随的增大而增大
当接近时，，则，则随的增大而减小，
当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大．
综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况，
故答案为：．
3．（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），．
(1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变．
(2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②的长度的最大值为 cm．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键．
（1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可；
（2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为．②先证明，再利用勾股定理求出，由，即可求出的长度的最大值．
【详解】（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为．
，
，，，
，，，
，
，
，
沿着方向平移时，长度不变．
（2）解：①以为圆心，长为半径画圆，
当与相切于时，此时最大为．
此时所在位置为．
②，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
，
，（舍去），
，
由①，
，
，
即的长度的最大值为，
故答案为：80．
命题点一 比例线段与黄金分割
►题型01比例的性质与黄金分割
【典例】．（2025·江苏宿迁·三模）已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割、一元二次方程的应用，掌握黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点是解题的关键．根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，
，
设，
则，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
．
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·二模）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹）
(1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”．
(2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设，则，由勾股定理可得，再由平行线分线段成比例定理可得，即可得解；
（2）在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，同（1）证明即可．
【详解】（1）解：因为是“型三角形”，
所以．
设，则，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，
所以是“型三角形”；
（2）解：如图，在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，
，
因为是“型三角形”，
所以．
设，则，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，
所以是“型三角形”．
2．（2025·江苏无锡·三模）同学们，你们在初三数学学习中一定有许多收获．我在模型上加以创新，你快来试试，我相信这一定难不倒你们！
【Ⅰ．“手拉手”模型】
如图，在中，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是的中点，连接．
（1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当时，与的位置关系是 ， ．
（2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：．
【Ⅱ．“黄金三角形”】
（3）如图3，点C将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点C为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位1，较长线段的长为x，请你利用定义求出黄金比．
（4）进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；②腰与底的比是黄金比．
满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为．请你利用所学知识，选择其中一种并画出图形，求的值．
【答案】（1）垂直，（2）见解析（3）（4）①②
【分析】（1）连接并延长交于，根据等腰三角形的判定和性质，推出，四点共圆，进而得到，推出与垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果；
（2）作于，作，交的延长线于点，连接，同（1）推出，得到，进而得到，变形得到，再根据等腰三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证；
（3）根据黄金比的定义进行求解即可；
（4）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比，在，，底边与腰的长度之比为，，过点作于点，根据等腰三角形三线合一得，再根据正弦的定义可得解．
【详解】解：（1）连接并延长交于，

∵，
∴，
同理：，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴与垂直；
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：垂直，；
（2）作于，作，交的延长线于点，连接，连接交于点，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图（3），设，，则，
∵，即，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴黄金比为；
（4）①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时：
如图，在，，底边与腰的长度之比为，，
过点作于点，
∴，，
在中，，
∴的值为．
②当等腰三角形的腰与底的比等于黄金比时：
如图，在，，腰与底边的长度之比为，，
过点作于点，
∴，，
在中，，
∴的值为．
►题型02平行线分线段成比例
【典例】．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，
点、在双曲线上，
∴，
轴，轴，轴，
∴，
∵，且共底，
∴在上的高相等，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线经过第二象限，
∴，
故选：C．
【变式】
1．（2025·江苏徐州·中考真题）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证：
(1)；
(2)四边形是菱形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明，可得，可得，再证明，，即可得到结论；
（2）先证明四边形为平行四边形，结合E为的中点，，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵E为的中点，，
∴，
∴四边形为菱形．
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．
(1)直接写出___________°，___________；
(2)当时，求的值；
(3)如图2，连接并延长交直线于点．
①求证：；
②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①见解析 ②
【分析】（1）过点E作于点K，即可得到四边形是矩形，然后证明，即可求出的值，然后根据正切的定义求出的度数即可；
（2）根据勾股定理求出长，利用（1）的结论求出长，然后证明是等边三角形，根据正弦的定义求出长解答即可；
