重难点02 点与圆、直线与圆、三角形与圆、正多边形与圆的关系（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

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目 录
01 TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214369010" 深挖重难·固根基 PAGEREF _Tc214369010 \h 1
02 分 \l "_Tc214369011" 层锤炼·验成效33
重难点一 点与圆
1.点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d．
(1)dr⇔点在⊙O外．
2. 如图，圆外一点到圆上各点连线的最小值为PO−r; 如图最大值为PO+r。
如图，圆内一点到圆上各点连线的最小值为r−PO; 如图最大值为PO+r。
题型01判断点与圆的位置关系
【典例】（2025·广东广州·二模）已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上B．点在内C．点在外D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理，熟练掌握点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理是解题的关键；过点O作于点D，连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：如图，过点O作于点D，连接，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点在内；
故选B．
【变式】
1．（2025·吉林·二模）在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（ ）
A．点在外B．点在上
C．点在内D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，点与圆的位置关系，先证明，可得即可得到结论.
【详解】解：如图，∵在中，，，
∴，
∴，
∴以为圆心，长为半径画圆，则点在上，
故选：B．
2．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上B．点在内C．点在外D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案．
【详解】解：如图，令与的交点为，
为半径，为弦，且，
，
，
在中，，，，
，
，即的半径为4，
，
点在外，
故选：C．
题型02根据点与圆的位置关系求半径范围
【典例】（2025·浙江杭州·三模）已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（ ）
A．一定等于B．可能大于
C．不可能大于D．不可能等于
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用点与圆的位置关系求半径，解题的关键是根据垂径定理和勾股定理求出．
分为弦是圆的直径和弦不是圆的直径，两种情况进行分析，若弦是圆的直径，则圆的直径是，若弦不是圆的直径，弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，根据矩形的性质得出，根据垂径定理得出，，设圆的半径为，根据勾股定理可求得，即可求解．
【详解】解：如果弦是圆的直径，此时的直径是，故A选项、D选项说法错误；
如果弦不是圆的直径，如图：
弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，
则四边形是矩形，
∴，
∵，，，，
∴，，
设圆的半径为，即，
在中，，
在中，，
在中，，
即，
当点在圆上时，，
即，
解得：，
即圆的直径可能等于；
当点在圆内时，，
即，
解得：，
即圆的直径可能小于；
综上，圆的直径不可能大于．
故选：C．
【变式】
1．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】D
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键．
根据点与圆的位置关系解答即可．
【详解】解：∵点P在半径为5的内，
∴，
∴点P到圆心O的距离不可能是6．
故选：D．
2．（2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系．
由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答．
【详解】∵在中，，，
∴，
∵D为的中点，
∴．

由上图可知，当的半径时，点D在上，
当的半径时，点C在上，点D在圆内，
当的半径时，点B在上，点C、D在圆内，
当的半径满足时，点D在内，
当的半径满足时，点C、D在内，
当的半径满足时，点B、C、D在内，
∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是．
故选：A
题型03点与圆上一点的最值问题
【典例】（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．3D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义及性质等知识．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等腰直角三角形的性质求得值即可求解．
【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，
由旋转性质得，，，即，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，
∵，
∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为，
∵点M是等腰直角三角形边的中点，，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故选：C．
【变式】
1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点B是线段上的点，且满足，．将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取线段的中点D，则点A与点D的最小距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，三角形中位线的性质，点与圆上一点的最佳问题，根据三角形中位线性质求得，得出点D是在以点O为圆心，为半径的圆上运动是解题的关键．
取的中点O，连接，根据中位线的性质与旋转的性质求得，则点以点A为圆心，为半径的圆上运动，同时，点D是在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点D在上时，此时最小，由求解即可．
【详解】解：取的中点O，连接，如图，

∵点D是线段的中点，
∴是的中位线，
∴
∵由旋转可得，
∴，
∴点以点A为圆心，为半径的圆上运动，同时，点D是在以点O为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点D在上时，最小，如图，
∴此时，．
故选：B．
2．（2025·四川宜宾·三模）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧．连接交于，当点P运动到时，取到最小值．
【详解】解：如图所示，∵边长为6的等边，
∴， ，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧，
此时，
连接交于，当点P运动到时，取到最小值，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
即，
故答案为：．
重难点二 直线与圆
1. 直线和圆的位置关系
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
2．切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点；
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径．
方法点拨：
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
