重难点01 四边形的折叠问题（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测试+答案

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01 TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214369010" 深挖重难·固根基 PAGEREF _Tc214369010 \h 1
02 分 \l "_Tc214369011" 层锤炼·验成效18
重难点一 平行四边形的折叠问题
1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 表示方法：□ABCD
注意：定义既可以作为判定使用，也可以作为性质使用，具有双重作用。
2．平行四边形的性质:
（1）边：两组对边分别平行且相等．
（2）角：对角相等，邻角互补．
（3）对角线：互相平分．
（4）对称性：中心对称图形但不是轴对称图形．
3．平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．（简单记忆为：平分+平行得等腰）
（2）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（3）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
4. 平行四边形的判定方法
题型01平行四边形折叠产生的角度问题
【典例】（2025·广东广州·二模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2025·安徽合肥·一模）如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示）
题型02平行四边形折叠产生的线段问题
【典例】（2025·河南商丘·三模）如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，折痕为，且，则中边上的高是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2025·浙江宁波·一模）如图，在 中， ， 为对角线 的中点， 为 上一点，将 沿 所在的直线折叠，使点 和点 重合．若 ，则 的长为 ．
2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为 ．
题型03平行四边形折叠产生的面积问题
【典例】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则的面积为 ．
【变式】
1．（2025·吉林长春·三模）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为 ．
2．（2025·河北保定·一模）如图，平行四边形中，，，对角线，沿折叠，点落在上点处，折痕交于点，连接交于点．则的面积是 ．
题型04 平行四边形折叠产生的最值问题
【典例】（2025·河北唐山·二模）如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（ ）
A．B．C．2D．
【变式】
1．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为 ．
2．（2025·海南省直辖县级单位·二模）如图，平行四边形中，，点P为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点D的对应点为点Q，直线交于点M，当点Q在上时，的长为 ，当有最小值时，的长为 ．
重难点二 矩形的折叠问题
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质：
（1）边：对边平行且相等；邻边垂直；
（2）角：四个角都是直角；
（3）对角线：对角线相等且互相平分；
（4）整体：中心对称图形、轴对称图形；
3. 矩形的判定方法
题型01 矩形折叠产生的角度问题
【典例】（2025·广东广州·一模）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是
题型02 矩形折叠产生的线段问题
【典例】（2025·四川内江·模拟预测）如图，在长方形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，则的长为（ ）
A．3.8B．3.6C．3.5D．3.4
【变式】
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形为矩形，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山东临沂·二模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则的长为 ．
题型03 矩形折叠产生的最值问题
【典例】（2025·河南开封·二模）如图，矩形中，，，点是上一动点（不与、重合），连接，将沿折叠得，点在上，将沿折叠，使点恰好落在射线上，连接，则的最小值为
【变式】
1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在矩形中，，，为边上的动点，连结，，将沿折叠得，再将沿折叠得（与为对应点），当点落在内部（不包括的边）时，则长的取值范围是 ．
2．（2025·湖北黄石·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为 ．
重难点三 菱形的折叠问题
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：
（1）边：对边平行，四边相等；（2）角：对角相等，邻角互补；
（3）对角线：对角线互相垂直平分；（4）整体：中心对称图形，轴对称图形；
（5）面积=底×高=对角线乘积的一半．
3. 菱形的判定方法：
题型01 菱形折叠产生的线段问题
【典例】（2025·湖北·模拟预测）在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ．
【变式】
1．（2025·河南信阳·一模）如图，菱形的顶点在轴上，于点，将菱形沿所在的直线折叠，点的对应点为．连接，若，点的横坐标为，则点的坐标为 ．
2．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ．
题型02 菱形折叠产生的最值问题
【典例】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，且，，点，分别是线段，上的两个动点，连接，，，当的值最小时，线段的长为 ．
【变式】
1．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ．
2．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
重难点四 正方形的折叠问题
1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2.正方形的性质：
（1）边：四边都相等，邻边垂直；
（2）角：四个角都是直角；
（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分；
（4）整体：中心对称图形，轴对称图形（4条对称轴）。
3．正方形的判定：
题型01 正方形折叠产生的线段问题
【典例】（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ）
A．B．2C．D．
【变式】
1．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ．
2．（2025·贵州·二模）数学兴趣小组的同学在学习正方形时，将图形折叠到一些特殊的位置．如图①，正方形的边长为，是边上的一点，连接，将沿折叠至．
(1)如图②，当点的对应点恰好落在对角线上时，________；
(2)在（1）的条件下，求的长；
(3)如图③，当时，与对角线交于点，求的长．
