2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题10.3二项式定理(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题10.3二项式定理(学生版+解析)，共13页。学案主要包含了全国通用，题型10 杨辉三角，方法技巧与总结，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31234" 【题型1 求二项展开式的特定项】 PAGEREF _Tc31234 \h 3
\l "_Tc14849" 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 PAGEREF _Tc14849 \h 3
\l "_Tc12946" 【题型3 两个二项式之积问题】 PAGEREF _Tc12946 \h 4
\l "_Tc8934" 【题型4 三项展开式问题】 PAGEREF _Tc8934 \h 4
\l "_Tc30913" 【题型5 二项式系数和与系数和问题】 PAGEREF _Tc30913 \h 4
\l "_Tc9180" 【题型6 二项式系数的最值问题】 PAGEREF _Tc9180 \h 5
\l "_Tc30966" 【题型7 奇次项与偶次项的系数和】 PAGEREF _Tc30966 \h 5
\l "_Tc8471" 【题型8 整除和余数问题】 PAGEREF _Tc8471 \h 6
\l "_Tc29271" 【题型9 近似计算问题】 PAGEREF _Tc29271 \h 6
\l "_Tc8671" 【题型10 杨辉三角】 PAGEREF _Tc8671 \h 7
1、二项式定理
知识点1 二项式定理
1．二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
.(*)
公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,
…,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：.
(2)二项展开式的规律
①二项展开式一共有(n+1)项.
②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.
③每一项中a和b的幂指数之和为n.
2．二项式系数的性质
知识点2 展开式中的通项问题
1．求二项展开式的特定项的解题策略
求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可.
2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略
(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
知识点3 二项式系数的和与各项系数的和问题
1．赋值法
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
2．系数之和问题的解题策略
若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为
，偶数项系数之和为.
3．展开式的逆用
根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
知识点4 二项式系数最大项问题
1．二项式系数最大项的确定方法
当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或.
【方法技巧与总结】
1．.
2．.
【题型1 求二项展开式的特定项】
【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）x2+1x6展开式的常数项为（ ）
A．6B．12C．15D．20
【变式1-1】（2025·江西·模拟预测）2−x5展开式中的第4项是（ ）
A．−40x3B．−40C．20x4D．20
【变式1-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式1x−3x8的展开式中常数项是（ ）
A．−56B．−28C．28D．56
【变式1-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）5x3−x25展开式中的常数项为（ ）
A．−250B．−1250C．250D．1250
【题型2 求二项展开式的特定项系数】
【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）(x−2y)7的展开式中第三项的系数是（ ）
A．C72B．−2C72C．4C72D．−4C72
【变式2-1】（2025·广西柳州·模拟预测）二项式1−1x5的展开式中，含1x3的项的系数是（ ）
A．−10B．10C．−5D．5
【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）二项式1x3−x210的展开式中第5项的系数为（ ）
A．252B．-252C．210D．-210
【变式2-3】（2025·吉林·模拟预测）设a为非零实数，若二项式x2+ax9展开式中含x3与x6的项系数相等，则实数a的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【题型3 两个二项式之积问题】
【例3】（2025·河北·模拟预测）−2x+33x−15的展开式中x3的系数为（ ）
A．180B．630C．810D．990
【变式3-1】（2025·四川广安·模拟预测）已知1+axx−25的展开式中x3项的系数为−80，则实数a的值为（ ）
A．32B．2C．1D．−12
【变式3-2】（2025·湖南·三模）1x2−21+x5的展开式中的常数项是（ ）
A．12B．8C．−8D．−12
【变式3-3】（2025·江西新余·模拟预测）x3−1x2x−15的展开式中x52的系数为（ ）
A．90B．−70C．−30D．50
【题型4 三项展开式问题】
【例4】（2025·浙江·二模）x2+2x+y6的展开式中，x5y2的系数为（ ）
A．60B．120C．240D．360
【变式4-1】（2025·江西·二模）在x2+x+y6的展开式中，x7y的系数为（ ）
A．3B．6C．60D．30
【变式4-2】（2025·广东佛山·三模）若1x＋ax2＋15的展开式中的常数项为31，则a=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式4-3】（2025·河北保定·模拟预测）在x+y2−1x2−y−16的展开式中，x2y4的系数为（ ）
A．−60B．−30C．−20D．20
【题型5 二项式系数和与系数和问题】