3．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
图形语言：
符号语言：
方法点拨：切线判定常用的证明方法：
知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
题型01 根据切线的性质计算与证明
【典例】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点．
(1)求证：平分；
(2)设，求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键．
（1）连接，通过切线的性质得到，从而推出，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可；
（2）连接，借助，利用勾股定理求出（即半径）的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似三角形），用k表示出和，借助，利用勾股定理求解即可；
（3）借助圆周角定理，推得，作的平行线，借助，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
由题意，得与相切于点E，
∴，
又，
∴，
∴，
∵和都是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1），得，
∵点F在上，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，即，
设，则，
解得（负值已舍去），
∴，
∴；
（3）解：由圆周角定理，得，
如图，过点O作平分，交于点M，连接
由（2），得，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
在中，，即，
解得，
∴在中，，
∴，
∴．
【变式】
1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行；
（2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
，
；
（2）解：如图，设的半径为，连接，
切于点，
．
在中，，
解得，
，
，
．
为的直径，
．
在中，，
．
，
．
在中，．
2．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径和的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的半径长为5，的长为
【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分．
（2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：作于点，，
，，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
的半径长为5，的长为．
题型02 证明某直线与圆相切
【典例】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
【答案】(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论；
（2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：与相切；
理由如下：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴与相切；
（2）解：如（1）图，，
∵的半径为3，
∴
∵，，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴
解得：
∴．
【变式】
1．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线；
（2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积．
2．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切；
（2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图，连接交于点D，
，
，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
是的直径，
， ，
．
重难点三 三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
题型01 与三角形内切圆相关的计算
【典例】（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____．
【答案】
【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．
根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【变式】
1．（2025·河北唐山·二模）如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____．
【答案】65
【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出．
【详解】解：∵I是的内心，
∴分别平分，
∴，；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴．
故答案为：65．
2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点，
∵，，，
∴，
，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
连接，，，，，，则，
∵，且，，，
∴，
解得：，
同理可得，，
解得，
∴，
故选：D．
题型02 与三角形外接圆相关的计算
【典例】（2025·四川南充·二模）如图，是等边的外接圆，，分别为，的中点，延长交于点，若的半径，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，交于点M，延长交于点H，连接，根据是等边的外接圆，的半径，可得，求出，，，，再证得，可得，运用勾股定理得，结合线段的和差关系求出的长，即可作答．
【详解】解：如图，连接，交于点M，延长交于点H，连接，
∵是等边的外接圆，的半径，
∴，
∴
则，
∴，
∴，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【变式】
1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了求三角形外接圆的半径，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，如图所示：
∵的高，相交于点F，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的外接圆半径为．
故答案为：．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）经过点，，的圆的周长为_________．
【答案】
【分析】本题考查的是求解三角形的外接圆的半径，勾股定理的应用，先画图，判断圆心在的垂直平分线上，即在轴上，设，再利用勾股定理求解，再进一步可得答案.
【详解】解：如图，记圆心为，
∵，，
∴圆心在的垂直平分线上，即在轴上，
设，
∴，
解得：；
∴半径为：，
∴圆的周长为，
故答案为：
重难点四 正多边形与圆
1.正多边形与圆的关系
2.基本概念
正多边形定义、中心、半径、边心距、中心角
正多边形与圆的关系：外接圆、内切圆
3.角度计算（必考）
中心角：360°÷ 边数
内角：((n-2)×180°)÷n
外角：360°÷n
中心角 = 外角
4.边长、半径、边心距的关系
构造直角三角形（半径、半边长、边心距）
勾股定理、三角函数（sin、cs、tan）
常见：正三角形、正方形、正六边形
5.周长与面积
周长 = 边长 ×n
面积 = 1/2× 周长 × 边心距
正六边形面积：6 个等边三角形面积和
方法点拨：
有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围城的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。
