第04讲 数列的通项公式（复习讲义）（全国通用）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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01TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3048"
\l "_Tc21629" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc21629 \h 2
\l "_Tc26288" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc26288 \h 3
\l "_Tc8047" 知能解码 PAGEREF _Tc8047 \h 3
\l "_Tc19871" 知识点1 利用与的关系求通项 PAGEREF _Tc19871 \h 3
\l "_Tc1660" 知识点2 累加法 PAGEREF _Tc1660 \h 4
\l "_Tc27531" 知识点3 累乘法 PAGEREF _Tc27531 \h 4
\l "_Tc16282" 知识点4 构造法 PAGEREF _Tc16282 \h 5
\l "_Tc25387" 知识点5 倒数法 PAGEREF _Tc25387 \h 6
\l "_Tc23791" 知识点6 递推关系式法 PAGEREF _Tc23791 \h 6
\l "_Tc14121" 题型破译 PAGEREF _Tc14121 \h 7
\l "_Tc13080" 题型1 法 PAGEREF _Tc13080 \h 7
\l "_Tc15335" 题型2 累加法 PAGEREF _Tc15335 \h 7
【方法技巧】累加法求解模型
\l "_Tc5721" 题型3 累乘法 PAGEREF _Tc5721 \h 8
【方法技巧】累乘法求解模型
\l "_Tc10323" 题型4 形如 PAGEREF _Tc10323 \h 9
【方法技巧】常考构造法模型
\l "_Tc20126" 题型5 形如 PAGEREF _Tc20126 \h 9
\l "_Tc18051" 题型6 形如 PAGEREF _Tc18051 \h 10
\l "_Tc24631" 题型7 倒数法 PAGEREF _Tc24631 \h 10
\l "_Tc2532" 题型8 形如 PAGEREF _Tc2532 \h 11
\l "_Tc30638" 题型9 利用前n项积求通项 PAGEREF _Tc30638 \h 12
\l "_Tc16460" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc16460 \h 12
05课本典例·高考素材 \l "_Tc31027" PAGEREF _Tc31027 \h 13
\l "_Tc25045" 知识点1 利用与的关系求通项
对于数列，前项和记为；
①；②
②：
自主检测已知数列an满足a1+2a2+⋯+2n−1an=n⋅2n，则数列an的通项公式为 .
\l "_Tc25045" 知识点2 累加法
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
自主检测若数列an满足an=an−1+1n2+n（n≥2且n∈N+），a1=12，则a2025=（ ）
A．20222023B．20232024C．20242025D．20252026
\l "_Tc25045" 知识点3 累乘法
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
自主检测已知数列an满足a1=1,(n−1)an=n⋅2nan−1n∈N∗,n≥2，则数列an的通项公式为 ．
\l "_Tc25045" 知识点4 构造法
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
自主检测数列an中，a1=1，an+1=3an−1，则通项an= ．
\l "_Tc25045" 知识点5 倒数法
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
自主检测已知数列|an中，a1=25，an+1=2anan+1，则满足an>20242025的n的最小值为 .
\l "_Tc25045" 知识点6 递推关系式法
形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
自主检测已知数列an满足a1=1,a2=3，且an+2=3an+1−2ann∈N∗，求an ．
题型1 法
例1-1已知数列an的各项均为正，Sn为数列an的前n项和，an2+2an=4Sn+3.
(1)求an的通项公式；
例1-2已知数列an满足1a1+12a2+13a3+⋯+1nan=nn+34，则an的通项公式为 .
【变式训练1-1·变考法】数列an满足a12n+a22n−1+⋅⋅⋅+an2=n，则an= ；
【变式训练1-2】已知数列an的首项为1，其前n项和为Sn，且满足3nan+1−6Sn=nn+1n+2.
(1)求数列an的通项公式.
【变式训练1-3】数列an是递增数列，其前n项和为Sn，且Sn=14an2+n,n∈N∗．
(1)求an,Sn；
题型2 累加法
例2-1已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1−an=2n，则Sn= .
例2-2已知数列an满足a1=18，an+1−an=3n，则ann的最小值为
方法技巧 累加法求解模型
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
【变式训练2-1】在数列an中，a1=3，且an=an−1+lgnn−1n≥2，则a100= .
【变式训练2-2】数列an满足a1=3，an+1−an=2n−8n∈N∗，则a8= ．
【变式训练2-3】已知数列an满足：a1=1，an+1−an=n+1n∈N*，数列1an的前n项和为Sn，则满足Sn≥74的n的最小取值为 .
题型3 累乘法
例3-1在数列an中，首项a1=1，n>1时，n−1an=n+1an−1，则数列1an的前100项和为 .
例3-2已知数列an满足a1=2，an+1=2n+2n+1an，则an的通项公式为 ．
方法技巧 累乘法求解模型
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
【变式训练3-1·变考法】在数列an中，a1=3,an+1an=n+3n+2，则a34= .
