2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第04讲数列的通项公式(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第04讲数列的通项公式(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了构造法法求通项公式，累加法求通项公式，累乘法求通项公式，an与Sn关系求通项公式，观察法求通项公式等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc244271972" 知识梳理 PAGEREF _Tc244271972 \h 2
\l "_Tc1637783987" 探究核心考点 PAGEREF _Tc1637783987 \h 3
\l "_Tc1937565910" 考点一 构造法法求通项公式 PAGEREF _Tc1937565910 \h 3
\l "_Tc228226262" 考点二 累加法求通项公式 PAGEREF _Tc228226262 \h 3
\l "_Tc392991892" 考点三 累乘法求通项公式 PAGEREF _Tc392991892 \h 4
\l "_Tc1502514319" 考点四 an与Sn关系求通项公式 PAGEREF _Tc1502514319 \h 4
\l "_Tc497954360" 考点五 观察法求通项公式 PAGEREF _Tc497954360 \h 5
\l "_Tc375156161" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc375156161 \h 6
\l "_Tc237610335" 基础过关 PAGEREF _Tc237610335 \h 6
\l "_Tc1344800572" 能力提升 PAGEREF _Tc1344800572 \h 7
\l "_Tc1945312576" 真题感知 PAGEREF _Tc1945312576 \h 8
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】高考对数列通项的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列通项问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.
【备考策略】掌握数列通项的几种常见方法。
【命题预测】小题和解答题
知识点1、an与Sn的关系
对于数列，前项和记为；
①；②
②：
知识点2、累加法
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
考点一 构造法法求通项公式
典例1．已知数列中，，且，则 ．
典例2．记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
跟踪训练1．已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
跟踪训练3．已知，当时，，则的通项公式为
考点二 累加法求通项公式
典例1．记为数列的前项积，且，，则（ ）
A．B．C．D．
典例2．设数列满足，且，则数列前6项的和为 .
跟踪训练1．已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
考点三 累乘法求通项公式
典例1．（多选）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是单调递增数列
C．若为数列的前项和，则
D．若对任意，都有，则
典例2．已知，，求数列的通项．
跟踪训练1．已知首项为1的数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．已知数列中，，则 .
考点四 an与Sn关系求通项公式
典例1．（多选）已知数列的前项和为，，且，则（ ）．
A．不是等比数列B．
C．D．
典例2．设为数列的前项和，若，则
跟踪训练1．已知数列的前项和满足，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
考点五 观察法求通项公式
典例1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（ ）

A．，B．，C．，D．，
典例2．已知数列为2，0，2，0，…，写出一个该数列的通项公式 ．（不可写为分段形式）
跟踪训练1．数列，，，，，…的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的图形，后人称为“三角垛”．某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设各层球数构成一个数列，是其前项和，则（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第（ ）项．
A．9B．10C．11D．12
3．已知数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
4．已知数列的前项和满足：，且，那么（ ）
A．2B．4C．2026D．2028
5．记为数列的前项积，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（ ）
A．4B．3C．D．
二、多选题
7．设为数列的前n项和，已知，，，，则（ ）
A．是等比数列B．
C．D．
三、填空题
8．若数列满足，则数列的通项公式 .
9．数列的前n项和为，若，则 ．
10．已知数列满足，则 .