（3）①根据（2）的证明得到，过点M作交于点L，则有，得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可；
②连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到，进而判断，即可得到点Q在与线段夹角为的射线上，然后根据垂线段最短解答即可．
【详解】（1）解：过点E作于点K，
∵是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴ ，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴ ，
根据（1）中结论可得，
又∵垂直平分，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）①证明：根据（1）中结论可得，
又∵垂直平分，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
过点M作交于点L，
则，，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
②连接，，
∵，，
∴，
又∵垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即点Q在与线段夹角为的射线上，
∴过点D作于点，
当点Q在时，最小，
这时．
命题点二 相似三角形的性质与判定
►题型03相似三角形的性质与判定
【典例】．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长．
【详解】解：，
，
，
，
．
故答案为：12．
【变式】
1．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
【答案】(1)图1的正方形面积较大
(2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答．
（2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可．
【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为，
∴，
∴．
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
∴，，
∵
∴
得，
即，
解得．
∵四边形是正方形
∴，
∴
∴，
得，
即，
∴．
，
∵
∴，
得，
即，
解得．
∵，
∴图1的正方形面积较大．
（2）解：∵四边形是长方形
∴，，
∵
∴；
得，
则，，
∴长方形的面积，
∵
∴开口向下，
当时，长方形的面积有最大值为．
在图4中，同理得，
得，
∴，，
同理得，
得，
则，
∴长方形的面积，
∵
∴开口向下，
∴当时，长方形的面积有最大值为．
2．（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】
某校数学兴趣小组进行了如下探究：以内部任意一点为中心，画出与成中心对称的．当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化．
【问题解决】
组员小明选择面积为1的，以其内部任意一点为中心，画出与之成中心对称的，探究了下列问题，请你帮他解答．
(1)如图3，，当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为．
①若，求的长；（请直接写出答案）
②若的面积为，求的长．
(2)如图4，点为的中点，点在上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”，求“平行六边形”面积的最大值，并指出此时点的位置．
【答案】(1)①，②
(2)，是的重心.
【分析】（1）①利用面积先求解，再结合中心对称的性质可得，②证明，可设，结合的面积为，可得，同理，进一步建立方程求解即可.
（2）如图，连接，，记，的交点为，证明共线，共线，，，，，，设，，， 可得，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵点关于点的对称点为点，
∴.
②∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴设，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵ 与关于成中心对称，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，经检验符合题意，
∵，，
∴，
∴.
（2）解：如图，连接，，记，的交点为，
∵与关于成中心对称，“平行六边形”，
∴共线，共线，，，，，
∴，
设，，，
∴,
∵，
∴，
∴，即，
同理：，
∴，即，
同理：，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴的最小值为：
，
此时，，，
∴，即，
∴“平行六边形”的面积的最大值为：，
同理可得：，
同理：，，
∴，，
∴，
∴是的重心.
►题型04相似三角形的实际应用
【典例】．（2025·江苏南京·二模）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B．
(1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离；
(2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据，可得，即可求解；
（2）过点C作，交于点G．可得，从而得到，进而得到．然后根据，可得，再由，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，即．
，
．
（2）解：过点C作，交于点G．
，
．
，
．
．
．
，
·
，
．
．
．
因此，路灯P离地面的高度为
【变式】
1．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘．
【了解】
在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N．
【发现】
如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由；
【探索】
图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长．
【答案】[发现]不会发生改变，；[探索]
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
[发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案．
[探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案．
【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N．
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且．
[探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K，
则，
同上可知：，
可知，
∴
即，
解得：
即井口到水面距离AC的长．
2．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为．
(1)如图（1），步道为直线型（记为直线）．
①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ；
②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变．
(2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长．
【答案】(1)①；②见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；
（1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解；
②作，垂足为D，设小明头顶为E，
由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变；
（2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可．
【详解】（1）解：①如图，由题意得，
当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即，