【变式训练3-2】已知{an}中，a1=1，nan+1=(n+1)an，则数列{an}的通项公式是 ．
【变式训练3-3】已知数列an满足：a1=2，且an+1+an=2nan+1−ann∈N∗，则a2021= .
题型4 形如
例4-1在数列{an}中，a1=78，an+1=12an+13，n∈N∗，则该数列的通项公式an= ．
例4-2数列{an} 满足a1=1，an+1=2an+3(n∈N∗)，则a4= ．
方法技巧 构造法常考模型
形如（其中均为常数且）型的递推式：
设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
【变式训练4-1】已知数列an满足an+1=2an+2，a1=1，则an= ．
【变式训练4-2】数列an满足an=4an−1+3，且a1=0，则a5= ．
【变式训练4-3】已知数列an满足an+1=23an+4，且a1=1，则an的通项公式为 .
题型5 形如
例5-1已知数列an满足a1=2，an+1=3an+2n−1，n∈N∗，则数列an的通项公式为 ．
例5-2已知数列an满足a1=1，且an=13an−1+13nn≥2，则数列an的通项公式an= ．
【变式训练5-1】数列{an}满足an+1=5an+3×5n+1，a1=6，则数列{an}的通项公式为 .
【变式训练5-2】各项均正的数列an满足a1=4,an+1=2an+2n+1，则an等于
【变式训练5-3】已知数列an满足an+1=3an+3nn∈N*，且a1=1，则数列an的通项公式为 ．
题型6 形如
例6-1在数列an中，已知a1=2，且an+1=4an−3n+ 1n∈N∗，则该数列的通项公式为 .
例6-2已知数列an满足an+2−4an=−3n+2，且a1=3，a2=6，则数列an的通项公式为an= .
【变式训练6-1】在数列an中，a1=3，且an+1=3an+4n−6n∈N∗，则an的通项公式为 ．
【变式训练6-2】设数列an满足a1=4，an=3an−1+2n−1(n≥2)，则数列an的通项公式为 .
题型7 倒数法
例7-1已知数列an满足a1=1，an+1=an4an+1，n∈N∗，则an= .
例7-2已知数列an满足a1=12，an+1=an2−an，若bn=1an−1，则数列bn的通项公式为bn= ．
【变式训练7-1】数列{an}中，an+1=2an2+an对所有正整数n都成立且a1=2，则an= .
【变式训练7-2·变考法】已知数列an满足a1=1,an+1=anan+2，则数列1an的前8项和S8= ．
【变式训练7-3】已知数列an的前n项和为Sn，若Sn+1=4Sn3Sn+2，且a1=1，则Sn= ．
题型8 形如
例8-1已知数列an满足：a1=1，a2=5，an+2=4an+1−4an.
(1)求数列an的通项公式；
例8-2已知数列an满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1−2ann∈N*.
(1)证明：数列an+1−an是等比数列，并指出其首项及公比；
(2)求数列an的通项公式an．
【变式训练8-1】已知数列an满足an+1=3an−2an−1(n≥2，且n∈N∗)，a1=1，a2=3，则数列an的前10项和为 .
【变式训练8-2】2．已知数列an中a1=1，a2=34，且满足4an+1=4an−an−1(n∈N,n≥2)，则an= ．
题型9 利用前n项积求通项
例9-1若数列an的前n项积bn=1−27n，则an的最大值与最小值之和为（ ）
A．−13B．57C．2D．73
例9-2记bn为数列an的前n项积，已知a1=3，1an+2bn=1，求数列bn的通项公式
【变式训练9-1】已知数列an的前n项积Tn=6n2+n2，则a3a6=（ ）
A．67B．68C．69D．610
【变式训练9-2】记Tn为正项数列an的前n项积，且a1=2，a2=4，TnTn+2=2Tn+12.
(1)求数列an的通项公式；
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1−3.
(1)求an的通项公式；
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，已知4Sn=3an+4．
(1)求an的通项公式；
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设Sn为数列an的前n项和，已知a2=1,2Sn=nan．
(1)求an的通项公式；
4．（2022·全国甲卷·高考真题）记Sn为数列an的前n项和．已知2Snn+n=2an+1．
(1)证明：an是等差数列；
5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列．
(1)求an的通项公式；
1．（人教A版选择性必修第二册P42习题4.3第7题）人教A版选择性必修第二册P42习题4.3第7题）已知数列an的首项为a1=1，且满足an+1+an=3⋅2nn∈N*；
(1)求证an−2n是等比数列，并求数列an的通项；
(2)记数列n⋅an的前n项和为Sn，求S2n.
2．（人教A版选择性必修第二册P42习题4.3第8题）若数列an的首项a1=1，且满足an+1=2an+1，求数列an的通项公式及前10项的和．
3（人教A版选择性必修第二册P42习题4.3第11题）已知数列an的首项a1=35，且满足an+1=3an2an+1．
(1)已知数列1an−1是等比数列，求公比q；
(2)若i=1n1ai