镇平县第一高级中学2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试卷(含答案)

这是一份镇平县第一高级中学2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知幂函数的图象关于原点对称,且在上是减函数,若,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知函数,若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,若关于x的方程在上有且仅有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．已知函数,若对任意的实数x,恒有成立,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
4．将函数的图象向左平移后得到函数的图象,则的图象的一个对称中心为( )
A.B.C.D.
5．已知函数,若在上恒成立,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．线上支付已成为当今社会主要的支付方式,为了解某校学生12月份A,B两种支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下：
从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,两人支付金额均多于500元的概率是( )
A.B.C.D.
7．已知函数的大致图象如下,下列选项中e为自然对数的底数,则函数的解析式可能为( )
A.B.C.D.
8．若则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则下列结论正确的有( )
A.为奇函数B.是以为周期的函数
C.的图象关于直线对称D.时,的最大值为
10．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的,且满足以下条件：①,;②,当时,;③.则下列选项成立的是( )
A.
B.若,则
C.若,则
D.,,使得
11．已知,关于函数的零点,下列说法正确的是( )
A.函数有1个零点
B.函数有2个零点
C.函数有一个零点在区间内
D.函数有一个零点在区间内
12．已知定义在的函数满足：当时，恒有，则( )
A.
B.函数在区间为增函数
C.函数在区间为增函数
D.
三、填空题
13．已知,,且,则的最大值为______________.
14．已知定义域为R的奇函数,当时,,若当时,的最大值为,则m的最小值为______________.
15．定义域为D的函数,如果对于区间I内（）的任意三个数,,,当时,有,那么称此函数为区间I上的“递进函数”,若函数是区间为“递进函数”,则实数a的取值范围是_____________.
16．函数,方程有3个实数解,则k的取值范围为____________.
四、解答题
17．回答下列问题.
(1)已知,,求的值;
(2)已知,求的值.
18．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值;
(2)求当为偶函数时的值;
(3)若的图象过点,求的单调递增区间.
19．设全集,集合,集合,其中.
(1)当时,求;
(2)若是的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
20．已知是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值,指出的单调性（单调性无需证明）;
（2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到,求函数的值域;
（3）若存在区间,使得函数在上的值域为,求t的取值范围．
21．后疫情时代,全民健康观念发生很大改变.越来越多人注重通过摄入充足的水果,补充维生素C,提高自身免疫力.郑州某地区适应社会需求,利用当地的地理优势,发展种植某种富含维生素C的珍稀果树.经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克,其他人工投入成本合计元.若这种水果的市场售价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式;
(2)当单株施用肥料为多少千克时,该果树的单株利润最大,并求出最大利润.
22．为响应“湘商回归,返乡创业”的号召,某企业回永州投资特色农业,为了实现既定销售利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:按销售利润进行奖励,总奖金额y(单位:万元)关于销售利润x(单位:万元)的函数的图象接近如图所示,现有以下三个函数模型供企业选择:①
②
③
（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由;
（2）根据你在（1）中选择的函数模型,如果总奖金不少于6万元,则至少应完成销售利润多少万元?
参考答案
1．答案：B
解析：幂函数的图象关于原点对称,且在上是减函数,
所以,解得,
因为,所以或,
当时,,图象关于y轴对称,不满足题意;
当时,,图象关于原点对称,满足题意,
不等式化为,
,
因为函数在上递减,
所以,
解这个不等式,得,
即实数a的取值范围是,
故选：B.
2．答案：B
解析：将函数向左平移个单位长度后得到函数,
即,
,,
在上有且仅有两个不相等的实根,
,解得,
即实数的取值范围是,
故选：B.
3．答案：C
解析：令,
由于,
所以得为奇函数.
又因为在上单调递减,所以在上单调递减.
已知对于任意的实数x,恒有,
整理得：,
即,由于为奇函数,
得,由于在上单调递减,
得对于任意的实数x恒成立,
即对于任意的实数x恒成立.
当时,不恒成立,故,
当时,有,解得.
故选：C.
4．答案：D
解析：将函数的图象向左平移后得到函数.
令,,则,
所以所得图象的对称中心为,
当时,一个对称中心为.
故选：D.
5．答案：C
解析：当时,,故,
即,由随增大而增大,故,
当时,恒成立。
当时,,故,
即,由随增大而增大,故,
当时,,故,
即,由随增大而减小,故,
即,
综上所述,.
故选：C.
6．答案：D
解析：由表格数据可知,仅使用A的有30人,其中支付金额多于500元的有10人,
仅使用B的有20人,其中支付金额多于500元的有10人,
则仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,两人支付金额均多于500元的概率.
故选：D.
7．答案：D
解析：由图可知,函数为奇函数.
