重难点01 圆的性质（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测试+答案

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01 TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214369010" 深挖重难·固根基 PAGEREF _Tc214369010 \h 1
02 分 \l "_Tc214369011" 层锤炼·验成效23
重难点一 弧、弦、圆心角的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
易错提醒：圆心角、弧和弦之间的关系必须在同圆或等圆中才成立．
题型01根据弧、弦、圆心角的关系求角度
【典例】（2025·江苏南京·二模）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，连接，根据题意得出，根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵的度数为，的度数为，
∴
∴
∴
故选：C．
【变式】
1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的直径，点C为圆上一点，且，过点C作的切线，交的延长线于点D．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆心角与弧的关系，切线的性质．先求得，由切线的性质求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2025·湖南·模拟预测）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
是的中点，
，
，
，
故选：．
重难点二 圆周角定理
1.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等．
几何语言：
简记为：
2．推论：
（1）直径所对的圆周角是直角．
图形语言：符号语言：
（2）圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于内对角．
图形语言：符号语言：
题型01 根据圆周角与圆心角的关系求角度
【典例】（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键．
直接运用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【变式】
1．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴且，
∴，
故选：C．
题型02 根据直径对的圆周角是直角计算与证明
【典例】（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________．
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数：
（1）由直径所对的圆周角为90度，可证，进而可得垂直平分，即可证明；
（2）连接，则，结合可得，进而可得，再由勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
又，
垂直平分，
；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
由（1）得，
，
．
2．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切；
（2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图，连接交于点D，
，
，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
是的直径，
， ，
．
题型03 根据90度的圆周角对的弦是直径计算与证明
【典例】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________．
【答案】
【分析】本题考查直角所对的弦是直径，找出点E的运动轨迹是解题的关键．根据点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上，进而分析当重合时，重合，取得最小值，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上，
如图，此时
∵
∴当重合时，重合，
此时，则
∴的最小值是
故答案为：．
【变式】
1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________．
【答案】
【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答．
【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，
∴
∵面积为24，
∴
∴，
过点C向上作线段，使得，
∵
∴
即
∴，
连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故点D在以为直径的圆上，
∵，
记圆心为直径的中点，
即的半径
连接，并延长与交于一点，即为，
此时为的最大值，
故
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键．
2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E．
(1)如图1，若，求证：平分；
(2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可；
（2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图2，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径是5．
题型04 根据圆内接四边形对角互补计算与证明
【典例】（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵为的外接圆，
∴，
∴，
故选：．
【变式】
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，内接于，连接、，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出．
【详解】解：由圆周角定理得：，
四边形为内接四边形，
，
，
故选：C．
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_______．
【答案】
【分析】本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角为直角，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：35．
重难点三 垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
方法点拨：
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．垂径定理推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
题型01 利用垂径定理求长度
【典例】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设半径为R，
在中，，
由勾股定理得，，即，
解得．
故选：A．
【变式】
1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（ ）
A．3B．2C．6D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键．
由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴在中，，
故选：A．
2．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是______．
【答案】2
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：2．
题型02 利用垂径定理作图
【典例】（2025·江苏徐州·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图①，过点P作的一条切线；
(2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分；
(3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键．
（1）作的垂直平分线交于点，再以M为圆心，为半径画圆，交于点，连接，根据圆周角定理得到，则切线即为所求；
（2）连接，过点作的垂线，直线交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦被点P平分，则点Q即为所求；
（3）过点O作的垂线，垂足为G；以点O为圆心，长为半径作小；作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线，交于点C，D，则，则直线即为所求．
【详解】（1）解：如图①，直线即为所求；
（2）解：如图②，点Q即为所求；
（3）解：如图③，直线即为所求．
【变式】
1．（2025·广东深圳·二模）如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧．
(1)尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹；
(2)在（1）中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦与所夹的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长交于F点，再作交于E点，然后延长交于D点，则满足条件；
（2）过O点作于Q点，于P点，连接，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，所以，于是可判断，然后证明，同理可得，然后根据扇形的面积公式，利用该圆位于与之间的图形的面积进行计算即可．
本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质、垂径定理和全等三角形的判定与性质．
【详解】（1）解：如图1，为所求；
（2）解：如图2，过O点作于Q点，于P点，连接，
则，，
在中，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
同理，
该圆位于与之间的图形的面积
2．（2025·河北邯郸·二模）如图-1是清末时期的文房用具纹铜吸墨碾，做工精细，体现了我国文化的博大精深．用途是书画创作时，通过转动吸墨碾（碾上附着吸墨纸），吸收多余墨汁．吸墨碾侧面示意图如图-2，已知，圆弧最低点到的距离为．
(1)在不添加点的情况下，利用无刻度直尺和圆规作出劣弧的圆心；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求劣弧的半径；