∴中，，，
∴中，，
∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为，
故答案为：；
②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是定值，
∴是定值，
即影子顶端到步道的距离不变；
方法二：
如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H，
由题意得，，，
∴，
∴，
同理，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是定值，
即影子顶端到步道的距离不变；
（2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵是定值，
∴是定值，即位置固定不变，
∵半径为，即，
∴，
∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，
∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c．
突破一 相似三角形的性质与判定
【典例】．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时．
(1)如图②，求初始时点到的距离；
(2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：）
【答案】(1)点到的距离约为
(2)点在竖直方向上升了
【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质；
（1）过作于，在根据代入计算即可；
（2）过作于，由旋转可得，，，先求出再根据，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可．
【详解】（1）解：过作于，
中，，，
∴，
∴，
即点到的距离约为；
（2）解：过作于，
由旋转可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点在竖直方向上上升了．
【变式】
1．（2025·江苏镇江·一模）如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？
【答案】6米
【分析】证明，得出，代入数据求出，设点B的坐标为，则点的坐标为，求出，得出反比例函数解析式为：，设点D的坐标为，得出，证明，得出，即，求出m的值，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：米，米，米，，，，
则，，（米），
∴，
∴，
即，
解得：，
设点B的坐标为，点的坐标为，
∵灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，
∴，
解得：，
∴点B的坐标为，
设反比例函数解析式为，
把代入得：，
∴反比例函数解析式为：，
设点D的坐标为，
则，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，（舍去），
经检验是原方程的解，
∴（米），
答：树与路灯相距6米．
2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图1是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知．（参考数据：，，）
(1)在图2中，______；
(2)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度，
(3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点B处，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，请在图3中画出梅花桩的影子并计算出的高度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，添加适当的辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图：延长至H，根据平行线的性质可得、，再根据角的和差即可解答；
（2）如图：过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，由矩形的性质可得、，再解直角三角形结合勾股定理即可解答；
（3）线段、为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子．再利用相似三角形的性质求解即可；
【详解】（1）解：如图：延长至H，
由题意可得：，
∴、，
∴．
故答案为：．
（2）解：如图：过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，．
由题意得：，
∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，，
∴、，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴．即“采青”路径的长度约为．
（3）解：线段、为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子．
∵，，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，解得：．
经检验且符合题意，
所以的高度约为．
突破二 与相似三角形有关的作图与计算
【典例】．（2025·江苏无锡·二模）如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接．
(1)请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，则的长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由于和分别在正方形一组对边上，所以考虑先在边上作，最后利用“两直线平行，内错角相等”，易得；
（2）延长交的延长线于点，过点作于点，根据已知边长，易求出正方形的边长，根据正方形对边平行，利用平行的性质易证，即可求出的长；设，则，求出的长，再根据“等角对等边”证得，再证四边形为矩形，得出直角三角形两直角边长，最后根据勾股定理列方程即可求出的长．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，延长交的延长线于点，过点作于点，
，
，，
四边形是正方形，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
即， 解得，即．
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏镇江·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮上切一块最大的且无破损的圆形铁皮．
(1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)三角形铁皮上有一破损小洞(点)．
①如图②，点在的中心，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
②点不在的中心，点的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线，相似三角形的性质与判定；
（1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆；
（2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点；
②如图⑤或图⑥，即为所求．思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E．
【详解】（1）解：如图①，即为所求；
（2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下：
②如图⑤或图⑥，即为所求．
思路：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作；
思路：作的角平分线，作点关于的对称点，的延长线交于点；作，在上截取，以为直径作，过点作，交于点，可得；在上截取，可知；过点作，交于点，以为圆心，为半径作．