【例5】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知a2x+1xn的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中x2的系数是（ ）
A．4B．8C．32D．64
【变式5-1】（2025·北京昌平·二模）若2x−15=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4+a5=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式5-2】（2025·山东聊城·二模）若1+ax2(1+x)4的展开式中x3的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（ ）
A．16B．32C．48D．64
【变式5-3】（2025·山东·三模）若(1−2x)2023=a0+a1x+a2x2+⋯+a2023x2023，则a12+a222+⋯+a202322023的值为（ ）
A．-1B．0C．12D．1
【题型6 二项式系数的最值问题】
【例6】（2025·四川成都·二模）x+1x6的展开式中系数最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【变式6-1】（2025·安徽·二模）已知x−2xn的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
【变式6-2】（2025·新疆·三模）二项式1+2x4的展开式中系数的最大值是 ．
【变式6-3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知二项式(1+ax)n的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，x3项的系数是x2 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是 ．
【题型7 "" \t "" \ "奇次项与偶次项的系数和" 奇次项与偶次项的系数和】
【例7】（2025·重庆·模拟预测）已知2x+1100=a100x100+a99x99+⋯+a1x+a0，则a0+a2+a4+a6+⋯+a100的值为（ ）
A．3100+1B．3100−1C．3100+12D．3100−12
【变式7-1】（2025·河南开封·二模）若 2x−14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a0+a2+a4=（ ）
A．−40B．40C．41D．82
【变式7-2】（2025·四川巴中·三模）在2+x1+x4展开式中，x的偶数次幂的项的系数和为（ ）
A．32B．−32C．16D．24
【变式7-3】（2025·广东江门·一模）已知1+x4+1+x5+⋯+1+x11=a0+a12+x+a22+x2+⋯+a112+x11，则a0+a2+a4+⋯+a10的值是（ ）
A．680B．−680C．1360D．−1360
【题型8 整除和余数问题】
【例8】（2025·河南许昌·模拟预测）若(2x+1)100=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100，则2(a1+a3+⋯+a99)−4被8整除的余数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式8-1】（2025·甘肃白银·三模）98除(100−1)100的余数是（ ）
A．1B．9C．3D．6
【变式8-2】（2025·重庆·模拟预测）若162026+m能被7整除，则m的最小正整数取值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式8-3】（2025·甘肃庆阳·三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设a,b,mm>0为整数，若a和b同时除以m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(md m)若a=C301+C302+⋯+C3030，a≡b(md 10)，b∈2021,2022,2023,2025，则b=（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2025
【题型9 近似计算问题】
【例9】（2025·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款a0元，按照复利计算10年后得到的本利和为a10，下列各数中与a10a0最接近的是（ ）
A．1.31B．1.32C．1.33D．1.34
【变式9-1】（2025·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m′，则下列各数中与m′m0最接近的是（ ）
A．70%B．65%
C．60%D．55%
【变式9-2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）1.0120最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20B．1.21C．1.22D．1.23
【变式9-3】（2025·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6B．12.7C．12.8D．12.9
【题型10 杨辉三角】
【例10】（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用ai,j代表第i行，第j个数，i∈N,j=1,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,i+1，例如a4,3=6，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．a10,3=36
B．在第100行中，a100,50最大
C．a2025,1013=a2025,1014
D．a3,3+a4,3+a5,3+⋯+a20,3=1330
【变式10-1】（24-25高二下·广东中山·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
……
A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等
C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则i=1n+12i−1ai=3n
D．第34行中第15个数与第16个数之比为2:3
