2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第08讲函数模型及其应用(高效培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第08讲函数模型及其应用(高效培优讲义)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了指数函数模型，对数函数模型，建立拟合函数模型解决实际问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc22233" 考情探究 PAGEREF _Tc22233 \h 2
\l "_Tc9106" 知识梳理 PAGEREF _Tc9106 \h 2
\l "_Tc3549" 探究核心考点 PAGEREF _Tc3549 \h 3
\l "_Tc1667" 考点一 指数函数模型 PAGEREF _Tc1667 \h 3
\l "_Tc18419" 考点二 对数函数模型 PAGEREF _Tc18419 \h 4
\l "_Tc19352" 考点三 建立拟合函数模型解决实际问题 PAGEREF _Tc19352 \h 5
\l "_Tc30590" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc30590 \h 6
\l "_Tc25407" 基础过关 PAGEREF _Tc25407 \h 6
\l "_Tc10727" 能力提升9
\l "_Tc26948" 真题感知 PAGEREF _Tc26948 \h 11
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图象与性质，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.
2.会比较一次函数、二次函数、幂函数、对数函数、指数函数增长速度的差异
3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用
【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是新高考复习的重要内容
\l "_Tc25045" 知识点1 三种函数模型的性质
\l "_Tc25045" 知识点2 常见的函数模型
\l "_Tc25045" 知识点3 解函数模型问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
考点一 指数函数模型
典例1．（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A．21小时B．22小时C．23小时D．24小时
典例2．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ）
A．300B．450C．600D．750
跟踪训练1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知某种水果的保鲜时间（单位：小时）与温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种水果在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该种水果的保鲜时间约为（ ）
A．12小时B．24小时C．36小时D．48小时
跟踪训练2．（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ）
A．B．C．D．
考点二 对数函数模型
典例1．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）．某强酸溶液加水稀释后值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（ ）
A．2B．C．100D．
典例2．（2025·广东广州·二模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练1．（2025·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025·贵州六盘水·一模）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（ ）（精确到0.1，参考数据：）
A．4.4B．4.7C．5D．5.4
考点三 建立拟合函数模型解决实际问题
典例1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：)
A．2026年；B．2027 年；C．2028年；D．2029 年．
典例2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：
设茶水温度从85°C开始，经过min后温度为℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①；②
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
(2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
（参考数据：）
跟踪训练1．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
跟踪训练2．近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数：
①，②且，③且；
(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值．
一、单选题
1．（2025·福建漳州·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，，若在前5h内消除了的污染物，则15h后污染物含量还剩余（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（ ）
A．60B．61C．62D．63
3．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（ ）
A．6KgB．8KgC．18KgD．54Kg
4．（2025·福建莆田·三模）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ）
A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟
5．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（ ）（参考数据：）
A．100小时B．300小时C．1000小时D．3000小时
6．（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：）
A．75B．77C．79D．81
8．（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：）
A．4.5B．4.6C．4.8D．5.0
二、填空题
9．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要 .
10．（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间 .
一、单选题
11．（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ）
（参考数据：）
A．2292年B．2456年C．2674年D．2838年
12．（2025·贵州·模拟预测）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：，，）
A．年B．年
C．年D．年
13．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（ ）
A．12年B．13年C．14年D．15年
14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75米B．1.5米C．1.25米D．1米
15．（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（ ）
①浮萍每月的增长率相同；
②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是；
③若，则当时，恒成立；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则.
A．①③④B．③④C．②③④D．①②④
二、多选题
16．（2025·河南南阳·模拟预测）Cbb-Duglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为，其中是总产出，是资本存量，是劳动力，是技术参数，是资本和劳动的产出弹性.当不变时，下列说法正确的是（ ）
A．若与均变为原来的倍，且，则变为原来的倍
B．若与均变为原来的倍，且则最少可变为原来的倍
C．若与均变为原来的倍，且，则最少可变为原来的倍
D．若均不变，则函数的增长速度越来越慢
17．（2025·重庆·二模）从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：）的数量关系满足．则张师傅此次饮酒后（ ）
A．当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
18．（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据：
已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（2025·广西·模拟预测）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则（ ）
A．过定点
B．在污染物浓度区间上单调递增
C．关于对称
D．取定x的值，灵敏度越高，监测值越大
三、填空题
20．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为4.8米；
假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶；
假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足.
