河南南阳市镇平县镇平县第一高级中学2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题含答案

这是一份河南南阳市镇平县镇平县第一高级中学2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题含答案，共20页。
1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号, 试室号, 座位号填写在答题卡上. 用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上: 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案, 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题: (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个 选项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上)
1. 已知 fx 是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时, fx=x2 ,则满足 fx−1≥4fx 的实数 x 的取值范围是( )
A. (−∞,−1] B. −1,13 C. −∞,−13 D. 1,2
2. 已知非空集合 A={x∣1≤x≤m,m∈R},B={x∣1≤x≤4} ,若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为( )
A. 1,4 B. [1,4) C. [4,+∞) D. 4,+∞
3. 复数 z=7−i2−i 的虚部为( )
A. 1 B. -1 C. i D. -i
4. 已知数列 an 满足 al>0 ,且 an+l=nn+1an ,则数列 an 最大项是( )
A. a1 B. a9
C. a10 D. 不存在
5. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,00 的左、右焦点分别是 F1−c,0,F2c,0 ,直线 1: ax+by−ac=0 与两条渐近线交于 A,B 两点，若 BF2=2AF2 ，则 C 的离心率可能是 ( )
A. 2 B. 2
C. 263 D. 233
三、填空题:(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分)
12. 已知三棱锥 P−ABC 中, PA⊥ 平面 ABC,△ABC 是边长为 3 的等边三角形,若此三棱锥外接球的体积为 323π ，那么三棱锥 P−ABC 的体积为_____.
13. 设 fx,gx 是定义在 R 上的两个周期函数， fx 的周期为 4,gx 的周期为 2, 且 fx 是奇函数. 当 x∈0,2 时, fx=1−x−12 , gx=kx+2,00,b>0 的离心率为 2 ，且点 6,2 在双曲线上
(1)求 C 的方程；
(2)设点 A 为 C 的左顶点，若过点 4,0 的直线 l 与 C 的右支交于 P,Q 两点. 证明:直线 AP 和直线 AQ 的斜率乘积为定值.
17. 如图,已知 PA⊥ 平面 ABCD , ABCD 为矩形, PA=AD=AB=2,M,N 分别为线段 AB,PC 的中点.

(1)求证: MN// 平面 PAD ；
(2)求 PD 与平面 PMC 所成角的正弦值.
(3)若 Q 是线段 PB 的中点,求点 Q 到平面 PMC 的距离.
18. 已知函数 fx=eax−lnx+1a>0 .
(1)当 a=1 时，讨论 fx 的单调性;
(2)已知 Ax1,y1 ， Bx2,y2 为曲线 y=fx 上任意两点，且 A ， B 关于点 0,b 对称.
(i) 求 b 的取值范围;
(ii) 若 x1−x2y1−y2≤0 ,求 a 的取值范围.
19. 已知对任意平面向量 AB=x,y ，把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转 θ 角得到向量 AF=xcsθ−ysinθ,xsinθ+ycsθ ,叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 θ 角得到点 F . 已知平面内点 A1,−2 ,点 B1+2,22−2 ,把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 π4 后得到点 F . (1)求点 F 的坐标；
( 2 )抛物线 W 的顶点为坐标原点 O ，焦点为 F ，过点 D0,−1 的直线 l 交抛物线 W 于 M ， N 两点.
(i) 当直线 l 的方向向量是 a=4,5 时,求经过 M,N,A 三点的圆的圆心 T 的坐标;
(ii) 点 E−1,1 不在直线 l 上,直线 ME 交抛物线 W 于另一点 Q ,求证: 直线 NQ 过定点.
1. A
因为 fx 是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时, fx=x2 ,
则 fx 在 [0,+∞) 内单调递增,可知 fx 在 (−∞,0] 内单调递增,
所以 fx 在 R 上为增函数,
若 x0 ,可得 fx=−f−x=−−x2=−x2 ,
所以 fx=x2,x≥0−x2,x0
又 ∵an+1an=nn+10 ,所以 F′t>0 ,
所以 Ft 在区间 0,1 上单调递增,所以 2b>F0=2 ,即 b>1 .
下面证明 b∈1,+∞ ,即证 ∀b∈1,+∞,Ft=2b 有解,
记 Gt=Ft−2b ,则 G0=2−2b−ln1−1−e−2b−2b=0 ,
所以 ∃t2∈0,t1 ,使得 Gt2=0 ,所以 b∈1,+∞ .
(ii) 由题意可得 2tft−f−t≤0 ,即 ft−f−t≤0 .
记 ht=ft−f−t=eat−e−at−ln1+t1−t, h0=0 ,
则 h′t=aeat+e−at−21−t2,h′0=2a−2 .
记 mt=et−t−10t+1 ,即 e−t>1−t ,即 et