【变式10-2】（25-26高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ）
A．C22+C32+C42+C52+⋅⋅⋅+C92+C102=165
B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C．在杨辉三角中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
D．记杨辉三角中第n行的第i个数为ai，则i=1n+12i−1⋅ai=3n−1
【变式10-3】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86
B．第9行所有数字之和为256
C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则ab=1021
D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286
一、单选题
1．（2025·广东清远·一模）在(x−2y)5的展开式中，x3y2的系数为（ ）
A．10B．−10C．40D．−40
2．（2025·广东·模拟预测）3+x2y2x−y6的展开式中，x4y2的系数为（ ）
A．60B．30C．45D．15
3．（2025·湖南永州·模拟预测）x2−x−2y5的展开式中，x5y2的系数为（ ）
A．80B．40C．−60D．−120
4．（2025·全国·模拟预测）若2x−1xn的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．160B．−160C．20D．−20
5．（2025·陕西汉中·模拟预测）若3x−25=a0+a1x−1+a2x−12+a3x−13+a4x−14+a5x−15，则a0+a5=（ ）
A．244B．1023C．−31D．1
6．（2025·甘肃白银·三模）已知x−2m展开式的所有二项式系数之和为32，则x−1x2m展开式的各项中系数的最大值为（ ）
A．252B．210C．120D．10
7．（2025·江苏南通·模拟预测）2x−1xn的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．1120x2B．−1120x2C．1792x72D．1792x5
8．（2025·湖南益阳·模拟预测）若x+1(x−2)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则（ ）
A．a0=−64
B．a7=64
C．a0+a1+a2+⋯+a7=2
D．a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6
二、多选题
9．（2025·河北唐山·模拟预测）在x−y5的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．一共有5项
B．第3项为−10x3y2
C．所有项的系数和为0
D．所有项的二项式系数和为32
10．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知1−2x21+xn=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则（ ）
A．n=5B．a0=1
C．a4=25D．a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=32
11．（2025·全国·模拟预测）关于(x−2y−z)5展开式中，则（ ）
A．展开式的各项系数和为−32B．展开式中xy2z2项的系数为120
C．展开式中含x3的各项系数之和为100D．展开式中不含字母z的各项的系数之和为1
三、填空题
12．（2025·天津·高考真题）在x−16的展开式中，x3项的系数为 ．
13．（2025·上海·高考真题）在二项式(2x−1)5的展开式中，x3的系数为 ．
14．（2025·北京·高考真题）已知(1−2x)4=a0−2a1x+4a2x2−8a3x3+16a4x4，则a0= ；a1+a2+a3+a4= ．
四、解答题
15．（2025高三·全国·专题练习）求199911除以8的余数．
16．（24-25高二下·浙江杭州·期末）在2x3−1xn的展开式中，第7项为常数项．
(1)求n的值和该常数项的值；
(2)求展开式中所有项的系数之和．
17．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知x+2xn的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，
(1)求n；
(2)求展开式的常数项；
(3)求展开式中系数最大的项．
18．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知二项展开式3−2x2025=a0+a1x−1+a2x−12+⋯+a2025x−12025．
(1)求a12+a222+a323+⋯+a202522025的值；
(2)求a0+a1+a2+⋯+a2025的值．
19．（24-25高二下·吉林·期中）已知2x−1xn的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6.
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)若2x−1n=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+anxn，求|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|an|的值.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
2023年天津卷：第11题，5分
2023年上海卷：第10题，4分
2024年北京卷：第4题，4分
2024年天津卷：第11题，5分
2024年上海卷：第6题，4分
2025年北京卷：第12题，5分
2025年天津卷：第11题，5分
2025年上海卷：第4题，4分
从近几年的高考情况来看，二项式定理是高考的重点、热点内容，每年都有考查，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度不大，复习时需要加强这方面的练习，解题时要学会灵活求解.
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即)
增减性
当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值
最大值
当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大
各二项式
系数的和