河南省南阳市2026届高三上学期1月期终质量评估数学试题（含答案解析）

这是一份河南省南阳市2026届高三上学期1月期终质量评估数学试题（含答案解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知，则“”是“”的（ ）
3. 已知m、n是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ）
4. 任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ）
5. 若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
6. 从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人且至少有1名男生，则不同的选取方法有（ ）
7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为上一点，且，，则的最大值是（ ）
8. 已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且，，设C的两条渐近线的夹角为，则（ ）
二、多选题
9. 进入12月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大.现记录了12月上旬（1日-10日）我市的日最高气温如下（单位：℃）：13，8，9，11，12，12，18，16，13，15，则下列说法正确的是（ ）
10. 定义域为的函数满足：①，②的图象过点，则（ ）
11. 如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个石球，两个石球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（ ）

三、填空题
12. 设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则_____.
13. 已知点P在椭圆上，点Q在圆上，，则的最大值是______.
14. 已知函数，若，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则的取值范围是______.
四、解答题
15. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.
(1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？
单位：人
(2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.
参考公式与数据：，其中.
16. 已知等比数列的前项和为，且，令，由，构成的阶数阵如图所示.
(1)求m的值及的通项公式；
(2)求该数阵中所有项的和.
17. 如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.

(1)若为的中点，证明：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.
18. 在平面直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大1，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C上位于y轴两侧的任意两点为A，B，过点A，B分别作曲线C的切线，，且与交于点，直线与和分别交于点M，N，求面积的最小值.
19. 已知函数，当时，恒成立.
(1)求实数a的取值范围；
(2)若函数，当实数取最小值时，求使得关于x的不等式恒成立的最大整数；
(3)已知，证明：.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．或
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．72
B．96
C．108
D．114
A．
B．
C．6
D．
A．
B．
C．
D．
A．12月上旬我市日最高气温的极差为10℃
B．12月上旬我市日最高气温的平均数为12.7℃
C．2日-10日我市日最高气温持续上升
D．12月上旬我市日最高气温的分位数为13℃
A．
B．为偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．
A．两石球半径之和为定值
B．当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
C．两石球体积之和的最大值是
D．平面截正方体所得截面面积的取值范围是
每周的锻炼时间
短跑成绩
合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时
每周的锻炼时间不超过5小时
合计
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828