对于A选项,函数的定义域为R,,
函数不是奇函数,排除A选项;
对于B选项,函数的定义域为R,,
函数不是奇函数,排除B选项;
对于C选项,由可得,即函数的定义域为,
,函数为奇函数,,
C选项不满足要求;
对于D选项,由可得,即函数的定义域为,
,函数为奇函数,
当时,,满足题意.
故选：D.
8．答案：A
解析：因为,
所以,
又,,
所以.
故选：A.
9．答案：AD
解析：对于A,的定义域为（关于原点对称）,且,
对于B,,故B错误;
对于C,,
,
但,即的图象不关于直线对称,故C错误;
对于D,时,均单调递增,所以此时也单调递增,
所以时,单调递增,其最大值为.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：由,得：函数是R上的偶函数,
由,,,得：在上单调递增,
对于A,,A正确;
对于B,,又函数的图象是连续不断的,
则有,解得,B不正确;
对于C,由及得,,解得或,
由得：,解得,
化为：或,解得或,即,C正确;
对于D,因R上的偶函数的图象连续不断,且在上单调递增,
因此,,,取实数m,使得,则,,D正确.
故选：ACD
11．答案：BC
解析：因为均在上单调递增,
所以在上单调递增,
当时,,当时,,
所以的值域为R,
又因为,令,
所以或,
当时,此方程有1个解记为,
当时,此方程有1个解记为,
所以有2个解,所以有2个零点,故A错误,B正确;
令,显然上单调递增,
又,
,
所以
所以的唯一零点在内,所以;
令,显然在上单调递增,
又,
,
所以,
所以的唯一零点在内,所以,
由上可知,C正确,D错误;
故选：BC.
12．答案：ABD
解析：依题意，当时，恒有，
令，，则，，，
所以A选项正确.
不妨设，
设，，
由于，所以，
所以，，
所以在为增函数，所以B选项正确.
设，的符号无法判断，
所以的单调性无法判断，所以C选项错误.
由上述分析可知，函数在为增函数，
所以，
所以，，
同理，
所以，，
所以
，所以D选项正确.
故选：ABD
13．答案：
解析：,
由,故,
则
,
当且仅当,即、时,等号成立,
则.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为是定义域为R的奇函数,
当时,的最大值为,
则时,最小值为,
又当时,,
当时,,
当时,,单调递减,
又当时,,
故则时,最小值为,
必有,
则,
故的最小值为,
故答案为：.
15．答案：
解析：因为函数是区间为“递进函数”,
所以的递增区间为,
令,则在上恒成立,
即在上恒成立,
所以,
故答案为：.
16．答案：
解析：方程有3个实数解,等价于函数的图象与直线有3个公共点,
因当时,在上单调递减,在上单调递增,,,
当时,单调递增,取一切实数,
在同一坐标系内作出函数的图象及直线,如图：
由图象可知,当时,函数的图象及直线有3个公共点,方程有3个解,
所以k的取值范围为.
故答案为：
17．答案：(1)
(2)
解析：(2)因为且,所以,则,
又由.
(2)由,
可得,
又由.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)函数的最小正周期为,
则,解得.
(2)为偶函数,则有,
又,得.
(3)的图象过点,,,,
所以,得,.
,解得,
的单调递增区间.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由得：,解得：,
则,;
当时,,解得,
则;.
(2)由(2)知：;由,
解得：,即,
因为是的必要不充分条件,是A的真子集,
且等号不会同时取到,解得,
即实数a的取值范围为.
20．答案：（1）,在R上单调递增,
（2）
（3）
解析：（1）因为是定义在R上的奇函数,
所以,即,
所以,即,
所以,整理得,得,
所以,
所以在R上单调递增;
（2）由（1）得,
,
因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到,
所以,所以,
因为,所以,
所以,所以,
所以函数的值域为;
（3）由（1）得,
令,则在R上递增,
因为函数在上的值域为,
所以,所以,
因为,
所以关于x的方程有两个不相等的正实根,
所以,解得,
即t的取值范围为．
21．答案：(1)
(2)当施用肥料为4千克时,种植该果树获得的最大利润是480元
解析：(1)由题可知
,
.
(2)由(1)得
,
当时,;
当时,;
（当且仅当时,即时等号成立）
因为,所以当时,,
所以当施用肥料为4千克时,种植该果树获得的最大利润是480元.
22．答案：（1）③,理由见解析
（2）72万元
解析:（1）对于模型①,,图象为直线,故①错误,
由图可知,该函数的增长速度较慢,
对于模型②,指数型的函数是爆炸型增长,故②错误,
对于模型③,对数型的函数增长速度较慢,符合题意,故选项模型③,
（2）由（1）可知,选项模型③,所求函数过点,,
则,解得,,
故所求函数为,
,即,
,
,
至少应完成销售利润72万元.
支付金额（元）
支付方式
大于1000
仅使用A
20人
8人
2人
仅使用B
10人
6人
4人