四、解答题
11．记为数列的前项和，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)若．
①求的通项公式；
②求的前项和．
1．已知数列前n项和满足：，数列前n项和满足：，记，则使得值不超过2025的项的个数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（多选）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ）

A．，
B．记为的前n项和，则为
C．记为数列的前n项和，则
D．数列的前n项和为
3．设数列的前n项和为，若，则
4．共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．
(1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率；
(2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式．
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
2．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
二、解答题
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025天津卷
已知Sn求an
一元二次方程
2023年北京卷
数列的单调性
三次函数
2024年甲卷
已知Sn求an
无
2023年甲卷
通项公式以及求和公式
无
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求
第04讲 数列的通项公式
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206767832"
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2071147240" 知识梳理 PAGEREF _Tc2071147240 \h 2
\l "_Tc1209228457" 探究核心考点 PAGEREF _Tc1209228457 \h 3
\l "_Tc1864925238" 考点一 构造法法求通项公式 PAGEREF _Tc1864925238 \h 3
\l "_Tc1274647101" 考点二 累加法求通项公式 PAGEREF _Tc1274647101 \h 5
\l "_Tc1844447682" 考点三 累乘法求通项公式 PAGEREF _Tc1844447682 \h 7
\l "_Tc705746929" 考点四 an与Sn关系求通项公式 PAGEREF _Tc705746929 \h 9
\l "_Tc936453322" 考点五 观察法求通项公式 PAGEREF _Tc936453322 \h 11
\l "_Tc63333991" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc63333991 \h 14
\l "_Tc1449981472" 基础过关 PAGEREF _Tc1449981472 \h 14
\l "_Tc194173748" 能力提升 PAGEREF _Tc194173748 \h 18
\l "_Tc1450522843" 真题感知 PAGEREF _Tc1450522843 \h 23
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】高考对数列通项的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列通项问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.
【备考策略】掌握数列通项的几种常见方法。
【命题预测】小题和解答题
知识点1、an与Sn的关系
对于数列，前项和记为；
①；②
②：
知识点2、累加法
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
考点一 构造法法求通项公式
典例1．已知数列中，，且，则 ．
【答案】
【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解.
【详解】由，可得，即，
又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，所以．
故答案为：
典例2．记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用即可得，构造等比数列即可求解；
（2）由（1）得代入，进而得，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）令时，，即得，
时，①，②，
由①-②得，，
又由，
又，
所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为．
所以
．
跟踪训练1．已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解.
【详解】因为，所以．
因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以，
故．
故选：C
跟踪训练2．已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由得，构造等比数列即可求解.
【详解】由，，，可得，
所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以，
则，；
故答案为：.
跟踪训练3．已知，当时，，则的通项公式为
【答案】
【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案.
【详解】由于当时，①，
故设，即②，
由①，②对照可得，，解得，
即，
又，则是以3为首项，为公比的等比数列，
故，则
故答案为：
考点二 累加法求通项公式
典例1．记为数列的前项积，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据递推公式，利用累加法求得，再根据关系求得，再求结果即可.
【详解】由题意可得，，…，，
累加有时：.
经验证当时满足，故，
则时，，
当时满足，即，令可得.
故选：C.
典例2．设数列满足，且，则数列前6项的和为 .
【答案】
【分析】根据题设利用累加法求得，进而结合裂项相消法求和即可.
【详解】由，
则，，，，
将上述式子累加，得，
则，，显然满足上式，则，
所以，
则数列前6项的和为.
故答案为：.
跟踪训练1．已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】应用累加法，结合分组求和、等差等比前n项和公式求通项公式.
【详解】由题设，即
，且，
所以，
由满足上式，故.
故选：B
跟踪训练2．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知，代入计算即可得到，继而得到.
【详解】因为数列满足，，
所以，
所以，
则，
所以，
故选：A.
考点三 累乘法求通项公式
典例1．（多选）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是单调递增数列
C．若为数列的前项和，则
D．若对任意，都有，则
【答案】ABC
【分析】根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D.
【详解】由，可得，
故,
也符合，
故，，A正确，
由于，故，因此是单调递增数列，B正确，
，
故，C正确，
由可定，
当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故，
当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故，
故对任意，都有，则，故D错误，
故选：ABC
典例2．已知，，求数列的通项．
【答案】
【分析】，累乘法进行求解.
【详解】因为，
所以，
故，
跟踪训练1．已知首项为1的数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用累乘法求解.
【详解】依题意，.
故选：A.
跟踪训练2．已知数列中，，则 .
【答案】
【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项.
【详解】，，
，即，
.
故答案为：.
考点四 an与Sn关系求通项公式
典例1．（多选）已知数列的前项和为，，且，则（ ）．
A．不是等比数列B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】当时，可求出的值；当时，由得，两式作差可得出，可求出数列的通项公式，逐项判断即可.
【详解】因为数列的前项和为，，且，
当时，，
当时，由得，
上述两个等式作差得，可得，但，
所以数列从第二项开始成公比为的等比数列，
故当时，，所以，
对于A选项，数列不是等比数列，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
典例2．设为数列的前项和，若，则
【答案】513
【分析】根据给定条件，利用求出，进而求出.
