第七章 随机变量及其分布（复习课件）-2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

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单元复习课件 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册·高二学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.通过复习，加深对条件概率的理解与掌握；理解条件概率与独立性的关系；能够熟练使用乘法公式、全概率公式计算概率；加深对离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）的理解与掌握；掌握二项分布及其数字特征，了解超几何分布及其均值，能解决简单的实际问题；了解正态分布的特征、均值与方差及其含义；3.条件概率意义的理解，全概率公式的应用;在实际问题中抽象模型的特征，识别二项分布与超几何分布，描述服从正态分布的随机变量的概率分布。 2. 条件概率，事件的独立性与条件概率的关系,概率的乘法公式与全概率公式；离散型随机变量分布列及其数字特征,二项分布,超几何分布，正态分布； 一、条件概率与全概率公式（一）条件概率1. 条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.一、条件概率与全概率公式（一）条件概率2.求条件概率有两种方法：方法一：公式法是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)；方法二：缩小样本空间法 是根据条件概率的直观意义, 增加了“A发生”的条件后, 样本空间缩小为A, 求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.注意：利用缩小样本空间求条件概率问题，应搞清楚是求哪个事件的样本点数. 在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的样本点个数；n(A)是指事件A发生的样本点个数．一、条件概率与全概率公式（一）条件概率4.概率的乘法公式3.条件概率与事件独立性的关系当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B).由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若P(A)>0，则一、条件概率与全概率公式（一）条件概率5.条件概率的性质： 条件概率只是缩小了样本空间, 因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)>0，则：一、条件概率与全概率公式（二）全概率公式1.全概率公式 2.全概率公式的使用条件②A1∪A2∪…∪An=Ω；①A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件；一、条件概率与全概率公式（二）全概率公式 ① 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,…,n)(Ai 互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2，,…,n)发生概率的总和。 ③可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”. ②每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起BAi(i=1,2,…,n)发生概率的总和，即全概率公式.3.对公式的理解：一、条件概率与全概率公式（二）全概率公式(1)设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因；(2)求概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai ))；(3)代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ).4.利用全概率公式求复杂事件概率的步骤：一、条件概率与全概率公式（二）全概率公式5.*贝叶斯公式： 设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai )>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有二、离散型随机变量及其分布列 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量，通常用字母X，Y，Z等表示．1.随机变量2.离散型随机变量所有取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.二、离散型随机变量及其分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi为X的概率分布列，简称分布列，也可以表格的形式表示如下：3.离散型随机变量的分布列4.离散型随机变量分布列的性质:二、离散型随机变量及其分布列5.两点分布我们称X服从两点分布或0 ￚ 1分布.（一）离散型随机变量的均值三、离散型随机变量的数字特征1.离散随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 则称 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.（一）离散型随机变量的均值三、离散型随机变量的数字特征则称 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.（一）离散型随机变量的均值三、离散型随机变量的数字特征2.离散随机变量的均值与方差的性质3.两点分布的均值与方差若随机变量X服从两点分布，且E(X=1)=p，E(X=0)=1ￚp.则（一）二项分布四、二项分布与超几何分布1.伯努利试验2.n重伯努利试验只包含两个可能结果的试验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验. n重伯努利试验具有如下共同特征:(1) 同一个伯努利试验重复做n次；(2) 各次试验的结果相互独立.(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生；(4)每次试验是在同样条件下进行的；（一）二项分布四、二项分布与超几何分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (00为参数. 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.五、正态分布2.正态曲线的特点(3) 当|x| 无限增大时，曲线无限接近 x 轴.(1) 曲线是单峰的，它关于直线 x=μ 对称；(4) x轴和曲线之间的区域的面积为1.3.正态分布的均值与方差五、正态分布4.3σ原则 假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值. 在实际应用中, 通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值, 这在统计学中称为3σ原则.【题型一】条件概率与全概率公式 (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； 【题型一】条件概率与全概率公式（2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. 【训练1】(1)某校高二年级要从5名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一人被选中的概率是__.   0.6 【题型二】离散型随机变量的分布列、均值和方差   【题型二】离散型随机变量的分布列、均值和方差 （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【题型二】离散型随机变量的分布列、均值和方差（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【题型二】离散型随机变量的分布列、均值和方差     【题型三】二项分布与超几何分布   【题型三】二项分布与超几何分布    【训练3】 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品.   【训练3】 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品. 【训练3】 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品.    （ii）抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率. 【题型四】正态分布【例4】 某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到频数分布表，并将人口数量在两万左右，且一天内产生的垃圾量超过28吨的社区确定为“超标”社区.【题型四】正态分布    【题型四】正态分布         一、利用条件概率的性质进行解题的策略方法归纳(1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).(2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．二、求离散型随机变量的分布列的步骤方法归纳(1)找出随机变量的所有可能取值；(2)求出每一个取值所对应的概率；(3)列表格．三、二项分布方法归纳1. 解决二项分布及其应用问题的一般步骤（1）根据题意设出随机变量;（2）分析随机变量是否服从二项分布;（3）若服从二项分布,则求出n和p的值（4）根据已知条件列出相关式子，并解决问题. 四、超几何分布的求解步骤方法归纳(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．五、正态分布利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5,0.997 3求解．感谢聆听!