2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题6.4数列的通项公式的求法(学生版+解析)

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\l "_Tc28100" 【题型1 观察法】 PAGEREF _Tc28100 \h 3
\l "_Tc32761" 【题型2 由an与Sn的关系求通项】 PAGEREF _Tc32761 \h 4
\l "_Tc17930" 【题型3 累加法】 PAGEREF _Tc17930 \h 6
\l "_Tc23805" 【题型4 累乘法】 PAGEREF _Tc23805 \h 9
\l "_Tc32546" 【题型5 构造法】 PAGEREF _Tc32546 \h 11
\l "_Tc15462" 【题型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 PAGEREF _Tc15462 \h 13
\l "_Tc20332" 【题型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 PAGEREF _Tc20332 \h 16
\l "_Tc21526" 【题型8 倒数法】 PAGEREF _Tc21526 \h 18
\l "_Tc29272" 【题型9 正负、奇偶讨论型求通项】 PAGEREF _Tc29272 \h 22
\l "_Tc8832" 【题型10 利用数列前n项积求通项】 PAGEREF _Tc8832 \h 25
\l "_Tc555" 【题型11 双数列的通项问题】 PAGEREF _Tc555 \h 28
1、数列的通项公式的求法
知识点1 数列的通项公式
1．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
2．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{an}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.
知识点2 数列的通项公式的常见求法
1．观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.
2．定义法：
已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项.
3．公式法：
由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
4．累加法：
形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
5．累乘法：
形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
6．构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}.
③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}.
④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
7．等差数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
8．等比数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
【题型1 观察法】
【例1】（2025·贵州黔南·二模）n∈N*，数列1，−3，7，−15，31，⋅⋅⋅的一个通项公式为（ ）
A．an=2n−1csnπB．an=1−2nsinnπ2
C．an=2n−1D．an=−1n1−2n
【答案】D
【解题思路】利用排除法，取特值检验即可.
【解答过程】对于选项A：因为a1=2−1csπ=−1≠1，故A错误；
对于选项B：因为a2=1−22sinπ=0≠−3，故B错误；
对于选项C：因为a2=22−1=3≠−3，故C错误；
对于选项D：检验可知对n=1,2,3,4,5均成立，故D正确；
故选：D.
【变式1-1】（24-25高二下·江西景德镇·期末）若数列an的前4项依次为20，11，2，−7，则数列an的一个通项公式为（ ）
A．an=(−1)n+1⋅2nB．an=−9n+29
C．an=9n+11D．an=9n−18
【答案】B
【解题思路】观察前4项规律，写出通项公式，可判断B，对A，C，D举反例说明.
【解答过程】对于B，从前四项看，这是一个以20为首项，以−9为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式有an=−9n+29，故B正确；
对于A，当n=1时，a1=2，这与条件不符，故A错误；
对于C，当n=2时，a2=29，这与条件不符，故C错误；
对于D，当n=1时，a1=−9，这与条件不符，故D错误.
故选：B.
【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，3,6,10等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778B．779C．780D．781
【答案】C
【解题思路】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项.
【解答过程】六边形数从小到大排成一列，形成数列{an}，
依题意，a1=1=1×1,a2=6=2×3,a3=15=3×5,a4=28=4×7,a5=45=5×9，
归纳得an=n(2n−1)，
所以a20=780.
故选：C.
【变式1-3】（24-25高二下·陕西渭南·阶段练习）数列−1,3,−5,7,−9,⋯的通项公式an为（ ）n∈N+.
A．−2n+1B．(−1)n⋅2n+1C．(−1)n⋅(2n+1)D．(−1)n⋅(2n−1)
【答案】D
【解题思路】根据数列每一项正负的变化以及数列每一项绝对值的变化规律，即可直接写出通项公式.
【解答过程】由该数列的正负变化，以及数列每一项绝对值的变化规律，
通过观察法即可容易得到：an=(−1)n⋅(2n−1).
故选：D.
【题型2 由an与Sn的关系求通项】
【例2】（2025·四川·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n−1−12，则数列an的通项公式为（ ）
A．an=12,n=1,2n,n≥2B．an=2n−1
C．an=(−2)n−2D．an=2n−2
【答案】D
【解题思路】由an=Sn−Sn−1,n≥2S1,n=1代入即可求得.
【解答过程】Sn=2n−1−12，当n=1时，a1=S1=20−12=12，
当n≥2,an=Sn−Sn−1=2n−1−2n−2=2n−2,a1=12也满足，
所以数列an的通项公式为an=2n−2.
故选：D.
【变式2-1】（2025·云南·一模）已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an−1n∈N*，若数列bn满足b1=2，bn+1=an+bn，则数列bn的通项公式为（ ）
A．bn=2n−1+1 B．bn=2n+1 C．bn=2n−1−1 D．bn=2n−1
【答案】A
【解题思路】根据条件，利用an与Sn间的关系，得到an=2n−1，从而有bn+1−bn=2n−1，再利用累加法，即可求解.