题型02 正方形折叠产生的最值问题
【典例】（2025·广东深圳·二模）边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是（ ）
A．2B．C．D．
【变式】
1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ．
2．（2025·安徽合肥·三模）如图，正方形中，，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，过点P作，交于点Q．
（1）当点Q是中点时，长为 ；
（2）当最小时，长为 ．
1．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为，连接．若，，，则线段的长为（ ）
A．6B．C．D．
2．（2025·河北邢台·一模）如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点．
甲：当时，；
乙：当点落在射线上时，四边形是菱形；
丙：随点位置的变化，线段的最小值为2．
针对三人的说法，下列判断正确的是（ ）
A．只有乙对B．甲和丙都对C．乙对，丙错D．三人的说法都对
3．（2025·河北唐山·二模）如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（ ）
A．B．C．2D．
4．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则的面积为 ．
5．（2025·湖北·一模）如图，把一张平行四边形纸片按所示方法进行两次折叠，得到
（1）若，则 (用含α的代数式表示)；
（2）若，则的长度为 ．
6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为 ．
第6题第7题
7．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（ ）．
A．B．C．12D．5
8．（2025·天津河东·一模）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，连接交于点．下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
第8题第9题
9．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，，是的中点，是边上一动点，连接，，将沿折叠得到，连接．当取得最小值时，的长为 ．
1．（2025·山西临汾·二模）问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平行四边形纸片进行折叠变换后，发现结论并解决问题．
成果展示
(1)“爱心”小组：如图1，将平行四边形沿折叠，使点与点重合，折痕与，边分别交于点，，发现，请证明他们发现的结论；
(2)“希望”小组：如图2，，分别是，边上的动点，且，连接，将平行四边形沿折叠，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交，于点，，发现，请证明他们发现的结论；
(3)教师提问：在图1的基础上，连接与交于点，如图3所示，若，，，直接写出线段的长．
2．（2025·山东临沂·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点P是边上的一个动点．
【操作判断】
（1）如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为 ；的度数为 ．
【迁移探究】
（2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长；
（2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，请补全图形并求此时的长；
【综合应用】
（3）如图3，点Q在边上运动，始终满足，且，将沿PQ折叠，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长．
3．（2025·山东·一模）问题情境：在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点，分别是，边上的点，将菱形沿折叠．
猜想证明：（1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状；
问题解决：（2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上点处，若，，求线段的长；
（3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，的面积 ．
4．（2025·四川成都·二模）数学活动课上，同学们进行纸片折叠操作活动，具体过程如下：
(1)如图1，将正方形纸片沿折叠使点的对称点落在边上(不与两端点重合)，点的对称点为点，交于点．
①求证：；
②试探究线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．
(2)如图2，如果将正方形纸片换成矩形纸片继续探究，将矩形纸片按照（1）中方式操作，，，，求折叠后重叠部分的面积．
文字语言
图形语言
符号语言
方法1
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AD//BC,AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形
方法2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AD=BC,AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
方法3
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AD//BC,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
方法4
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵OA=OC,OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
/
/
/
/
判定方法
文字语言
图形语言
符号语言
方法1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形,
且
∴四边形ABCD是矩形
方法2
有三个角是直角的四边形是矩形
∵在四边形ABCD中，
，
∴四边形ABCD是矩形
方法3
对角线相等的平行四边形是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形,
且
∴四边形ABCD是矩形
/
/
/
判定方法
文字语言
图形语言
符号语言
方法1
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
方法2
四条边都相等的四边形是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
方法3
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∵AC//BD,AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是菱形
/
/
判定方法
文字语言
图形语言
符号语言
方法1
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形
在四边形ABCD中
∴四边形ABCD是正方形
方法2
一组邻边相等的矩形是正方形
∵四边形ABCD是矩形,AB=BC
∴四边形ABCD是正方形
方法3
一个角是直角的菱形是正方形
∵四边形ABCD是菱形,∠A=90°
∴四边形ABCD是正方形
/
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