2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题2.1函数的概念(学生版+解析)

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\l "_Tc22243" 【题型1 函数的概念】 PAGEREF _Tc22243 \h 2
\l "_Tc1700" 【题型2 同一函数的判断】 PAGEREF _Tc1700 \h 3
\l "_Tc3016" 【题型3 具体函数的定义域的求解】 PAGEREF _Tc3016 \h 4
\l "_Tc24342" 【题型4 抽象函数的定义域的求解】 PAGEREF _Tc24342 \h 4
\l "_Tc7468" 【题型5 函数值域的求解】 PAGEREF _Tc7468 \h 5
\l "_Tc23127" 【题型6 已知函数定义域、值域求参数】 PAGEREF _Tc23127 \h 5
\l "_Tc7743" 【题型7 已知函数类型求解析式】 PAGEREF _Tc7743 \h 6
\l "_Tc31546" 【题型8 已知f(g(x))求解析式】 PAGEREF _Tc31546 \h 6
\l "_Tc22882" 【题型9 分段函数及其应用】 PAGEREF _Tc22882 \h 7
1、函数的概念
知识点1 函数的定义域、值域的求法
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
3．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
知识点2 函数解析式的四种求法
1．函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
知识点3 分段函数的应用
1．分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
【题型1 函数的概念】
【例1】（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数y=fx图象的是（ ）

A．①②B．②③C．②④D．①③
【变式1-1】（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（ ）
A．A=R,B=y∣y≥0,f:x→y=xB．A=R,B=y∣y>0,f:x→y=|x|
C．A=x∣x≥0,B=R,f:x→y2=xD．A=R,B=1,f:x→y=1
【变式1-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若函数y=f(x) 的定义域为M＝{x|−2≤x≤2} ，值域为N＝y|0≤y≤2 ，则函数y=f(x)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 同一函数的判断】
【例2】（2025·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f(x)=x(x2+1)x2+1，g(x)=xB．f(x)=x，g(x)=x2
C．f(x)=1，g(x)=x∘D．f(x)=x，g(x)=x2x
【变式2-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．f(x)=1,g(x)=x0B．f(x)=3x3,g(x)=(3x)3
C．f(x)=x+1,g(x)=x2−1x−1D．f(x)=x2,g(x)=(x)2
【变式2-2】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① fx=x2x,gx=x2；② fx=x3+xx2+1,gx=3x3；③fx=x2−2x+1,gt=(t−1)2； ④fx=1,gx=(x+1)0；其中表示同一函数的是（ ）
A．②④B．②③C．①③D．③④
【变式2-3】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A．fx=1x,gx=1x2B．fx=x,gx=x,x≥0−x,x0
【变式5-3】（2025·北京·高考真题）已知函数f(x)的定义域为D，则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得fx0>M”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【题型6 已知函数定义域、值域求参数】
【例6】（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数fx=1kx2+kx+1的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A．(0,4)B．(0,4]C．0,4D．k4
【变式6-1】（25-26高一上·全国·课后作业）函数y=3xkx2+2kx+1的定义域为R，则实数k的取值范围为（ ）
A．−∞,0∪1,+∞ B．−∞,0∪1,+∞ C．0,1 D．0,1
【变式6-2】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数fx=x2−4x+3在m,n上的值域为0,1，则n−m的取值范围是（ ）
A．1,2B．2−1,2C．1,22D．2−1,22
【变式6-3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数fx=1a−1x2+a−1x+2的定义域是R，则a的取值范围是（ ）
A．1,9B．1,8C．1,9D．1,8
【题型7 已知函数类型求解析式】
【例7】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数fx是二次函数，满足f0=2，fx+2−fx=4x，则fx=（ ）
A．x2+x+2B．x2−2x+2C．x2−x+2D．x2+2x+2
【变式7-1】（24-25高一上·天津·期中）已知函数fx=kx+b为一次函数，且f(2)=−1,f(4)=3，则f−1=（ ）
A．3B．−3C．−7D．7
【变式7-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)−2x]=3，则f(5)=（ ）
A．11B．9C．7D．5
【变式7-3】（24-25高一上·全国·课后作业）图象是以1,3为顶点且过原点的二次函数fx的解析式为（ ）
A．fx=−3x2+6xB．fx=−2x2+4x
C．fx=3x2−6xD．fx=2x2−4x
【题型8 已知f(g(x))求解析式】
【例8】（2025·重庆·模拟预测）已知函数f1−x=1−x2x2x≠0，则fx=（ ）
A．1x−12−1x≠0B．1x−12−1x≠1
C．4x−12−1x≠0D．4x−12−1x≠1
【变式8-1】（2025·辽宁沈阳·二模）已知fx−1=ex，则f2=（ ）
A．eB．2eC．e2D．e3
【变式8-2】（24-25高一上·湖南衡阳·期中）函数fx满足若fgx=9x+3，gx=3x+1，则fx=（ ）
A．fx=3xB．fx=3
C．fx=27x+10D．fx=27x+12
【变式8-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数fx−2=x−4x+5，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=x2+1(x≥0)B．f(x)=x2+1(x≥−2)
C．f(x)=x2(x≥0)D．f(x)=x2(x≥−2)
【题型9 分段函数及其应用】
【例9】（2025·吉林长春·三模）已知函数f(x)=2x,x>0f(x+2),x≤0，则f−3=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【变式9-1】（2025·江西上饶·一模）设fx=x,0