2．（2025·江苏扬州·三模）如图，线段，用两种不同的方法在线段上作点，使得．要求：①用无刻度的直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，并写出必要的文字说明．
【答案】见解析
【分析】方法一：过点作的垂线，在上方的垂线上截取，此时为等腰直角三角形，则，作的平分线交于点，则，在上截取，则为等腰直角三角形，那么，则，则，故点即为所求；
方法二：在线段延长线上依次截取，作的中点，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线交于点，连接，在上取点使得，则点即为所求，由圆周角定理可得，而，则可证明，设，则由得到，则，则，那么，则，故．
【详解】解：方法一：如图，点即为所求，
过点作的垂线，在上方的垂线上截取，作的平分线交于点，在上截取，则点即为所求；
方法二：如图，点即为所求，
在线段延长线上依次截取，作的中点，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线交于点，连接，在上取点使得，则点即为所求．
1．（2025·江苏无锡·二模）下图是凸透镜成像的光路示意图，、、分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线与折射光线相交于点C，已知，，设这个实验得到一个放大至倍的蜡烛的像，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，证明出，，四边形是矩形，即可得出，，，求出，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：根据题意可得：， ，，
∴，，四边形是矩形，
∴，，，
∴，即，
解得：，
∴，
故选：C．
2．（2025·江苏常州·三模）如图，在等腰中，直角边，D为的中点，E为边上的动点，交于点F，M为的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图所示，连接，，，勾股定理求出，然后由M为的中点得到，得到点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，即交于点O，为点M所经过的路线长，然后利用平行线分线段成比例得到为的中位线，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵在等腰中，直角边，
∴，
∵交于点F，M为的中点，
∴，
∴
∴点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，即交于点O，
∴为点M所经过的路线长
∴
∵D为的中点
∴
∴
∴
∴为的中位线
∴
∴点M所经过的路线长为．
故选：B．
3．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过作轴于，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过作轴于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
4．（2025·江苏常州·三模）如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），，．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形性质和判定的实际运用，根据题意证明，结合相似三角形性质推出求解，即可解题．
【详解】解：当夹子完全张开时（即A，B两点重合），如图所示：
，．
，
，
，
，
即，
解得；
故选：A．
5．（2025·江苏南京·三模）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键．
由得到，，，进而求解即可．
【详解】解：∵
∴，，
∴．
故选：C．
6．（2025·江苏苏州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠性质，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
如图2中，设交于点．先利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出，再求出、，可得结论．
【详解】解：
如图中，设交于点．
在中，，，，
∴，
∴；
∵，，
∴，，
∴，
由翻折的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为
故选A．
7．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．的面积的面积D．四边形的面积的面积
【答案】D
【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项．
【详解】解：过点作，分别交、于点、，
由折叠的性质得，，
∵E为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵正方形，
∴，，
设，
∵E为边的中点，
∴，
由折叠的性质得，，，
∵，
∴四边形和为矩形，
∴，，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴，，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵的面积，的面积，
∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意；
∵四边形的面积等于的面积的面积，
的面积，
∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意；
故选：D．
8．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在中，，平分，为线段上一点，且，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；过点作交的延长线于点，延长交于点，连接，结合题意得出，根据平行线的性质可得，进而得出是的中点，进而证明，根据对顶角相等得出，结合，解得出，进而可得，然后根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，延长交于点，连接，
∵平分，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
在中，
∴
∵
∴
∴即
解得：
故答案为：．
9．（2025·江苏·模拟预测）半径为的圆中，是两条垂直的直径，为弧上的任一点，弦与交于，弦与交于，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等，连接，过点作交的延长线于，可证，由得，即得①，再证得②，由①②得，由此可得，得到，然后求出的面积即可；正确地作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：连接，过点作交的延长线于，如图所示：
∴，，
∵是两条垂直的直径，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即①，
∵，，
∴，
∴，
即②，
由①②得，，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（2025·江苏南京·三模）如图，正方形的边上有一点，将沿翻折，使得点落在点处，射线，相交于点，若，，则 ．
【答案】
【分析】作于点，于点，由正方形的性质，折叠的性质，证明，得到，，由，得，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：作于点，于点，则，
四边形是正方形，点在边上，，，
，，
将沿翻折，点落在点处，
，，，，
，，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
1．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
【详解】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
2．（2025·江苏淮安·一模）如图，由两个正方形组成的矩形的顶点A、B分别在y轴、x轴上，已知，，点D在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】11
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求得顶点D的坐标是解题的关键．作轴于E，证明，得，可得点D的坐标，再将点D代入反比例函数解析式可得答案．