该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数）
一、单选题
21．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2hB．4hC．20hD．40h
二、多选题
22．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第10题,5分
对数函数模型的应用
对数的运算性质的应用
由对数函数的单调性解不等式
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
85
79
73.6
68.74
64.34
60.24
建立平台第年
1
2
3
4
会员人数（千人）
16
28
52
86
声强
声强级
10
20
30
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
第08讲 函数模型及其应用
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc22233" 考情探究 PAGEREF _Tc22233 \h 2
\l "_Tc9106" 知识梳理 PAGEREF _Tc9106 \h 2
\l "_Tc3549" 探究核心考点 PAGEREF _Tc3549 \h 3
\l "_Tc1667" 考点一 指数函数模型 PAGEREF _Tc1667 \h 3
\l "_Tc18419" 考点二 对数函数模型 PAGEREF _Tc18419 \h 5
\l "_Tc19352" 考点三 建立拟合函数模型解决实际问题 PAGEREF _Tc19352 \h 7
\l "_Tc30590" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc30590 \h 10
\l "_Tc25407" 基础过关 PAGEREF _Tc25407 \h 10
\l "_Tc10727" 能力提升 PAGEREF _Tc10727 \h 16
\l "_Tc26948" 真题感知 PAGEREF _Tc26948 \h 23
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图象与性质，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.
2.会比较一次函数、二次函数、幂函数、对数函数、指数函数增长速度的差异
3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用
【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是新高考复习的重要内容
\l "_Tc25045" 知识点1 三种函数模型的性质
\l "_Tc25045" 知识点2 常见的函数模型
\l "_Tc25045" 知识点3 解函数模型问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
考点一 指数函数模型
典例1．（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A．21小时B．22小时C．23小时D．24小时
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解.
【详解】当时，，当时，，
所以，；
当时，.
故选：A.
典例2．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ）
A．300B．450C．600D．750
【答案】C
【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解.
【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，
因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.
所以，所以，
若，则.
故选：C.
跟踪训练1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知某种水果的保鲜时间（单位：小时）与温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种水果在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该种水果的保鲜时间约为（ ）
A．12小时B．24小时C．36小时D．48小时
【答案】D
【分析】由指数函数模型得到，结合求解即可.
【详解】由题意得：，两式相除得：，
所以当时，，
即该种水果的保鲜时间约为48小时，
故选：D.
跟踪训练2．（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得到，求得，再设消除的污染物对应事件为，消除的污染物对应事件为，得到方程，，求解即可；
【详解】由题意可知：，即，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
两式相除可得：，
即，
所以：，
即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历，
故选：A
考点二 对数函数模型
典例1．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）．某强酸溶液加水稀释后值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（ ）
A．2B．C．100D．
【答案】D
【分析】根据题意，列出方程，利用对数的运算性质和指对数的互化计算即得.
【详解】设稀释前溶液的值为，氢离子的浓度为，
加水稀释后值为，氢离子的浓度为.
则，
两式相减，可得，
化简得，解得.
故选：D.
典例2．（2025·广东广州·二模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得，即可求出的范围，从而得解.
【详解】依题意可得，所以，所以，
所以，即轻柔音乐的声强级范围是.
故选：C
跟踪训练1．（2025·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用给定的函数关系，建立方程，结合对数运算求得答案.
【详解】令北极星与牛郎星的亮度分别为，依题意，，
两式相减得，解得.
故选：D
跟踪训练2．（2025·贵州六盘水·一模）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（ ）（精确到0.1，参考数据：）
A．4.4B．4.7C．5D．5.4
【答案】A
【分析】直接利用题目中给出的公式和对数的运算性质求解即可得出结果.
【详解】根据题意可知这次地震的震级为：
；
因此可知这次地震的震级为级.
故选：A
考点三 建立拟合函数模型解决实际问题
典例1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：)
A．2026年；B．2027 年；C．2028年；D．2029 年．
【答案】B
【分析】首先根据指数函数建立拟合的函数模型，再求解不等式.
【详解】设研发资金开始超过200万元的年份是，则第年投入的研发资金为，
则，即，
所以，
所以.
所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年.
故选：B
典例2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：
设茶水温度从85°C开始，经过min后温度为℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①；②
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
(2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
（参考数据：）
【答案】(1)因为随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，且不再升高，所以选择模型①；解析式为
(2).
【分析】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得的值，即可得解析式；
（2）根据（1）的解析式，将代入解析式求的值即可.
