2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题2.3幂函数与二次函数(学生版+解析)

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\l "_Tc10673" 【题型1 幂函数的定义】 PAGEREF _Tc10673 \h 2
\l "_Tc17645" 【题型2 比较幂值的大小】 PAGEREF _Tc17645 \h 3
\l "_Tc554" 【题型3 幂函数图象的判断及应用】 PAGEREF _Tc554 \h 5
\l "_Tc26645" 【题型4 幂函数的图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc26645 \h 8
\l "_Tc15905" 【题型5 求二次函数的值域或最值】 PAGEREF _Tc15905 \h 10
\l "_Tc17027" 【题型6 二次函数的图象问题】 PAGEREF _Tc17027 \h 11
\l "_Tc2050" 【题型7 二次函数的单调性问题】 PAGEREF _Tc2050 \h 14
\l "_Tc19718" 【题型8 二次函数的恒成立问题】 PAGEREF _Tc19718 \h 16
1、幂函数与二次函数
知识点1 幂函数的解题技巧
1．幂函数的解析式
幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2．幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3．比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
知识点2 二次函数的解题技巧
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式.
2．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
3．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
4．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1 幂函数的定义】
【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，属于幂函数的是（ ）
A．y=(2x)2B．y=xC．y=−1xD．y=2x
【答案】B
【解题思路】由幂函数的定义即可求解.
【解答过程】形如y=xα（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1，
对比选项仅有B：y=x=x12符合要求.
故选：B.
【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．y=x3B．y=x2C．y=x3+1D．y=x
【答案】A
【解题思路】结合函数奇偶性的性质以及幂函数的定义与性质分别检验各选项即可．
【解答过程】根据幂函数的定义可知：y=x3为幂函数，
且定义域为R ，满足f(−x)=−x3=−x3=−f(x) 为奇函数，故A正确；
y=x2为偶函数,故排除B选项；
令g(x)=x3+1，∴g−x=−x3+1≠gx≠−gx，所以为非奇非偶函数，C错误；
y=x的定义域为0,+∞ ，不关于原点对称，所以y=x为非奇非偶函数，故D错误，
故选：A．
【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）在函数y=x−2，y=2x2，y=(x+1)2，y=3x中，幂函数的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【解题思路】利用幂函数定义直接判断作答.
【解答过程】函数y=x−2是幂函数，
函数y=2x2，y=(x+1)2都是二次函数，函数y=3x是一次函数，它们都不是幂函数，
所以所给函数中幂函数的个数是1.
故选：B.
【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在(0,+∞)上是减函数的是（ ）
A．y=x2B．y=x13C．y=2x−1D．y=x−23
【答案】D
【解题思路】利用幂函数的定义及性质逐项判断即得.
【解答过程】对于AB，y=x2与y=x13都是幂函数，在(0,+∞)上都单调递增，AB不是；
对于C，函数y=2x−1不是幂函数，C不是；
对于D，函数y=x−23是幂函数，且在(0,+∞)上是减函数，D是.
故选：D.
【题型2 比较幂值的大小】
【例2】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知a=20.2，b=0.40.2，c=0.150.1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【解题思路】根据幂函数单调性分析判断即可.
【解答过程】因为y=x0.2在R上单调递增，所以20.2>0.40.2，即a>b，
又因为，又且y=x0.1在[0,+∞)上单调递增，
所以0.160.1>0.150.1，b>c，所以a>b>c.
故选：A.
【变式2-1】（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知a、b∈0,1∪1,+∞且c>0，则“a>b>1”是“ac>bc”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】利用幂函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解答过程】因为a、b∈0,1∪1,+∞且c>0，
因为幂函数y=xc在0,+∞上为增函数，
若a>b>1，则ac>bc，即“a>b>1”⇒“ac>bc”，
若ac>bc，则a>b且a、b∈0,1∪1,+∞，即“a>b>1”⇐“ac>bc”，
所以，“a>b>1”是“ac>bc”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2-2】（24-25高一上·安徽·期中）幂函数f(x)=(m2−m−1)xm2+2m−5在区间(0,+∞)上单调递增，且a+b>0，则f(a)+f(b)的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【答案】A
【解题思路】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可．
【解答过程】由函数f(x)=(m2−m−1)xm2+2m−5是幂函数，可得m2−m−1=1，解得m=2或m=−1.
当m=2时，f(x)=x3；当m=−1时，f(x)=x−6.
因为函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数，故f(x)=x3.
又a+b>0，所以a>−b，所以f(a)>f(−b)=−f(b)，则f(a)+f(b)>0.
故选：A.
【变式2-3】（2025·湖北孝感·模拟预测）已知f(x)为奇函数，当0≤x≤2时，f(x)=2x−x2，当x>2时，f(x)=x−3−1，则（ ）
A．−f−26>f20.3>f30.3B．f20.3>f30.3>−f−26
C．−f−26>f30.3>f20.3D．f30.3>f20.3>−f−26
【答案】A
【解题思路】利用题给条件求得fx在1,3上单调性，利用f(x)为奇函数求得−f−26,f(1)的大小关系，再利用幂函数性质比较30.3,20.3的大小关系，进而得到f30.3,f20.3,−f−26三者间的大小关系.
【解答过程】因为当0≤x≤2时，fx=2x−x2，
则fx在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，
当x>2时，fx=x−3−1，
则fx在2,3上单调递减，在3,+∞上单调递增.
且f2=0=2−3−1，所以fx在0,1上单调递增，
在1,3上单调递减，在3,+∞上单调递增.
因为−f−26=f26>f5=1=f(1)，1f20.3>f30.3.