【详解】数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，
则，即，所以.
故答案为：513
跟踪训练1．已知数列的前项和满足，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前项的和即可.
【详解】因为，
所以，，
所以，，
又时，也满足上式，
所以，
所以当时，，当时，，
所以
.
故选：C
跟踪训练2．已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系即可作差得为等比数列求解，
（2）利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由可得,
相减可得，故，
又，故，
因此对任意的，都有，故为等比数列，且公比为2，
故，
（2），
，
相减可得
故，
故
考点五 观察法求通项公式
典例1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（ ）

A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值.
【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，
则，，，，由此得出，
，，，，
由此得出.
故选：B.
典例2．已知数列为2，0，2，0，…，写出一个该数列的通项公式 ．（不可写为分段形式）
【答案】或或
【分析】根据项是2和0间隔出现具有周期性可以考虑三角函数或.
【详解】方法一：考虑通项含， 假设，则，，不符合题意，
假设，则，，…，符合题意，故可填．
方法二：考虑通项含三角函数 考虑正弦函数，假设，则，，不符合题意，
假设，则，，…，符合题意，
又，
故可填或．
故答案为：或或
跟踪训练1．数列，，，，，…的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由前5项的共同属性写出一个通项公式.
【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2，
则第项的分子为，对应的分母为，
所以.
故选：B
跟踪训练2．（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的图形，后人称为“三角垛”．某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设各层球数构成一个数列，是其前项和，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，由此对各个选项进行逐一的判断即可.
【详解】由题意可知，，，，…，，故．
所以，故选项A错误；
因为，故选项B正确；
因为，故选项C正确；
因为，，
所以，故选项D错误．
故选：BC.
一、单选题
1．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知，则，代入计算即可得到，继而得到.
【详解】数列满足，则，
，
则
，
故选：A.
2．已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第（ ）项．
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】根据题意，令，得到，求得的值，即可得到答案.
【详解】由数列的通项公式为，
令，即，可得，解得或，
即，所以是数列的第项.
故选：B.
3．已知数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【分析】根据数列前项和与数列通项之间的关系，求出数列递推公式，进而求出数列前6项，求出结果.
【详解】由可得，即，得，
由可得，，，
故是周期为3的周期数列，且，故.
故选：A.
4．已知数列的前项和满足：，且，那么（ ）
A．2B．4C．2026D．2028
【答案】A
【分析】根据题意，令，求得，再令，即可求解.
【详解】由数列满足，且，
令，可得，即，
再令，可得.
故选：A.
5．记为数列的前项积，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用累加法求得，再由求解即可.
【详解】由题意，
所以当时，，
累加得当时，，
又当时，也满足，所以，
所以.
故选：C
6．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据数列的前n项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项.
【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列.
所以，令，得.
所以数列是公差为3，首项为1的等差数列.
故，即.
所以.
故选：C.
二、多选题
7．设为数列的前n项和，已知，，，，则（ ）
A．是等比数列B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由题意令，得，可得，即可判断B；进而根据和的关系求出即可判ACD.
【详解】由题意，，，，
令，得，
则数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，故B正确；
当时，，
显然不满足上式，则，
则，显然，故A错误，C正确；
而，，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
8．若数列满足，则数列的通项公式 .
【答案】
【分析】利用和的关系，降标作差即可求出.
【详解】因，则，
两式相减得，
当时，，不符合上式，
故.
故答案为：
9．数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】384
【分析】根据前项和的递推公式求得，然后求出，即可求解.
【详解】①，②，
两式相减得，故，
令中得，，所以．
故答案为：384
10．已知数列满足，则 .
【答案】4100626
【分析】由题意，利用直接求解即可.
【详解】因为，
所以，
∴.
故答案为：.
四、解答题
11．记为数列的前项和，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)若．
①求的通项公式；
②求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）由，得到，根据等差数列的定义，即可证明；
（2）①由（1）得到，根据求出，则，进而利用得，再验证满足，即可求解通项公式；
②由得，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，所以，
两边同除得，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）①由（1）可知，所以，当时，，
当时，，又，所以，所以，
所以，
当时，，
所以，当时，也满足，
所以的通项公式为；
②因为，
所以的前项和
.