【详解】（1）由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①，代入前三组数据
解得，所以函数模型解析式为.
（2）由（1）知，即，所以，
，
所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.
跟踪训练1．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】直接根据指数函数定义求解即可.
【详解】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量，
经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量，
经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量，
，
经过天后，剩留的质量，.
故选：A.
跟踪训练2．近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数：
①，②且，③且；
(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值．
【答案】(1)选择模型③，，100千人．
(2)4．
【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值.
【详解】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，
由表格中的数据可得，解得
所以，函数模型的解析式为，
令，预测2024年年末的会员人数为100千人．
（2）由题意可得，
令，则，
令，，则函数的定义域上单调递增，
又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，，
即．所以的最小值为4．
一、单选题
1．（2025·福建漳州·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，，若在前5h内消除了的污染物，则15h后污染物含量还剩余（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据所给函数模型，利用指数幂的运算性质计算可求解.
【详解】当时，；
当时，，即；
当时，，
故选：D.
2．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（ ）
A．60B．61C．62D．63
【答案】A
【分析】根据已知条件代入计算求解.
【详解】由题可得，则，
故选：A．
3．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（ ）
A．6KgB．8KgC．18KgD．54Kg
【答案】D
【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得.
【详解】依题意，设，由，得，则，
当时， ，所以．
故选：D
4．（2025·福建莆田·三模）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ）
A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟
【答案】C
【分析】根据分钟时，上方还剩下一半细沙，可列出方程，求出的值，然后令为原来的，即可求出结果.
【详解】依题意有，即，
两边取对数得，所以，得到，
当容器上方细沙只有开始时的时，则有，所以，
两边取对数得，所以，
即需要经过的时间为分钟．
故选：C
5．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（ ）（参考数据：）
A．100小时B．300小时C．1000小时D．3000小时
【答案】C
【分析】利用对数性质求解指数方程可得答案.
【详解】由题意得，所以，即，
两边同时取以10为底的对数，得，所以.
故选：C.
6．（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算可得正确的选项.
【详解】由题设有，，
故即，
故选：C.
7．（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：）
A．75B．77C．79D．81
【答案】C
【分析】根据已知模型结合指对数转化计算求解.
【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为，
当时，，代入得，解得，
当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，，
则，即，
则，
所以所需的训练迭代轮数至少为79．
故选：C.
8．（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：）
A．4.5B．4.6C．4.8D．5.0
【答案】C
【分析】根据已知视力值求出的值，再根据小明距离3米，求出其实际视力值.
【详解】已知当，时，代入，解得.
小明在距离该视力表3米处进行检测,即，代入，求解；
因为题中参考数据已知，；
所以.
所以.
故选：.
二、填空题
9．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要 .
【答案】10
【分析】根据已知条件求出记忆率，再据此求出记忆38个单词所需的时间.
【详解】步骤一：根据已知条件求出记忆率
已知函数，其中表示需要记忆的量，表示记忆率，表示时间（min），表示在时间内能够记忆的量.
已知，当时，，将这些值代入函数中，可得：，
可得：，即，可得：，
两边同时取自然对数可得：
可得：，则.
步骤二：求出记忆38个单词所需的时间
当，，时，代入函数中，可得：
可得：，即，
可得：，两边同时取自然对数可得：
可得：
因为，所以，可得：，解得.
故该学生记忆38个单词大约需要10min.
故答案为：10.
10．（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间 .
【答案】 ③
【分析】由已知结合基本初等函数的图象判断函数模型，求出函数解析式，即可求解
【详解】为线性增长，的增长速度会逐渐变慢，
由图象可知，模型①④不符合，
将，代入模型②③，得，，即模型②，模型③，
当时，模型②，不符合，
当时，模型③，，选模型③；
由，解得
故答案为：③；
一、单选题
11．（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ）
（参考数据：）
A．2292年B．2456年C．2674年D．2838年
【答案】B
【分析】利用半衰期的意义求出，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得.
【详解】依题意，当时，，即，解得，
设经过年碳14含量衰减为原来的，经过年碳14含量衰减为原来的，
则，即，所以
.
故选：B
12．（2025·贵州·模拟预测）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：，，）
A．年B．年
C．年D．年
【答案】C
【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论.
【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到年，其算力提升至PetaFLOPS，
到年，其算力提升至PetaFLOPS，，
以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，
由，可得，
所以，，
所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS，
故选：C.
