专题03 全等和相似中的“一线三等角”模型（几何模型讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列+答案

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TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型1
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321768" 模型运用5
\l "_Tc18836" 10
名称由来：“一线三等角”模型并非由特定人物发明，是几何学习和研究中，人们对同一直线旁出现三个相等角这一典型几何图形结构的归纳与命名。该模型的形成源于对相似三角形判定场景的总结，在等腰三角形、矩形、坐标系等几何图形中，频繁出现“一线上有三个等角”的构型，且均能推导得出相似三角形，逐渐被提炼为固定的几何模型并广泛应用。
1.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点．
(1)观察猜想
如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________．
(2)类比探究
如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
(3)拓展应用
当，且时，若，请直接写出的值．
【基本模型】（三个等角的顶点共线相似特明显）
条件：∠ABC=∠ADE=∠ACB
结论：①△ABD∽△DCE
②若AB=DC，则△ABD≌△DCE
【分析】
①外角性质得到∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABC+∠BAD，结合条件∠ADE=∠ABC，可知∠BAD=∠EDC，即可得到结论.
②由AAS即可证到全等.
【模型演变】(由一般到特殊)
图（1）图（2）图（3）中三个等角分别为锐角、直角、钝角。
共性结论：①△ABD∽△DCE ②若AB=DC，则△ABD≌△DCE
【分析】证明方法同基本图形.其中，三个直角顶点共线是应用最广泛的模型，简称“一线三垂直”或“K形图”
【模型拓展】
（1）如图1，条件：三个直角在直线的同侧，且D为BC的中点，
结论：①△ABD∽△DCE ②AD、ED分别平分∠BAE、∠CEA;
（2）如图2，条件：三个直角在直线异侧，结论：△ABC∽△CDE.
【分析】（1）延长AD与EC的延长线交于点M，由D是BC中点可证D也是AM的中点，由∠ADE=90,可证△AEM是等腰三角形，所以DE平分∠AEM，同理AD平分∠BAE；
（2）证法同基本模型.
【模型总结】
“一线三等角”的图形变化丰富，最常见的是锐角的“一线三等角”，应用最广泛的是“一线三垂直”，无论哪一种都是通过“AA”证明两个三角形相似（或全等）.
题型1：运用模型证全等
题型2：运用模型证相似
题型3：作辅助线构造模型解题
题型4：模型在直角坐标系中的应用
例1（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1)线段的长为 ；
(2)当时，求的长；
(3)当点在边上时，求证：；
(4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．
例2（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
例3（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系．
(1)特例发现
先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：．
(2)类比探究
再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）．
(3)拓展运用
如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长．
例4（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
例5（2025·四川资阳·一模）【探究发现】
（1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明；
【灵活运用】
（2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长．
1．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，若，，则的长为（ ）
A．B．9C．D．4
2．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（ ）
A．14B．13C．12D．11
4．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ）
A．10B．8C．5D．4
5.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A．B．C．D．
7.（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，等边沿折叠，点的对应点恰好落在上(端点除外)．下列结论，一定立的是( )
A．B．
C．D．
8．（21-22八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为( )．
A．3B．4C．D．
9.（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，过点作交的延长线于点与交于点，若，则（）
A．B．C．D．
10.（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，，，的顶点在边上，且，，，则的长为（ ）
A．2B．C．1D．
11.（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值；
12.（21-22九年级上·吉林长春·期末）（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：．
（2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长．
（3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长．