2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题4.1任意角和弧度制、三角函数的概念(学生版+解析)

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\l "_Tc25419" 【题型1 终边相同的角】 PAGEREF _Tc25419 \h 4
\l "_Tc8080" 【题型2 象限角及其判定】 PAGEREF _Tc8080 \h 5
\l "_Tc18500" 【题型3 弧度制】 PAGEREF _Tc18500 \h 6
\l "_Tc3787" 【题型4 扇形的弧长与面积的计算】 PAGEREF _Tc3787 \h 8
\l "_Tc11710" 【题型5 扇形中的最值问题】 PAGEREF _Tc11710 \h 10
\l "_Tc7163" 【题型6 任意角的三角函数的定义及应用】 PAGEREF _Tc7163 \h 12
\l "_Tc18422" 【题型7 三角函数值符号的判定】 PAGEREF _Tc18422 \h 14
1、任意角和弧度制、三角函数的概念
知识点1 三角函数的基本概念
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角α,β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β.
一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
4．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作，即y=；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作，即x=；
③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作，即= (x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则=，=，=.

知识点2 任意角和弧度制的解题策略
1．终边相同的角的集合
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2．确定，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置.
3．应用弧度制解决问题的几大要点
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
知识点3 三角函数的定义及应用的解题策略
1．三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2．判定三角函数值的符号的解题策略
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【题型1 终边相同的角】
【例1】（24-25高一下·广西钦州·期末）下列与20∘角终边相同的角为（ ）
A．320∘B．380∘C．400∘D．−310∘
【答案】B
【解题思路】根据终边相同的角的集合即可求解.
【解答过程】与20∘角终边相同的角的集合为αα=20∘+360∘k,k∈Z,
取k=1，α= 380∘，其他均不符合，
故选：B.
【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值范围是（ ）
A．α∣30°≤α