2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题2.8函数模型及其应用(学生版+解析)

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\l "_Tc32495" 【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】 PAGEREF _Tc32495 \h 2
\l "_Tc15432" 【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】 PAGEREF _Tc15432 \h 4
\l "_Tc25178" 【题型3 二次函数模型的应用】 PAGEREF _Tc25178 \h 5
\l "_Tc29247" 【题型4 分段函数模型的应用】 PAGEREF _Tc29247 \h 6
\l "_Tc9968" 【题型5 幂函数模型的应用】 PAGEREF _Tc9968 \h 7
\l "_Tc23471" 【题型6 指数、对数函数模型的应用】 PAGEREF _Tc23471 \h 8
\l "_Tc1323" 【题型7 函数模型的选择问题】 PAGEREF _Tc1323 \h 9
1、函数模型及其应用
知识点1 几种常见的函数模型
1．一次函数模型
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
2．二次函数模型
二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数，a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.
3．幂函数模型
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
4．指数函数模型
指数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0).
5．对数函数模型
对数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0).
6．分段函数模型
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.
7．“对勾”函数模型
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.
知识点2 判断函数图象与实际问题变化过程
1．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.
知识点3 实际问题中函数建模的基本步骤
1．构造函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】
【例1】（24-25高二下·北京大兴·阶段练习）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度ℎ与时间t的函数关系是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（24-25高一上·云南红河·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距am，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度v(t)和行走的路程s(t)都是时间t的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）
A．①④B．②③C．④①D．③②
【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）A,B两车分别从甲乙两市同时出发，A从甲市驶向乙市，B从乙市驶向甲市，两车同时出发并匀速行驶，两车之间距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）的关系如下图，已知A的速度大于B的速度，则下列说法中错误的是（ ）

A．甲市与乙市之间的距离为dkm
B．两车在出发后ah相遇
C．点M表示B在出发后bh时到达了甲市
D．点N表示在出发后ch时两车都到达了目的地
【变式1-3】（24-25高二下·山东滨州·期末）如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 "" \t "" \ "利用给定函数模型解决实际问题" 利用给定函数模型解决实际问题】
【例2】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klg2N（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（ ）
A．2hB．4hC．20hD．40h
【变式2-1】（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即C=Wlg21+SN其中C是信道容量，单位bps；W为信道带宽，单位Hz；SN代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：23.46≈11，25.93≈60.97）
A．5B．6C．7D．8
【变式2-2】（2025·福建莆田·模拟预测）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量ΔL（单位：dB）与传播距离r（单位：m）的关系式为ΔL=10⋅lgπr2+k，其中k为常数.当传播距离为r1时，衰减量为ΔL1；当传播距离为r2时，衰减量为ΔL2.若r2=2r1，则ΔL2−ΔL1约为（ ）（参考数据：lg2≈0.3）
A．6dBB．4dBC．3dBD．2dB
【变式2-3】（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：L=5−1gkdD，其中，L为被测试眼睛的视力值，d为该眼睛能分辨清楚的最低一行“E”形视标的笔划宽度（单位：毫米），D为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，k是与d,D无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：1g2≈0.30,1g3≈0.48）
A．4.5B．4.6C．4.8D．5.0
【题型3 二次函数模型的应用】
【例3】（2025高三·全国·专题练习）某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为a米，宽度为b米.根据城市规划要求，a+b=12米，且充电桩间隔距离需满足a≥3b.为使充电区有效面积最大，应选择的尺寸是（ ）
A．a=9米，b=3米
B．a=8米，b=4米
C．a=10米，b=2米
D．a=7.5米，b=4.5米
【变式3-1】（24-25高三上·全国·课前预习）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−0.2x2+3.5的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（ ）
A．3.5mB．4m
C．4.5mD．4.6m
【变式3-2】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L（单位：m）与速度v（单位：kmh）之间有如下关系式：L=k⋅M⋅v2，其中k是比例系数，且k>0,M是汽车质量（单位：t）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以36km/h的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走20m.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20m处有障碍物时能在离障碍物5m以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过1s）（ ）
A．16B．18C．24D．27
【变式3-3】（24-25高一上·河南·阶段练习）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为x米，则当所建造的禽舍总面积最大时，x的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型4 分段函数模型的应用】
【例4】（2025·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s（单位：百万元）与新设备运行的时间t（单位：年，t∈N∗）满足s=−2t2+50t−98,t