（4）检验：检验答案是否符合实际生活．
题型01 正多边形与圆的综合问题
【典例】如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查正五边形和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：如图所示，连接，，
是正五边形，
，
，
故选：D．
【变式】
1．（2025·广东广州·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图1，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，，若用圆内接正十二边形作近似估计，则π的估计值为 _____．
【答案】3
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过A作于M，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，
过A作于M，
在正十二边形中，，
∴，
∴，
∴正十二边形的面积为，
∴，
∴，
∴π的近似值为3，
故答案为：3．
2．（2025·湖北武汉·一模）如图，正五边形内接于，连接交于点F．
(1)求的度数．
(2)已知，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．
（1）根据五边形是正五边形，判断出，，再根据圆周角定理即可得到；
（2）证明，推出，设，则，列出方程，解方程即可求出的长．
【详解】（1）解：∵五边形是正五边形，
∴，．
∵正五边形内接于，
∴；
（2）解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理得：，
∵，
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
同理，
∵
∴，
∴，即，
设，则，
∴，即，
解得（舍去负值）．
∴的长是．
1．（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形中，半径为1的⊙在正方形内平移（⊙可以与该正方形的边相切），设点到⊙上的点的距离为，且是整数，则的值所有情况有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解；当与AB，BC相切时，连接，证明出是正方形，利用性质求解；当与，相切时，切点分别为G，H，连接，，利用同样的方法进行求解即可．
【详解】解：如图1，当与，相切时，切点分别为E，F，连接．
由题意易得四边形是正方形，．
的半径为1，，
∴点到上的点的距离的最小值为．
如图2，当与，相切时，切点分别为G，H，连接，，
由题意易得四边形是正方形，．，
∴点B，O，D三点共线．
的半径为1，
∴，
，
∴点到上的点的距离的最大值为．
，，
∴x的取值可能是1，2，3，4，5，共有5种，
故选：C．
2．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（ ）
A．14B．15C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运用规律，掌握点的运动，建立合理的数量关系，数形结合分析是关键．
根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，由此得到的最小值是的值减去的最大值，数形结合分析即可求解．
【详解】解：∵点，
∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即，
∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
如图所示，连接，
∵，
∴点到轴的距离为，到轴的距离为，
∴，
将绕点逆时针旋转度得，则，
∴与轴的负半轴的夹角为，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点在上逆时针运动，点在上顺时针运用，
连接，
∴，
∵点的运动方向不同，
∴线段与线段的关系是：相交与平行，如图所示，
∴如图3所述，当时，延长交于点，过点作于点，
当时，，
∴最大时，的值最小，
∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大，
∴，
∴，
故选： D．
3．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】A
【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等，
∴ 三角形一定有外接圆，
四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，
故选：A
4．（2025·浙江·一模）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．根据“半径三角形”的定义、圆周角定理判断①②；根据等腰三角形的性质、圆周角定理判断③；过点作于，求出的最大面积，判断④．
【详解】解：如图，，
当点是圆上异于、的点时，为“半径三角形”，
则一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确；
当点在优弧上，可能是锐角三角形，当为直径时，是直角三角形，当点在劣弧上，是钝角三角形，
则一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确；
当点在优弧上，，当点在劣弧上，，当时，顶角，
则当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或，故③结论正确；
如图，过点作于，直线交优弧于，此时，面积最大，
，
，，
，
，故④结论错误；
故选：C．
5．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（ ）
A．B．C．10D．8
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
由圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，四边形是正方形，根据面积法求出内切圆的半径，进而可得的周长．
本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、，
由切线长定理可知，，，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
则四边形是正方形，
∵是的内切圆，
设内切圆的半径为r，
由，
得，
解得，
∴，
∴，
，
∴的周长
．
故选：B．
7．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：正方形ABCD，
，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：或，
，，
令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，
内切于，
，
，
，
，
解得：，即的内切圆半径为2，
故选：B．
8．（2025·山东聊城·三模）如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．10D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键．
如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∴，
∴，
∴该正多边形的边数为10，
故选：C．
9．（2025·四川广元·一模）如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：直线与相切；
(2)若， 求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定定理，切线长定理，勾股定理等知识点，熟练掌握切线的判定与性质定理，学会添加常用辅助线是解题的关键．
（1）连接，利用证明，结合已知推出，即，再根据圆的切线判定定理(垂直于半径外端的直线是圆的切线)，即可证明；
（2）先设圆的半径，表示出，在中利用勾股定理列方程求解得半径为，进而得出；再根据切线长定理设，表示出，在中再次用勾股定理列方程解得；最后在中通过勾股定理计算出即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵点在圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴直线与相切；