故选：A.
【题型3 幂函数图象的判断及应用】
【例3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）

A．y=1x3B．y=xC．y=1x2D．y=x23
【答案】C
【解题思路】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案.
【解答过程】对于A，y=1x3，定义域为−∞,0∪0,+∞，当x0时y=xα在第一象限递增，且递增速度以α=1为界点，α1>α2>0>α3，故A满足.
故选：A.
【题型4 幂函数的图象与性质的综合应用】
【例4】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知点3,33在幂函数fx的图象上，则fx是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．在x∈−∞,0∪0,+∞上单调递减
【答案】A
【解题思路】根据已知求出α=−1，从而函数fx=x−1=1x，根据奇偶性定义以及反比例函数得到答案．
【解答过程】∵点3,33在幂函数fx的图象上，设fx=xα，
∴33=3α，解得α=−1，
∴函数fx=x−1=1x，定义域为−∞,0∪0,+∞，关于原点对称，
∴f−x=1−x=−fx，
∴函数fx是奇函数，根据反比例图象fx在−∞,0,0,+∞上单调递减．
故选：A．
【变式4-1】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知幂函数fx=m2−3m+1xm−1是R上的偶函数，且函数gx=fx+4−2nx在区间1,5上单调，则实数n的取值范围为（ ）
A．−∞,3B．7,+∞C．3,7D．−∞,3∪7,+∞
【答案】D
【解题思路】根据吗函数的定义和图象与性质可得f(x)=x2，进而求出g(x)，结合二次函数在区间上单调性求出参数n即可.
【解答过程】由幂函数的定义知，m2−3m+1=1，解得m=0或m=3，
当m=0时，f(x)=x−1，为奇函数，不符合题意；
当m=3时，f(x)=x2，为偶函数，符合题意，故f(x)=x2.
所以g(x)=x2+(4−2n)x，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x=n−2，
又g(x)在[1,5]上单调，则n−2≤1或5≤n−2，
解得n≤3或n≥7，即实数n的取值范围为(−∞,3]∪[7,+∞).
故选：D.
【变式4-2】（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数fx的图象经过点4,18，则下列说法正确的是（ ）
A．fx为偶函数B．方程fx=27的实数根为19
C．fx在0,+∞上为增函数D．fx的值域为R
【答案】B
【解题思路】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可.
【解答过程】设fx=xa，代入点4,18可得4a=18，所以a=−32，
所以fx=x−32=1x3，因为x3>0，所以x>0，即函数fx的定义域为(0,+∞)，
对于A：因为fx的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，
所以fx既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误；
对于B：令fx=27，所以1x3=27，解得x=19，故B正确；
对于C，因为fx=x−32，因为a=−320，所以fx>0，
fx的值域为0,+∞，故D错误.
故选：B.
【变式4-3】（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数fx=m2−m−1xm,∀x1,x2∈0,+∞都有fx1−fx2x1−x2c,a+b+c=0，则fx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解题思路】判断出a,c的符号后可得正确的选项.
【解答过程】因为a>b>c,a+b+c=0，故a+a+a>a+b+c=0即a>0，
而c+c+c0的解集为x−10)的图像与x轴交点的横坐标为−5和3，
所以其对称轴方程为：x=−5+32=−1，
又a>0，
所以二次函数的单调递减区间为(−∞,−1]，
故选：A.
【变式7-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）“m−2a+3恒成立，
则ax2−2ax+2a−3>0，对∀x∈2,6恒成立，
令ℎx=ax2−2ax+2a−3，则二次函数的对称轴为直线x=1，
要使得∀x∈2,6，ℎx>0恒成立，则ℎ2=2a−3>0ℎ6=26a−3>0，解得a>32，
所以实数a的取值范围是32,+∞.
故选：A.
【变式8-2】（2025·上海黄浦·二模）设函数fx=−x2+ax+20,−4≤x≤0ax2−2x+3,00恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．1,+∞B．0,13
C．516,1D．13,1
【答案】D
【解题思路】分−4≤x≤0和00恒成立，即ax>x2−20恒成立，
当x=0时，上式成立；
当−4≤x13，
综上：实数a的取值范围是13,1.
故选：D.
【变式8-3】（2025·福建·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=x2−2x+2. 若fx≥2x+b对任意的x∈R恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
A．−∞,2B．−∞,1C．−∞,0D．−∞,−2
【答案】D
【解题思路】先在fx≥2x+b的条件下证明b≤−2，然后在b≤−2的条件下证明fx≥2x+b，即可说明b的取值范围是−∞,−2.
【解答过程】一方面，由于fx≥2x+b对任意实数x恒成立，故f2≥2×2+b，即22−2×2+2≥2×2+b，所以b≤−2.
另一方面，若b≤−2，则对x