【详解】解：作轴于E，
两个正方形组成的矩形的顶点A、B分别在y轴、x轴上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点D在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
3．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把△ADE沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，求正切值等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F作，分别交于点N，M，证明四边形是矩形和，设，利用相似三角形的性质得出，再利用勾股定理求出x的值，进而求解即可．
【详解】解：过点F作，分别交于点N，M，
∵四边形为正方形，
∴，
∵E是边的中点，把沿折叠得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2025·江苏南京·三模）如图，在中，．是上一点，且．于点，交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点A作交延长线于H，由勾股定理可得；证明，得到，则可证明是等腰直角三角形，进而可证明是等腰直角三角形，得到；证明，得到，则．
【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于H，
在中，，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求三角形外接圆的半径，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，如图所示：
∵的高，相交于点F，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的外接圆半径为．
故答案为：．
6．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在与中，，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，垂线的定义，三角形的内角和，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
过点A作于点M， 于点F，先证明，继而推导出，则，可得到，则，求出，用勾股定理求出，再利用，即可解答．
【详解】解：过点A作于点M， 于点F，如图，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
7．（2025·江苏泰州·二模）如图，在的正方形网格中，、、为格点，连接，交过点的水平格线于点．若小正方形边长为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理，根据勾股定理求出的长，再根据平行线分线段成比例得出等式求出的长即可．
【详解】解：如图所示，
由在网格中的位置，可知，
，
在中，，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
8．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，为的直径，切于点，过点作于点，交于点，连接；
(1)猜想线段、与之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如果，，求的半径．
【答案】(1)．见解析
(2)
【分析】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键．
（1）连接、，根据切线的性质及等腰三角形的性质得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明；
（2）连结、，根据题意及平行线的判定得出，确定，再由等量代换确定，再由相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：．理由如下：
证明：如图所示：连接、．
切于点，
．
，
∴，
．
，
．
．
为的直径，
．
．
∽．
，即．
（2）解：连结、．
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
由（1）得，
，

又．
∽，
，
．
在中，．
由（1）可知：．
．
的半径为．
9．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，．
(1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式；
(2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求．
（2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得：
，
，
作轴，轴，如图，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
∵，点的坐标为，
，
，，
，
，
在反比例函数的图像上，代入得：
，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上，
∴设，，
∵，，
∴轴，且，
∵、与点A、构成以为边的平行四边形，
∴，且，如图，
∴轴，且，
∴
由②得：，
代入①得：
解得：（舍），
则，
∴．
故答案为：．
10．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．
(1)求直线对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ．
（1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式．
（2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立．
（3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴令，则，
点C的坐标为．
令，则．
解得，或，
∴点B的坐标为．
设直线对应函数的表达式为，由题意，得
解得
直线对应函数的表达式为．
（2）不存在实数m使得，理由如下：
方法一：为二次函数图像上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得．
方法二：由方法一，得．
当时，，即．
，
∴方程没有实数根．
不存在实数m使得．
（3），或．解答如下：
如图，作轴，交x轴于点H，交于点，
作，垂足为Q，作轴，交于点，则．
当时，．
点P的坐标为．
点N的坐标为，
点Q的坐标为，点H的坐标为，
点的坐标为．
，
．
，
．
．
，即．
．
，即．
点M的坐标为，
点的坐标为．
，即．
解得或．
1．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意；
B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意；
C、，即，能判断，本选项符合题意；
D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2025·安徽亳州·一模）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义结合，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，，
∴，
∵，
∴；
故选A．
3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，在矩形中，是对角线，点E，F分别在边，上，，交于点G．若点G是的中点，，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得，进而可得，再证明，利用相似三角形的性质即可求出，利用勾股定理求出即可解答．
【详解】解： 四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
4．（2025·福建·中考真题）如图，等边的边长为，点在边上，，线段绕顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接，下列结论：①四边形面积为；②外接圆的半径为；③；其中正确的是（ ）.
