第7章《随机变量及其分布》复习与小结课件PPT+练习

高中数学选择性必修三

第七章   随机变量及其分布--复习与小结

A基础练

一、选择题

1．甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为（    ）

A．0.32             B．0.18             C．0.50            D．0.0576

2．某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸(单位：)服从正态分布.甲､乙两名同学正进行尺寸测量练习.甲､乙对各自抽取的个零件测量零件内径尺寸(单位：)如下，甲同学测量数据：，，，，；乙同学测量数据：，，，，.则可以判断（    ）

A．甲､乙两个同学测量都正确 B．甲､乙两个同学测量都错误

C．甲同学测量正确，乙同学测量错误 D．甲同学测量错误，乙同学测量正确

3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，设此时盒中旧球个数为X，的值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知，随机变量的分布列如下，当增大时（    ）

A．增大，增大 B．减小，增大

C．增大，减小 D．碱小，减小

5．（多选题）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．（多选题）下列命题中，正确的命题有（    ）

A．已知随机变量服从二项分布，若，，则

B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为

二、填空题

7．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为___________．

8．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是________．

9．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）．

10．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则________（元）．

三、解答题

11．（2019·天津高考）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

12．（2021·全国高二专题练）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：

（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值（精确到0.1）；

（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.

（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望.

（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）

B提高练

一、选择题

1．甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的概率是80%，乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的概率是（    ）

A．50% B． C． D．

2．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．2

3．交通事故已成为世界性的严重社会问题，加强中小学生交通安全教育具有重要的现实意义.为此，某校举行了一场交通安全知识竞赛，一共有3道难度相当的必答题目，李明同学答对每道题目的概率都是0.6，则李明同学至少答对2道题的概率是（    ）

A．0.36 B．0.576 C．0.648 D．0.904

4．某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则（    ）

A． B．

C． D．

5．（多选题）中华人民共和国第十四届运动会将于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有（    ）

A．设事件：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则

B．设事件：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件：“抽取的3人中全是男志愿者”，则

C．用表示抽取的三人中女志愿者的人数，则

D．用表示抽取的三人中男志愿者的人数，则

6．（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ）

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

二、填空题

7. 伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会名男生和名女生骨干成员中选出人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的名队长都是男生”，则________.

8．遗爱湖国家湿地公园是黄冈市城市亮丽的名片．2021年元月份以来，来黄冈参观游览的游客络绎不绝，现通过对参观遗爱湖的游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩遗爱湖的概率都是，不游玩遗爱湖的概率都是，若不游玩遗爱湖记1分，继续游玩遗爱湖记2分，记已调查过的所有游客累计得分恰为n分的概率为，则＝_______．

9．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若，则的值是______

10．盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．

三、解答题

11．（2021·云南民族大学附属中学高二月考）某学校高一年级进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲、乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立.

（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；

（2）求甲获胜的概率；

（3）问：若将题干中的抢答五道题改为抢答三道题，先得两分者获胜，其余条件不变，则对甲更有利还是更不利?请说明理由.

12. 每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每箱内各有8个大小质地完全相同的球，甲箱内有3个红球，5个黄球，乙箱内有3个红球，4个黄球，1个黑球，摸奖环节安排在植树活动结束后，每位植树者植树每满25棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满40棵获得一次乙箱内摸奖机会，摸奖者每次摸两个球后放回原箱，摸得两个红球奖50元，两球颜色不同奖20元，摸得两黄球则没有奖金，为体现公平性，植树总数低于80棵的员工，只能选择甲、乙两个摸奖箱中的一个进行摸奖；植树总数不低于80棵的员工，可自由搭配甲、乙两箱内的摸奖次数．

（1）经统计，该公司此次植树活动共有200名员工参加，且植树棵数近似服从正态分布，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；

（2）某位植树者获得一次甲箱内摸奖机会，设中奖金额为随机变量（单位：元），求的分布列；

（3）某人植树90棵，有三种摸奖方法，方法一：甲箱内摸奖三次；方法二：乙箱内摸奖两次；方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次．请问：这位植树者选哪种方法所得奖金的期望值最大．

附：若，则，．

同步练习答案

A基础练

一、选择题

1．【答案】D

【详解】甲命中一次的概率为×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P＝0.32×0.18＝0.0576.故选：D.

2．【答案】C

【详解】，，即；

甲同学测量的数据均落在之间，测量数据正确；乙同学测量的数据中有两个数据落在之外，即小概率事件发生，知其测量错误.故选：C.

