2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系(学生版+解析)

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\l "_Tc15907" 【题型1 平面的基本性质及推论】 PAGEREF _Tc15907 \h 4
\l "_Tc30028" 【题型2 点（线）共面问题】 PAGEREF _Tc30028 \h 5
\l "_Tc24677" 【题型3 点共线、线共点问题】 PAGEREF _Tc24677 \h 6
\l "_Tc5649" 【题型4 等角定理】 PAGEREF _Tc5649 \h 7
\l "_Tc22035" 【题型5 平面分空间问题】 PAGEREF _Tc22035 \h 8
\l "_Tc24877" 【题型6 异面直线的判定】 PAGEREF _Tc24877 \h 9
\l "_Tc21491" 【题型7 异面直线所成的角】 PAGEREF _Tc21491 \h 10
\l "_Tc29772" 【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】 PAGEREF _Tc29772 \h 10
\l "_Tc11791" 【题型9 立体几何中的截面问题】 PAGEREF _Tc11791 \h 11
1、空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点1 平面的基本事实及推论
1．四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论
(1)四个基本事实及其表示
①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)四个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
基本事实4：①判断两条直线平行.
(3)基本事实1和2的三个推论
2．等角定理
(1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
(2)符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或
∠AOB+∠A'O'B'=.
知识点2 共面、共线、共点问题的证明方法
1．共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
知识点3 平面分空间问题
1．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
知识点4 空间点、线、面之间的位置关系
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
(2)平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．异面直线所成的角
(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'//a，b'//b，把a'与b'所成的角叫做
异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
【方法技巧与总结】
1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【题型1 平面的基本性质及推论】
【例1】（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面B．平面就是平行四边形
C．圆心和圆上两点可确定一个平面D．梯形可确定一个平面
【变式1-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ）
①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ）
A．三个点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．两条直线可以确定一个平面D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
【变式1-3】（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）下列不是基本事实的是（ ）
A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D．经过两条平行直线，有且只有一个平面
【题型2 点（线）共面问题】
【例2】（24-25高二下·河南·阶段练习）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）．
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2025·吉林·模拟预测）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M,O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．A,M,O三点共线B．M,O,A1,B四点异不共面
C．B,B1,O,M四点共面D．B,D1,C,M四点共面
【变式2-2】（24-25高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，GF相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．点P必在平面ABD内B．点P必在平面CBD内
C．点P必在直线BD上D．直线FG与直线BD为异面直线
【变式2-3】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型3 点共线、线共点问题】
【例3】（2025·湖南·二模）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．E,F,G,H四点共面B．EF//GH
C．EG,FH,AA1三线共点D．∠EGB1=∠FHC1
【变式3-1】（24-25高一下·河南开封·期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点.设AE与平面BB1D1D的交点为O，则（ ）

A．三点D1,O,B共线，且OB=2OD1
B．三点D1,O,B共线，且OB=3OD1
C．三点D1,O,B不共线，且OB=2OD1
D．三点D1,O,B不共线，且OB=3OD1
【变式3-2】（24-25高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上D．既不在直线AC上也不在直线BD上
【变式3-3】（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面D1PQ∩平面ABCD=l，则下列结论错误的是（ ）
A．l过点B
B．l不一定过点B
C．D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上
D．D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上
【题型4 等角定理】
【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）若AB//A′B′，BC//B′C′，且∠ABC=45°，则∠A′B′C′等于（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．不能确定
【变式4-1】（2025高一下·全国·专题练习）已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α=80°，则β=（ ）
A．80°B．100°
C．80°或100°D．不能确定
【变式4-2】（24-25高二·全国·课后作业）不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（ ）
A．一定是全等三角形B．一定是相似但不全等的三角形
C．一定是相似或全等的三角形D．可能不全等或相似
【变式4-3】（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【题型5 平面分空间问题】
【例5】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【变式5-1】（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2025·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n不可能是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-3】（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（ ）
A．25B．26C．28D．30
【题型6 异面直线的判定】
【例6】（2025·上海·模拟预测）如图，ABCD−A1B1C1D1是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）

A．AB和C1D1 B．AA1和CC1 C．BD1和B1DD．A1D1和AB．
【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A．DD1 B．AC C．AD1D．B1C
【变式6-2】（24-25高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线AD是异面直线的是（ ）

A．FG B．EH C．EF D．BC
【变式6-3】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图所示，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1,AD=2,AA1=3，P是线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A．DD1B．B1CC．D1CD．AC
【题型7 异面直线所成的角】
【例7】（2025·云南红河·三模）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，AB=PA=2，若四棱锥P−ABCD的外接球半径为2，则AE与BC所成角的正弦值为（ ）
A．12B．22C．32D．64
【变式7-1】（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（ ）
A．13B．33C．23D．63
【变式7-2】（（24-25高一下·广东深圳·期末）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=23，AA1=2，则直线AD1与BD所成角的余弦值为（ ）
A．33B．34C．63D．64
【变式7-3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均相等，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（ ）
A．63B．−63C．33D．−33
【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】
【例8】（2025·天津·一模）已知m，n是两条直线，α是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若m//α，n//α，则m//nB．若m⊥α，m⊥n，则n//α
C．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nD．若m//α，m⊥n，则n⊥α
【变式8-1】（2025·云南·模拟预测）设m,n是两条不同的直线，α为平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥n,n ∥ α，则m⊥α
B．若m ∥ n,n ∥ α，则m ∥ α
C．若m⊥α,n ∥ α，则m⊥n
D．若m ∥ α,n ∥ α，则m ∥ n
【变式8-2】（2025·安徽·模拟预测）已知α,β是两个不重合的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ）
A．若m//n,n⊂α，则m//αB．若m//α,m//β,α∩β=n，则m//n
C．若m⊥α,m⊥β，则α//βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β，则m⊥n
【变式8-3】（2025·天津·一模）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m//n，m//α，则n//αB．若m//n，α//β，m⊥α，则n⊥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α//βD．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
【题型9 立体几何中的截面问题】
【例9】（2025·陕西铜川·三模）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别为BC,CD,DD1的中点，若AB=4，则平面EFG截正方体所得截面的面积为（ ）
A．62B．63C．122D．123
【变式9-1】（2025·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，用过点A1，E，C1的平面截正方体，则截面周长为（ ）