【解答过程】因为Sn=2an−1n∈N*，当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，
两式相减得到an=2an−2an−1，即an=2an−1n≥2,n∈N，
又a1=2a1−1，得到a1=1，所以数列an是以a1=1，q=2的等比数列，
所以an=2n−1，则bn+1−bn=2n−1，
当n≥2时，bn=bn−bn−1+bn−1−bn−2+⋯+b2−b1+b1，
所以bn=2n−2+2n−3+⋯+1+2=1−2n−11−2+2=2n−1+1，又n=1时，满足bn=2n−1+1，
故选：A.
【变式2-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an−n，n∈N∗.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=nan+1，求数列bn的前n项和Tn.
【答案】(1)an=2n−1．
(2)Tn=n−1⋅2n+1+2．
【解题思路】（1）由条件，结合关系S1=a1，an=Sn−Sn−1n≥2,n∈N∗求数列an的通项，
（2）由（1）可得bn=n⋅2n，利用错位相减法求结论.
【解答过程】（1）因为Sn=2an−n，
取n=1可得S1=2a1−1，又S1=a1，
所以a1=2a1−1，解得a1=1，
当n≥2,n∈N∗时，用n−1替换n可得Sn−1=2an−1−n+1，
所以an=2an−2an−1−1，
即an=2an−1+1，
所以an+1=2an−1+1+1=2an−1+1，又a1+1=2，
即an+1an−1+1=2，
所以数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an+1=2×2n−1=2n，
即an=2n−1．
（2）因为bn=nan+1=n⋅2n，
所以Tn=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n−1⋅2n−1+n⋅2n，①
2Tn=1⋅22+2⋅23+⋯+n−1⋅2n+n⋅2n+1，②
①－②得−Tn=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1=21−2n1−2−n⋅2n+1
所以−Tn=2n+1−2−n⋅2n+1，
所以Tn=n−1⋅2n+1+2．
【变式2-3】（2025·河南许昌·模拟预测）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且2Sn=(an+2)(an−1).
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=an3an，求数列bn的前n项和Tn.
【答案】(1)an=n+1
(2)Tn=512−2n+54⋅3n+1
【解题思路】（1）由an与Sn关系可得a1，n≥2时，(an+an−1)(an−an−1−1)=0，据此可得通项公式；
（2）由（1）结合错位相减法可得答案.
【解答过程】（1）当n=1时，2S1=2a1=(a1+2)(a1−1)，解得a1=2或a1=−1（舍）；
当n≥2时，由2Sn=(an+2)(an−1)，得2Sn−1=(an−1+2)(an−1−1)，
所以2an=2Sn−2Sn−1=(an+2)(an−1)−(an−1+2)(an−1−1)，
即an2−an−12−an−an−1=0，整理得(an+an−1)(an−an−1−1)=0，
又an的各项均为正数，所以an−an−1=1，
所以数列an是首项为2，公差为1的等差数列，
所以an=a1+(n−1)×1=n+1.
（2）由（1）知bn=an3an=n+13n+1，
所以Tn=232+333+434+⋯+n+13n+1，
13Tn=233+334+435+⋯+n+13n+2，
两式相减得:23Tn=232+133+134+⋯+13n+1−n+13n+2=132+132(1−13n)1−13−n+13n+2=518−2n+52⋅3n+2，
所以Tn=512−2n+54⋅3n+1.
【题型3 累加法】
【例3】（2025·四川·模拟预测）已知数列an中，a1=1，an=an−1+3n−2（n∈N*，且n≥2），则通项公式an=（ ）
A．3n2−n+22B．3n2−3n+22
C．n3n−12D．n−13n+22
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式.
【解答过程】当n≥2时，an=an−1+3n−2，即an−an−1=3n−2，而a1=1，
所以an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)=1+4+7+⋯+(3n−2)
=n(1+3n−2)2=3n2−n2，a1=1满足上式，
所以所求通项公式为an=3n2−n2.
故选：C.
【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=3，an+1=an+1n−1n+1，则an=（ ）
A．4+1nB．4−1nC．2+1nD．2−1n
【答案】B
【解题思路】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得an=4−1n.
【解答过程】因为an+1=an+1n−1n+1，所以an+1−an=1n−1n+1，
所以当n≥2时，a2−a1=1−12，a3−a2=12−13，…，an−an−1=1n−1−1n(n≥2)，
累加可得an−a1=a2−a1+a3−a2+⋯+an−an−1=1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n(n≥2)，
因为a1=3，所以an=1−1n+3=4−1n(n≥2)，当n=1时，a1=3，满足上式，
所以an=4−1n，
故选：B．
【变式3-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列an的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+1+2=an+3n+Sn．
(1)求数列an的通项公式；
(2)已知bn=16an+6n−20，记数列bn的前n项和为Tn，求证：−12≤Tn