13．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（ ）
A．12年B．13年C．14年D．15年
【答案】C
【分析】由题意可得，即可利用对数的运算性质即可求解.
【详解】由题意可知，代入公式可得，
所以所以，所以至少需要14年，
故选：C
14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75米B．1.5米C．1.25米D．1米
【答案】A
【分析】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.由题意知及，联立方程组，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.
由题意知，，即①.
又，即，即②.
由可得，解得.
故选：A.
15．（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（ ）
①浮萍每月的增长率相同；
②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是；
③若，则当时，恒成立；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则.
A．①③④B．③④C．②③④D．①②④
【答案】A
【分析】将点的坐标代入可求出，通过增长率计算可判断①；根据反函数的定义可知，利用对数函数的性质结合二次函数的图象和性质可判断②；利用基本不等式计算判断③；利用指数幂的运算判断④.
【详解】由图象可知，函数过点，则，即.
对于①，浮萍每月的增长率为，故①正确；
对于②，若函数与的图像关于直线对称，则，
则，要使其值域为，则函数的值域要包含，
因为二次函数开口向上，所以即可，解得或，故②错误；
对于③，，设，则，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以，故③正确；
对于④，由题意知，，，，所以，，
则，故，故④正确.
故选：A.
二、多选题
16．（2025·河南南阳·模拟预测）Cbb-Duglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为，其中是总产出，是资本存量，是劳动力，是技术参数，是资本和劳动的产出弹性.当不变时，下列说法正确的是（ ）
A．若与均变为原来的倍，且，则变为原来的倍
B．若与均变为原来的倍，且则最少可变为原来的倍
C．若与均变为原来的倍，且，则最少可变为原来的倍
D．若均不变，则函数的增长速度越来越慢
【答案】ABD
【分析】由，得，代入判断A；利用基本不等式判断B；利用判断C；利用导函数的单调性判断D.
【详解】由题意可知，，
当时，，故A对；
当时，，所以，
当且仅当时，取等号，故B对；
当时，因为，所以，
当且仅当时，取等号，故C错；
若均不变，是的函数，且，
因为，所以是减函数，故D对；
故选：ABD.
17．（2025·重庆·二模）从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：）的数量关系满足．则张师傅此次饮酒后（ ）
A．当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
【答案】BD
【分析】整理可得，结合对勾函数性质分析单调性和最值，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，则，
由对勾函数可知：在内单调递减，在内单调递增，
则在内单调递增，在内单调递减，故B正确；
当时，取到最大值1，
即当代谢时间时，血液中的乙醇含量最高为，
即每血液中乙醇含量为，故A错误；
因为，可知饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C错误，D正确；
故选：BD.
18．（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据：
已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】首先代入表格数据中的前2组数据，求，判断A，再根据解析式，代入求，判断B，根据解析式，结合，求的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D.
【详解】由题意可得.即，解得.所以，故A正确；
因为，所以，解得，故B错误；
由，得，故C正确；
设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确.
故选：ACD.
19．（2025·广西·模拟预测）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则（ ）
A．过定点
B．在污染物浓度区间上单调递增
C．关于对称
D．取定x的值，灵敏度越高，监测值越大
【答案】AB
【分析】对于A，令，可求得定点，即可判断A；对于B，对求导，判断导函数在时的正负，即可判断B；对于C，由B即可判断；对于D，以a为自变量构造新函数，求导，判断单调性即可．
【详解】解：对于A，在中，令，则，所以过定点，故A正确；
对于B，因为
则注意到当，，
则在上单调递增，故B正确；
对于C，由B选项知为单调递增函数，故不存在对称轴，故C错误；
对于D，以a为自变量，设为，
则
，因为，故，
所以的正负取决于，当时
，即当时，随着a的增大，减小，故D错误
故选：
三、填空题
20．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为4.8米；
假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶；
假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足.
该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数）
【答案】821
【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案.,
【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒.
1小时内通过的车辆数
.
根据基本不等式（），，
当且仅当时等号成立.所以，
即该城市道路通行能力的最大值约为821.
故答案为：821.
一、单选题
21．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2hB．4hC．20hD．40h
【答案】B
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
二、多选题
22．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第10题,5分
对数函数模型的应用
对数的运算性质的应用
由对数函数的单调性解不等式
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
85
79
73.6
68.74
64.34
60.24
建立平台第年
1
2
3
4
会员人数（千人）
16
28
52
86
声强
声强级
10
20
30
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40