1．已知数列前n项和满足：，数列前n项和满足：，记，则使得值不超过2025的项的个数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】根据数列前项和与的关系，可得；同理前项和与的关系可得，则可得，判断其单调性，即可求得使得值不超过2025的项的个数.
【详解】因为，当时，，
当时，，则符合上式，所以；
又，当时，，所以，
当时，，则，所以是以为首项，公比的等比数列，
所以，
则
所以，即，
又单调递增，单调递增，所以单调递增，
又，所以，
，
故使得值不超过2025的项的个数为10.
故选：C.
2．（多选）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ）

A．，
B．记为的前n项和，则为
C．记为数列的前n项和，则
D．数列的前n项和为
【答案】AB
【分析】A.首先由正三角形求得点和的坐标，代入曲线，即可求解；B. 由为边长为的等边三角形，求得的坐标；C.将坐标代入曲线，判断C；D.根据C的结果，利用公式，即可求通项公式.
【详解】A.由题意可知为等边三角形，如图，，则，
因为点在曲线上，可得，解得或（舍），
又由题意可知为边长为的等边三角形，则，
则，可得，解得或（舍），故A正确；
B.由为边长为的等边三角形，可得，故B正确；
C.由点在曲线上，则，整理得，
由，可知，故C错误；
D.当时，可得，
所以，
可化为，
因为，则，所以，
又因为，符合上式，故，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为，
所以，故D错误.
故选：AB
3．设数列的前n项和为，若，则
【答案】
【分析】时，求出，由与的关系，得时为等比数列，可求数列通项.
【详解】已知，当时，有，
两式相减得：，即，
所以时，有，
时，由，有，又，解得，
则，，，
故当时，为等比数列，公比为2，
当时，，故，所以.
故答案为：
4．共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．
(1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率；
(2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)，
【分析】（1）由二项分布的概率计算公式可得结果；
（2）由二项分布的概率公式和数学期望的计算公式可得结果；
（3）方法1：由累计积分恰为分的概率和积分不到分的概率相加为1可得，利用构造法可求得数列的通项公式；方法2：由，利用构造法可求得与之间的关系以及数列的通项公式.
【详解】（1）设事件为“某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分”，则
．
（2）依题意：随机变量的可能取值为3，4，5，6，则
，，
，．
的分布列为
所以数学期望．
（3）方法1：使用共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，
积分跳过分的情况只有先积分，再积2分，概率为，其中，
因为，即，
所以，
故是首项为，公比为的等比数列，
所以，即．
方法2：由题意可知，
则，因为，
所以，即，
所以，
故是首项为，公比为的等比数列，
所以，即．
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
【答案】C
【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解.
【详解】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故选：C
2．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.
法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.
【详解】法1：因为，故，
对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立，
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，
故为减数列，注意
故，结合，
所以，故，故，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，故恒成立仅对部分成立，
故A不成立.
对于B，若可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，故为增数列，
若，则恒成立，故B正确.
对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为减数列，
又，结合可得：，所以，
若，若存在常数，使得恒成立，
则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为增数列，
又，结合可得：，所以，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为，
令，则，
令，得或；
令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
令，则，即，解得或或，
注意到，，
所以结合的单调性可知在和上，在和上，
对于A，因为，则，
当时，，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，即，
因为在上，所以，则为递减数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故，
所以在上单调递增，故，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为，
当时，，，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
又当时，，即，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
此时，取，满足题意，故B正确；
对于C，因为，则，
注意到当时，，，
猜想当时，，
当与时，与满足，
假设当时，，
当时，所以，
综上：，
易知，则，故，
所以，
因为在上，所以，则为递减数列，
假设存在常数，使得恒成立，
记，取，其中，
则，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C错误；
对于D，因为，
当时，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
所以，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.
二、解答题
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025天津卷
已知Sn求an
一元二次方程
2023年北京卷
数列的单调性
三次函数
2024年甲卷
已知Sn求an
无
2023年甲卷
通项公式以及求和公式
无
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求
3
4
5
6