A．①②③B．①③C．①②D．②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定、图形的旋转、勾股定理、三角形外接圆半径的计算等知识．构造恰当的辅助线，以及对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键．
首先利用旋转的性质确定是等边三角形，通过证明，得到结论①正确；利用等边三角形的性质作的高，根据勾股定理计算的长度，通过三角形全等的性质确定，利用等腰三角形的性质和三角函数计算外接圆的半径，得到结论②正确；利用相似三角形的性质确定线段的比例，得到结论③正确．
【详解】解：∵线段绕顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形面积为，故①正确；
如图，作于，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，以为底边，作等腰，使，作于，
则，，
∴的外接圆半径，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确．
故选：．
5．（2025·上海崇明·一模）如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ．
【答案】
【分析】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
设交于点I，由矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上，得，则，由矩形的长是宽的2倍，得，由是的高，得，，则，由，得，而，，所以，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点I，
矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上，
，
，
矩形的长是宽的2倍，
，
是的高，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
解得，
的长度是，
故答案为：．
6．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，，，点、分别在边和的延长线上，连接、、AC，与边交于点，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】作于点N，作交于点M，由菱形的性质得，，，，，证明，利用相似三角形的性质求出，，．证明，利用相似三角形的性质求出，进而求出，，证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出线段的长．
【详解】如图，作于点N，作交于点M，
∵在菱形中，，，
∴，，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
7．（2025·重庆·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，以为直径的交于点E，连接，的切线交于点F，连接．若，，则 ， ．
【答案】
【分析】过点C作，设，，根据等腰梯形的性质可得出，，再根据，得出y与x的关系式，然后将此关系式代入即可得出答案；先根据，求得，易证，然后根据对应边成比例，表示出，解出的表达式，进而代入可得出的值．
【详解】解：如图，过点C作，连接，
设，，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵四边形是等腰梯形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得：，即可得：，
∴（负值舍去），
∴；
∴；
∵，
∴，
∵是的切线，是半径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵，
∴．
故答案为：；．
8．（2025·四川成都·一模）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，设，则，，则，利用等腰直角三角形的性质证明，由相似三角形的性质得出，进一步求出，再证明，由相似三角形的性质进一步即可得出．
【详解】解：设，则，，
∴，
∵，是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即
∴，
∵
∴，
解得，（舍去）
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2025·江苏连云港·二模）（1）【教材再现】苏科版九下教材第56页有这样一道例题：如图1，在中，，点分别在上，且，与相似吗？为什么？
【总结提炼】在完成该例题的解答后，小明从图1中分离出图2，他认为是由过的一顶点的一条直线，从上截得的一个小三角形，该三角形与原三角形相似，关联很紧密，于是，小明把这两个三角形称为“母子相似”．请应用小明的发现，继续解决问题．
【应用内化】（2）如图3，在中，用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得是和的比例中项（不写作法，保留清晰的作图痕迹）
（3）如图4，在中，，，，点在内，且，求的最小值；
【拓展应用】（4）如图5，正方形的边长为6，点分别在边上，且，与相交于点，点关于的对称点为点，连接交于点试判断是否存在最小值？存在，直接写出最小值；不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明过程详见详解（2）作图详见详解（3）（4）存在，
【分析】（1）可证得，根据得出，进而得出，进一步得出结论；
（2）作，交于；
（3）作等边三角形，作其外接圆，延长，交于，连接，可证得，从而，从而得出当时直径时，最大，最小，即最小，进一步得出结果；
