河南省南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高三上学期1月期末检测数学试题（含答案解析）

这是一份河南省南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高三上学期1月期末检测数学试题（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，若，的方差为，则（ ）
2. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ）

3. 若复数满足（是虚数单位），则（ ）
4. 已知函数同时满足：
①定义域内任意实数x，都有；
②对于定义域内任意，，当时，恒有；
若恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
5. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（）
6. 在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（ ）
7. 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（ ）
8. 已知且满足，则下列结论正确的有（ ）
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
10. 已知正项数列满足为数列的前项和，则（ ）
11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，是上三点，且的重心为，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题
12. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________.
13. 箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是__________.
14. 已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________
四、解答题
15. 已知，，．
(1)当时，研究的单调性和极值．
(2)是否存在实数，使的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
16. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.
17. 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和．
18. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.
(1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求；
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）.
（i）请用表示；
（ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高.
19. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，平面．

(1)求证：；
(2)若平面与平面ABC的夹角的正弦值为，且，求到平面ABC的距离．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
A．
B．
C．
D．
A．
B．1
C．
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．5
B．4
C．3
D．2
A．
B．
C．
D．
A．的最大值为
B．的最小值为2e
C．的最大值为
D．的最小值为2e
A．函数（且）的图像恒过定点
B．若函数满足，则函数的图象关于点对称
C．当时，函数的最小值为
D．函数的单调增区间为
A．数列为递增数列
B．
C．
D．
A．的方程为
B．到的两条渐近线的距离之积为
C．若直线的斜率之积为，则关于原点对称
D．若直线过点，且在轴两侧，则的取值范围是