A．32+25B．9C．22+25D．32+23
【变式9-2】（2025·上海黄浦·二模）如图，已知P,Q,R分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB,BC和C1D1的中点，由点P,Q,R确定的平面β截该正方体所得截面为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【变式9-3】（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2,A1A=3,P为线段C1D1的中点，一质点从A点出发，沿长方体表面运动到达P点处，若沿质点A的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（ ）

A．3B．732C．1564D．36
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．三条直线最多可确定1个平面B．三条直线最多可确定2个平面
C．三条直线最多可确定3个平面D．三条直线最多可确定4个平面
2．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线a，b，c满足a⊥c，b⊥c，则a//b是a，b，c共面的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知l,m,n是三条不重合的直线，α,β,γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若α⊥β,β⊥γ，则α∥γ
B．若l⊆α,m⊆α,l∥β,m∥β，则α∥β
C．若l∥α,l∥β，则α∥β
D．若l∥m,m⊆α,l⊄α，则l∥α
4．（2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）给出下列四个判断：
①若a，b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a，b都相交．
②对平面α，β和直线l，若α⊥β，l⊥β，则l∥α．
③对平面α，β和直线l，若l⊥α，l//β，则α⊥β．
④对直线l1，l2和平面α，若l1//α，l2//l1，且l2过平面α内一点P，则l2⊂α．
其中正确的判断有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2025高三·全国·专题练习）已知圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为下底面圆弧AB的中点，点F在上底面圆弧CD上且与E在轴截面同侧，若CF=13CD，则异面直线AE与CF所成角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，AE=2EA1，CF=2FC1，过点B,E,F的平面截该正方体所得截面的周长为（ ）
A．413+32B．613+32
C．413+82D．613+82
8．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1，E、F、G、H分别为AB、BB1、CC1、AC的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．A1C⊥GH
B．E、F、G、H四点共面
C．设BC=2，则平面EFC1截该三棱柱所得截面的周长为1+3+25
D．EF、GH、AA1三线共点
二、多选题
9．（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
10．（2025·湖南·模拟预测）已知直线m和平面α，且m⊄α，则下列结论有可能错误的是（ ）
A．过m存在一个平面β与α平行
B．过m存在一个平面β与α垂直
C．在α内存在一条直线n与m平行
D．在α内存在一条直线n与m相交
11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知E，F，G，H分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点，AB=2，则（ ）
A．直线HG与直线A1B异面
B．直线EF,HG,DC交于同一点
C．过A、G、D1三点的平面截正方体所得截面图形的周长为32+25
D．动点K在侧面A1ADD1内（含边界），且KE=AA1，则动点K的轨迹长度为3π
三、填空题
12．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知m，n是两条不同的直线，α表示平面，则下列命题中正确的是： （填序号）.
①若m//α，m//n，则n//α；
②若m//α，m⊥n，则n⊥α；
③若m⊥α，n⊥α，则m//n；
④若m⊥α，m⊥n，则n//α．
13．（2025·全国·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，AC=3，BC=1，PA=PB=PC=AB=2，M为AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的余弦值是 ．
14．（2025·河北石家庄·模拟预测）金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔.如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分（用数字作答）．
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=3，E是PD的中点，F,M分别在PC,PB上，且PF=13PC,BM=13BP．
(1)证明：E,F,A,M四点共面；
(2)若CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD，求四棱锥P−AMFE的体积．
16．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知正四面体P−ABC，M,N,Q,R分别是棱PA,PC,AB,BC的中点．

(1)证明：四边形MNRQ为菱形；
(2)求异面直线BM与QR所成角的余弦值．
17．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，点M，N分别是线段C1D1，CC1的中点．
(1)求三棱锥M−A1C1B的体积；
(2)求证：直线A1M、BN、B1C1三线共点．
18．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在一正三棱台木块ABC−A1B1C1如图所示，已知2AC=3A1C1=6，AA1=2，点O在平面ABC内且为△ABC的重心.
(1)过点O将木块锯开，使截面经过A1C1平行于直线AC，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；
(2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比.
19．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,BC//AD．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设PA=AB=2,BC=2,AD=1+3，且点P，B，C，D均在球O的球面上．
（i）证明：点O在平面ABCD内；
（ⅱ）求直线AC与PO所成角的余弦值．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义
(2)了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题
2023年上海卷：第15题，5分
2025年全国一卷：第17题，15分
空间点、直线、平面之间的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，主要分两方面进行考查，一是空间中点、线、面关系的命题的真假判断；二是异面直线的判定和异面直线所成角问题；常以选择题、填空题的形式考查，难度较易；也会以解答题的一小问考查点、线、面的位置关系，难度中等.
推论
自然语言
图形语言
符号语言
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
点A∉a⇒a与A共面于平面α,且平面唯一.
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面.
a∩b=P⇒a与b共面于平面α,且平面唯一.
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面.
直线a//b⇒直线a,b共面于平面α,且平面唯一.
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线在平面内
有无数个公共点
直线与平面相交
有且只有一个公共点
直线与平面平行
没有公共点
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两个平面平行
没有公共点
两个平面相交
有一条公共直线