（4）可证得，从而点在以为直径的上，连接，延长，交的延长线于，可推出，从而根据（1）知，从而，从而当最大时，最小，此时最小，当与相切时，最大，最小，进一步得出结果．
【详解】（1）理由如下：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）如图1，
作，交于，
∵是公共角，
∴是和的比例中项；
（3）如图2，
作等边三角形，作其外接圆，延长，交于，连接，
∵
点在上，
∵
∴
∵
∴
∵
∵
∴
∴
又∵为公共角
∴
∴
∵当为直径时，最大，最小，即最小，
∵直径
∴
（4）如图3，
四边形是正方形，
∵，∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴点在以为直径的上，
连接，延长，交的延长线于，
∵
∴
∵点关于的对称点为点，
∴
即
∴
由（1）知，
∴
∴当最大时，最小，此时最小，
∴当与相切时，最大，最小，
此时
∴
∵
∴
∴
∴，
设，则，，
∵在中，由勾股定理得，
∴
∴，即
∴
10．（2025·山东东营·中考真题）
（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键．
（1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论；
（2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论；
（3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论．
【详解】解：（1），，
．
由折叠可得，，
，，
．
，，
，
，即，
．
故答案为：．
（2）方案①：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
方案②：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
方案③
证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：∵平分，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
11．（2025·广东广州·模拟预测）（1）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【分析】（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论；
（2）由正方形的性质先证，得出，再证，得出，然后由平行线的性质得，即可得出结论；
（3）延长至点，使，连接，先证，得出，，再证是等边三角形，得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，
，
，
点在的延长线上，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即的长为．
命题点一 比例线段与黄金分割
题型01比例的性质与黄金分割
题型02 平行线分线段成比例
命题点二 相似三角形的性质与判定
题型03相似三角形的性质与判定
题型04相似三角形的实际应用
突破一 相似三角形点的性质与判定综合
突破二 与相似三角形有关的作图与计算
基础巩固→能力提升→全国新趋势
考点
2025年
2024年
2023年
课标要求
比例线段与黄金分割
宿迁T8、28
徐州T23
盐城T11
徐州T28
南通T17
常州T7、28
南通T25
徐州T26
理解比例的基本性质、成比例的线段、黄金分割。知道相似多边形和相似比。
掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。了解相似三角形判定定理的证明。掌握相似三角形的性质定理了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
相似三角形的性质与判定
南京T13
淮安T8
无锡T9、16、28
淮安T27
镇江T16、23、24
徐州T28、南通T、18、25常州T16
苏州T8、16、27
扬州T18、25、28
连云港T25、26
淮安T16、24、25、27
徐州T27
南通T10、26
宿迁T8、18、25、28
无锡T26
常州T15
苏州T7、16、25
扬州T28
扬州T27
盐城T11、23
相似三角形的应用
无锡T26、连云港T23
南京T27
镇江T16
扬州T16
南京T24
扬州T16
连云港T25
命题预测
2023 - 2025 年相似三角形的考查情况分析：
题型覆盖全面：近三年均涉及选择、填空、解答三种题型。基础题型多考查简单比例计算或相似三角形的性质，分值3-4分；解答题多为中档题或压轴题，分值8-10分，分值占比8%-12%，是几何板块的核心考点。
地域差异特点：南京、苏州等教育发达地市更倾向于将相似三角形融入综合压轴题（如圆与几何综合、函数与几何动态问题）。
2026年中考数学关于相似三角形的命题预测：
题型与分值稳定：仍将覆盖选择、填空、解答三种题型，总分值维持在8-12分。基础题型（3-4分）难度中等偏易；解答题仍为中档题或压轴题的核心组成部分（8-10分）。
综合考查方向明确：“圆+相似”的综合题仍是多数地市的中档解答题重点；“函数+动点+相似存在性”将继续作为部分地市的压轴题考点，强调分类讨论思想的应用。
实际应用题型保留：部分地市大概率会保留1道独立的相似三角形实际应用题，难度中等，是得分关键。
命题创新点：可能结合生活中的新场景（如监控摄像头视野范围、无人机测量）考查建模能力，但核心仍是相似三角形的判定与性质应用。
备考建议：
掌握相似基础知识和基本模型，重点培养分析问题能力，不要盲目刷题，有针对性地训练才能快速提高成绩。
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