河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题（含答案解析），共7页。试卷主要包含了填空题，解答题，多选题，单选题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 已知棱长为的正四面体的外接球球心为，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角的正弦值为___________.
2. 在中，内角所对的边分别为，若，则

（1）___________；
（2）若，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，则面积的最大值为___________．
二、解答题
3. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：
根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字）

(1)请求出加工时间关于零件数的经验回归方程；
(2)该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断：
（ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟）
（ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？
附：参考数据：，，，.
对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，.
4. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5. 如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求线段的长（用表示）；
(3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
6. 已知椭圆经过点，左、右焦点分别为，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点.
（ⅰ）求证：四边形的面积为定值；
（ⅱ）求面积的最大值.
7. 已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围；
(3)设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
三、填空题
8. 的展开式中项的系数是______．
四、多选题
9. 已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，，满足，下列结论中正确的有（ ）
10. 下列命题中正确的是（ ）
11. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ）
五、单选题
12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
13. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ）
14. 已知函数在上单调递增，且其图象关于直线对称，则（ ）
15. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ）
16. 已知圆的直径，动点与的距离是它与的距离的倍，当面积最大时，（ ）
17. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为
18. 已知集合，，则（ ）
19. 设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
零件数/个
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间/分
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
A．若，则的最小值为4
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最小值为16
A．一组数据，，，，，，，，的分位数为
B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
C．在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为
D．若随机变量，且，则
A．
B．数列是等比数列
C．
D．
A．
B．
C．2
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．16
B．32
C．48
D．64
A．或5
B．或5
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．