2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题2.2函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性(学生版+解析)

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\l "_Tc29859" 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 PAGEREF _Tc29859 \h 3
\l "_Tc11011" 【题型2 根据函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc11011 \h 4
\l "_Tc15690" 【题型3 求函数的最值】 PAGEREF _Tc15690 \h 4
\l "_Tc10287" 【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 PAGEREF _Tc10287 \h 5
\l "_Tc31878" 【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 PAGEREF _Tc31878 \h 5
\l "_Tc4576" 【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】 PAGEREF _Tc4576 \h 6
\l "_Tc26211" 【题型7 函数的对称性与周期性】 PAGEREF _Tc26211 \h 6
\l "_Tc2068" 【题型8 类周期函数】 PAGEREF _Tc2068 \h 7
\l "_Tc28295" 【题型9 利用函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc28295 \h 7
\l "_Tc7435" 【题型10 利用函数的性质解不等式】 PAGEREF _Tc7435 \h 8
\l "_Tc24217" 【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 PAGEREF _Tc24217 \h 9
\l "_Tc6802" 【题型12 函数新定义】 PAGEREF _Tc6802 \h 9
1、函数的性质
知识点1 函数的单调性与最值的求法
1．求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
3．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
知识点2 函数的奇偶性及其应用
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
3．常见奇偶性函数模型
(1)奇函数：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
(2)偶函数：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数.
知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)=，则T=2a；
(5)若f(x+a)=，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2025·海南海口·模拟预测）函数f(x)=x2−4|x|+3的单调递减区间是（ ）
A．(−∞,−2)B．(−∞,−2)和(0,2)
C．(−2,2)D．(−2,0)和(2,+∞)
【变式1-1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数y=1x2−2x的单调递减区间是（ ）
A．(−∞,1)B．(−∞,0)C．(1,+∞)D．(2,+∞)
【变式1-2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间(−m,m)(m>0)上，值域为R的函数f(x)满足：①当02，且f(3)=3，则函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】
【例4】（2025·浙江杭州·一模）函数fx=x−1,x≥0−x−1,x0时，fx=（ ）
A．x2+xB．−x2+x
C．x2−xD．−x2−x
【变式6-3】（2025·吉林·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，且f1−2x是偶函数，当x∈0,1时，fx=−x2，则f7=（ ）
A．−49B．−1C．0D．1
【题型7 函数的对称性与周期性】
【例7】（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x+1)为奇函数，且f(x)的图象关于直线x=2对称，则i=12025f(i)=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式7-1】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=2，则（ ）
A．f(2)=0B．f(10)=10
C．f(x)的最小正周期为2D．x=1是曲线y=f(x)的一条对称轴
【变式7-2】（2025·甘肃白银·三模）已知对于∀x∈R，fx+1+fx−1=fx，fx+gx−3=2，g−3−x=g−3+x，且g−3=1，则i=02025fi=（ ）
A．12B．32C．1D．0
【变式7-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数fx，gx的定义域均为R，且f1−x+gx=3，g3−x−fx=1，y=gx的图象关于直线x=1对称，当x∈0,1时，fx=x2+1，则f2024+g2026=（ ）
A．1B．3C．4D．2025
【题型8 类周期函数】
【例8】（2024·云南昆明·二模）定义“函数y=fx是D上的a级类周期函数” 如下: 函数y=fx,x∈D，对于给定的非零常数 a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有afx=fx+T恒成立，此时T为fx的周期. 若y=fx是1,+∞上的a级类周期函数，且T=1，当x∈1,2时，fx=2x+1,且y=fx是1,+∞上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．56,+∞B．2,+∞C．53,+∞D．10,+∞
【变式8-1】（24-25高一上·浙江台州·期中）设函数fx的定义域为R，满足fx=2fx−2，且当x∈0,2时，fx=x2−x．若对任意x∈−∞,m，都有fx≤3，则m的取值范围是（ ）
A．−∞,52B．−∞,72
C．−∞,92D．−∞,112
【变式8-2】（24-25高一上·江西吉安·期末）设函数fx的定义域为R，且fx+4=2fx，当x∈0,4时，fx=2x2−8x，若对于∀x∈−∞,t，都有fx≥−32恒成立，则t的取值范围是（ ）
A．−∞,−7B．−∞,−5C．−∞,−3D．−∞,−1
【变式8-3】（2025·天津和平·三模）定义域为R的函数fx满足fx+4=2fx，当x∈0,4时，fx=12x2−x,x∈0,2−13x−3,x∈2,4，若x∈−8,−4时，fx≥m−14−1m，则实数m的取值范围是（ ）
A．−∞,−2∪0,2B．−2,2
C．−2,0∪0,2D．−2,0∪2,+∞
【题型9 利用函数的性质比较大小】
【例9】（2025·湖南邵阳·二模）定义在R上的函数fx满足fx−f2−x=0，且fx在1,+∞上单调递增，设a=f−9，b=f74，c=flg417，则（ ）
A．bfb
【变式9-2】（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数fx满足fx=f4−x，且fx在−2,2上单调递增.设a=f74，b=f72，c=f−13，则（ ）
A．a