(3)当使用吸墨碾从点沿转动到点时，求圆心移动的距离．（取，结果精确到．参考数据：，）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)圆心移动的距离约为
【分析】本题考查尺规作图利用垂直平分线作圆心，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，弧长公式，掌握知识点是解题的关键．
（1）利用尺规作图分别作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）连接，设交于点，设的半径为，根据垂径定理，求出，再在中，利用勾股定理，即可解答．
（3）连接，易知圆心移动的距离等于的长度，根据，求出，，再利用弧长公式求出的长度，即可解答．
【详解】（1）解：连接，作线段和的垂直平分线，
作图如解图①（答案不唯一），点即为所求：
（2）如解图②，连接，
设交于点，设的半径为，
由题意可知，，，
，
在中，，
即，
，
，
劣弧的半径为；
（3）如解图②，连接，
，
易知圆心移动的距离等于的长度，
在中，，
，
的长度为，
圆心移动的距离约为．
1．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定，
根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，则A正确，C正确；
∵，
∴，
∴，则D正确．
不一定相等，则B不正确
故选：B．
2．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（ ）
A．B．C．6D．10
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
先证，进而得出，，由垂径定理得，再用勾股定理解即可．
【详解】解：点D是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，连接，设的半径为r，设，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
故选：A．
3．（2025·陕西西安·一模）如图，点均在上，的半径为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查弧长的计算及圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，再由弧长公式计算即可．
【详解】如图，连接和，
∵点均在上，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：B．
4．（2025·辽宁鞍山·一模）在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（ ）
A．10B．5C．8D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理．
连接，根据的圆周角所对的弦为直径，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴为圆的直径，
∴由勾股定理得，
∴此圆的半径约为，
故选：B．
5．（2025·四川南充·一模）如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，连接，，由题意可知平分，可得，由圆周角定理可推出，从而得到，可判定选项A；利用证明，即可推出，可判断选项B；根据圆内接四边形对角互补即可推出，可判断选项C；利用反证法，假设，可得，再根据，但无法根据已知条件推出，可判断选项D．
【详解】解：如图所示，连接，，
由题意可知平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故此选项成立，不符合题意；
B、∵内接于，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故此选项成立，不符合题意；
C、∵点，，，四点共圆，
∴四边形为圆内接四边形，
∵圆内接四边形对角互补，
∴，
故此选项成立，不符合题意；
D、假设，
∴，
∵，
∴，
而根据已知条件无法推出，
∴假设不成立，
故此选项符合题意；
故选：D．
6．（2025·四川绵阳·一模）如图，D是的外接圆上的一点，是的弦，且经过的中点P．若，则的长的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，根据已知条件得到是等边三角形，求得，得到，求得，当时，连接，由勾股定理得到，由垂径定理得，当是过点的直径时，，于是得到结论．
【详解】解：连接，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
∵经过的中点P，
，
当时，连接，
，
，
当是过点的直径时，，
的长的取值范围是，
故答案为：．
7．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为12cm，而破损处的缺口两端点A，B之间的距离为6cm，则的长为_______cm．
【答案】
【分析】本题主要考查弧长计算公式，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，设圆心为O，过点O作于点C，连接，，先求出，得出，然后求出，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点C，连接，，如图所示：
∵，O为圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
8．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__．
【答案】10
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，设圆的半径长是r，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径的长．
【详解】解：设圆的半径长是r，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的直径．
故答案为：10．
9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D为上一点，连接并延长到点E，弦交于点H，连接交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆周角定理得出，根据直角三角形的性质以及等量代换求出，从而得出，即可得证；
（2）根据垂径定理以及圆周角定理得出，证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴（负值舍去）．
10．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径，在的延长线上，且与相切．平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】（1）连接，，先证，得点B在线段的垂直平分线上，再证点O在线段的垂直平分线上，从而有垂直平分线段，即可得解；
（2）连接，，先证，得，，从而求得，，，再利用勾股定理求得，，从而即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：
如下图，连接，，
∵四边形 内接于，
，
，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点B在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∴；
（2）解： 连接，，
∵与相切，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴的半径为．
1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则_____．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由圆周角定理可知，因为， 所以，因为，所以，则可求，则题目可解．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，先延长交圆O于点C，则由圆周角定理得，再分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：延长交圆O于点C，连接，如图所示：
∵扇形的圆心角为
∴圆心角，
根据圆周角定理得：，
当点在扇形内部延长线上时，则；
当点在扇形内部线段上时，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
3．（2025·江苏苏州·二模）如图，过外一点引的两条切线、，切点分别是、，交于点，点是优弧上不与点、点重合的一个动点，连接、，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，直角三角形的性质，由切线长定理得，，，所以，则，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，，
∵、是的切线，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2025·河南·一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在弧上，，则弧的长为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查垂径定理、圆周角定理、弧长公式，解题的关键在于根据网格确定圆心．先根据垂径定理，利用网格特点作和的垂直平分线，进而确定圆心和半径，然后根据圆周角定理求出弧所对的圆心角的度数．最后利用弧长公式计算弧的长度即可．
【详解】解：根据网格，作的垂直平分线交的垂直平分线于点，则点即为所在圆的圆心，连接，如图所示，
则半径，
∵，
∴，
∴的长．
故答案为：．
5．（2025·安徽淮南·一模）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为______．
【答案】/
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧长公式，根据垂径定理和等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：，
，
．
为的弦，，
，
∵，
∴的半径是2，
劣弧的长为．
故答案为：．
6．（2025·江西抚州·二模）如图，在菱形中，，A，C，D三点均在上，，垂足为E，且过圆心O．
(1)求证：是的切线；
(2)求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先根据菱形的性质证明，则，再根据平行线的性质得到，即，即可证明是的切线；
（2）先根据菱形得到，然后由垂径定理得到，则，故，，然后求出，最后解即可求解半径．
【详解】（1）证明：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴是的切线；
（2）解：∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，
∴的半径为．
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