2025-2026学年河南省南阳市镇平第一高级中学高三（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年河南省南阳市镇平第一高级中学高三（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为s12，若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为s22，则( )
A. s12>s22B. s12=s22
C. s120；
若f(1+2sin2x−sin2x)+f(a)0，b>0且满足a+lna=e2+2b−blnbb，则下列结论正确的有( )
A. a−b的最大值为e2−1eB. a+b的最小值为2e
C. ba的最大值为e2D. a2+b2的最小值为2e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)=ax−1−2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,−2)
B. 若函数g(x)满足g(−x)+g(x)=6，则函数g(x)的图象关于点(0,3)对称
C. 当x>0时，函数y=x+3x+1−1的最小值为2 3−1
D. 函数g(x)=(12) −x2−x+2的单调增区间为[−12,1]
10.已知正项数列{an}满足0(12)n−1D. Sn>nn+1
11.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，双曲线E的一条渐近线的倾斜角为π3，A，B，C是E上三点，且△ABC的重心为T(t,0)，则下列说法正确的是( )
A. E的方程为x2−y23=1
B. A到E的两条渐近线的距离之积为32
C. 若直线AB，AC的斜率之积为3，则B，C关于原点对称
D. 若直线BC过点F2，且B，C在y轴两侧，则t的取值范围是(−∞,−13)∪(13,23)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，若 3|OA|=2|OB|，则E的离心率为 ．
13.箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，3.甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是 ．
14.已知a，b∈R，若直线y=3x+a是曲线f(x)=ex+2x−b与曲线g(x)=x+2lnx的公切线，则a+b= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax−lnx，x∈(0,e]，a∈R．
(Ⅰ)当a=1时，讨论f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
(Ⅱ)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
16.(本小题15分)
已知椭圆C的两个焦点F1(−2,0)，F2(2,0)，过F1点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，△MNF2的周长等于16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P(−8,0)的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．
17.(本小题15分)
已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，S2，S3+1，S5−3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令{bnan}是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k−1(k∈N∗)个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(00,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，
得|F1F2|=4=2 a2+b2，ba=tanπ3= 3，解得a=1，b= 3，
因此E的方程为x2−y23=1，故A选项正确；
E的两条渐近线的方程为y=± 3x，即 3x±y=0，
设A(x0,y0)，则x02−y023=1，
因此A到E的两条渐近线的距离之积为| 3x0−y0| 3+1⋅| 3x0+y0| 3+1=|3x02−y02|4=34，故B选项错误；
设A(x0,y0)，B(x1,y1)，则B关于原点的对称点D(−x1,−y1)也在E上，
又AB，AD的斜率之积为y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=y02−y12x02−x12，
又A，B在E上，有x02−y023=1，x12−y123=1，因此y02−y12x02−x12=y02−y12(1+y023)−(1+y123)=3，
即AB，AD的斜率之积为3，
又直线AB，AC的斜率之积为3，A，B，C，D都在E上，因此C，D重合，
即B，C关于原点对称，故C选项正确；
因为F2(2,0)，直线BC过点F2，设A(x0,y0)，B(x1,y1)，C(x2,y2)，
直线BC的方程为x=my+2，由x=my+2x2−y23=1，得(3m2−1)y2+12my+9=0，
Δ=36(m2+1)>0，因此y1+y2=−12m3m2−1，y1y2=93m2−1，
x1+x2=m(y1+y2)+4=−43m2−1，x1x2=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=−3m2−43m2−1，
因为B，C在y轴两侧，则其横坐标异号，即x1x20可知3m2−1>0，因此m2>13，
因为△ABC的重心为T(t,0)，因此x0=3t−(x1+x2)=3t+43m2−1，y0=−(y1+y2)=12m3m2−1，
又A在E上，因此(3t+43m2−1)2−(12m3m2−1)23=1，
化简得3t2+8t3m2−1−m2+53m2−1=0，因此m2=3t2−8t+59t2−1>13，即(3t−2)(3t+1)(3t−1)