3．【答案】A

【详解】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数，即旧球的个数增加了2个，所以，取出的3个球必为2个新球1个旧球，

所以，.故选：A.

4．【答案】B

【详解】，当增大时，减小，

，

在上随的增大而增大，故选：B．

5．【答案】ABC

【详解】,故A正确；，故B正确；

，故C正确；

，，，故D错误.

故选: ABC

6．【答案】BCD

【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以A错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B正确；由正态分布的图象的对称性可得，所以C正确；甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率，故D正确.

二、填空题

7．【答案】

【详解】设事件A：第一个路口遇到红灯，事件B：第二个路口遇到红灯，

则，，.

8．【答案】

【详解】在一轮投篮中，甲通过的概率为 ，未通过的概率为.

甲3个轮次通过的次数X服从二项分布X～，

由二项分布的期望公式，得E(X)＝3×＝

9．【答案】0.9744

【详解】解：由题意知本题分情况讨论：若共有3人被治愈，则；

若共有4人被治愈，则，至少有3人被治愈概率．

10．【答案】

【解析】赌金的分布列为

所以

奖金的分布列为

 所以

三、解答题

11．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，故，从面.

所以，随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望.

(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.

且.

由题意知事件与互斥，

且事件与，事件与均相互独立，

从而由(Ⅰ)知：

.

12．【答案】(1)22.8；(2)51；（3）分布列见解析，

【详解】（1）由频数分布表得：

，

所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨；

（2）由（1）知，，，

，

，

所以这320个社区中“超标”社区的个数为51；

（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以的可能取值为1，2，3，4，且，，，，

所以的分布列为：

．

B提高练

一、选择题

1．【答案】C

【详解】解：记明天下雨为事件，后天下雨为事件，依题意可得，，所以故选：C

2．【答案】B

【详解】因为随机变量服从正态分布，，

根据正态分布的特征，可得，解得.故选：B．

3．【答案】C

【详解】解法一：3道题中至少答对2道题有答对2道和答对3题这两种情况，则3道题中至少答对2道题的概率为.

解法二：设3道题中至少答对2道题为事件，则.故选：C.

4．【答案】C

【详解】赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量的可能值为2或3，

，A错；

，B错；

，

因为，所以，C正确；

记，，

，

，

因为，所以，D错．故选：C．

5．【答案】ABD

【详解】对A，所有可能的情况有种，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有种，故，故A正确；

对B，，，

所以，故B正确；

对C，可得的可能取值为0，1，2，3，

则，，，，

所以，故C错误.

对D，可得的可能取值为0，1，2，3，

则，，，，

则，，

则，故D正确.故选：ABD.

6．【答案】AC

【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，

所以，

当时，，

当时，，

两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则

，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.

由于，所以，所以，

所以，所以，所以D选项错误.故选：AC

二、填空题

7.【答案】

【详解】由题意得,

则.

8．【答案】

【详解】表示累计得4分，包含以下三种情况：调查2人都继续游玩遗爱湖，或者调查4人都不游玩遗爱湖，或者调查3人，其中1人继续游玩遗爱湖，2人都不游玩遗爱湖.

故．

9．【答案】5

【详解】a，b，c成等差数列，,又,且,

联立以上三式解得:,

,

则,

10．【答案】；   

【详解】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以，随机变量，

，

，所以.

三、解答题

11．【答案】（1）；（2）；（3）对甲更有利，理由见解析.

【详解】解：（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件.

发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，

∴，

∴比赛开始，甲率先得一分的概率为.

（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为，，

设两人共抢答了道题比赛结束，且甲获胜.

根据比赛规则，的所有可能取值分别为3，4，5，

则，

，

，

则甲获胜的概率.

（3）由（1）（2）知改变规则后甲获胜的概率

，

而，

即此时甲获胜的概率更大了，对甲更有利.

12．【答案】（1）68人；（2）答案见解析；（3）选方法三所得奖金的期望值最大．

【详解】解：（1）由题意知，，

所以，

估计植树的棵树在区间内的人数是68人．

（2）随机变量的所有可能取值为0，20，50，

则，，，

所以的分布列为：

（3）方法一：甲箱内摸奖三次，

由（2）得E，

所以，即方法一所得奖金的数学期望是．

方法二：乙箱内摸奖两次，

在乙箱中摸奖一次，设中奖金额为随机变量，则随机变量的所有可能取值为0，20，50，

则，，，

所以的分布列为：

所以，

所以，即方法二所得奖金的数学期望是．

方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次．

，即方法三所得奖金的数学期望是，

因为，所以选方法三所得奖金的期望值最大．