（2）解：设，
∵，
∴，
在中，，，
即，
解得，
∴；
∵是圆的切线，
∴设，
在中，，
即，
解得，
∴，
在中，．
10．（2025·浙江丽水·二模）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接．
(1)求证：平分；
(2)若的直径为10，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)4
【分析】（1）连接，则和，根据题意得，即有，可得，则有即可判定角平分线；
（2）过点O 作于点E，连接，则，判定四边形为矩形，有，结合圆的性质和等腰三角形的性质求得，利用勾股定理求得即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
则，，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：过点O 作于点E，连接，如图，
则，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，即，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵的直径为10，
∴，
∴，
∴．
1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是上一点，连接，，平分，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质定理．
（1）根据等边对等角可得，根据圆周角定理结合角平分线的性质可得，从而得到，根据，可得，即可得证；
（2）过点作 于点 ， 于点 ， 于点 ，过点 作 于点 ，根据直径所对的圆周角等于可得是直角三角形，在中，由勾股定理可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，由三角形的面积公式得：，可求得的长，证明四边形是矩形，得到，在中，由勾股定理可求得的长，根据角平分线的性质可得，在中，由勾股定理可求得的长，最后根据求解即可．
【详解】（1）证明：是的外接圆，是的直径，是上一点，
，
，
根据圆周角定理得：，
，
平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，过点 作 于点 ， 于点 ， 于点 ，过点 作 于点 ，
是的外接圆，是的直径，
，
是直角三角形，
的半径为，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
，
，，，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
平分，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
2．（2025·湖南娄底·三模）如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，由角平分线和同弧或等弧所对的圆周角相等可推出，再由等腰三角形的性质得，由平行线的性质即可得证；
（2）过作交于，由平行线的性质及直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形的特征得，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而得到，最后由勾股定理得，，即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
是的平分线，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过作交于，
则，
，
，
是的直径，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
．
的长为．
3．（2025·山西运城·一模）阅读与思考
阅读下列材料，完成下面的任务．
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______．
(2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长．
(3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得出，则可得出答案；
（2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案；
（3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案．
【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，，
，，，
设，，，则有，
三式相加可得，
，
如果设，那么有．
故答案为：，；
（2）解：的周长为，
由题意得，
如图，设切点分别为，，，则，
，，
，
三角形纸片的周长，
；
（3）解：设，依题意得，，
，，
，
根据勾股定理可得，整理得，
解得或不合题意，合去，
，
，，
．
4．（2025·湖南·三模）圆O是的外接圆，I是的内心，请回答以下问题：

(1)如图1，连接、，当时，则________；
(2)如图2，延长，分别交圆O于点F、G，连接并延长交于点D，交圆O于点E，求证：；
(3)如图，连接，当，且时，，试求y关于x的函数解析式．
【答案】(1)120
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形的内心为三个内角平分线的交点的性质得到，，再利用三角形的内角和定理解答即可；
（2）设与交于点，利用（1）的方法得到，利用圆周角定理，角平分线的定义和三角形的外角性质解答即可得出，则可得结论；
（3）连接，利用三角形的内心的性质和三角形的外角的性质，圆周角定理和等式的性质得到，则，利用垂径定理可得，则；利用相似三角形的判定与性质求得．则；利用相似三角形的判定与性质得到，则可求结论．
【详解】（1）解：是的内心，
平分，平分，
，，
，，
，
．
故答案为：120；
（2）证明：设与交于点，如图，
是的内心，
平分，平分，平分，
，，，
，
．
．
，，
，
，
；
（3）解：连接，如图，
是的内心，
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
．
，，
，
，
．
，
关于的函数解析式为．
5．（2025·浙江杭州·三模）已知，正方形和它的外接圆．
(1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径；
(2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明；
(3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）连接、，由题意易得，则可证，然后可得，进而可得是等腰直角三角形，进而在中，勾股定理，即可求解．
（2）在上取点G，使，连接，同理（1）可得：，则有是等腰直角三角形三角形，然后问题可求解；
（3）由题意易得点P在以为直径的圆上，则可分当点P在如图3①所示位置时，当点P在如图3②所示位置时，进而问题可求解
【详解】（1）解：连接、，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴是的直径，
∴
在中，
∴
∴的半径为
（2），理由如下：
在上取点G，使，连接，
同理（1）可得：，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点A到的距离是或，理由如下：
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴点在以为直径的圆上，
∴点是这两圆的交点，
①当点P在如图3①所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴A、P、D、B在以为直径的圆上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，，
∴由（2）中的结论可得：，
∴，
∴；
②当点P在如图3②所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：点A到的距离为或．
/
/
/
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
d