2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题9.3成对数据的统计分析(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题9.3成对数据的统计分析(学生版+解析)，共15页。学案主要包含了全国通用，题型5 残差，方法技巧与总结，解题思路，解答过程，变式1-1，变式1-2，变式1-3等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1854" 【题型1 变量的相关关系】 PAGEREF _Tc1854 \h 4
\l "_Tc2233" 【题型2 样本相关系数】 PAGEREF _Tc2233 \h 6
\l "_Tc14931" 【题型3 一元线性回归模型】 PAGEREF _Tc14931 \h 8
\l "_Tc27215" 【题型4 非线性回归模型】 PAGEREF _Tc27215 \h 11
\l "_Tc5936" 【题型5 残差】 PAGEREF _Tc5936 \h 17
\l "_Tc30847" 【题型6 列联表与独立性检验】 PAGEREF _Tc30847 \h 19
\l "_Tc364" 【题型7 独立性检验与其他知识综合】 PAGEREF _Tc364 \h 23
1、成对数据的统计分析
知识点1 变量的相关关系
1．变量的相关关系
(1)函数关系
函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示.
(2)相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
2．散点图
(1)散点图
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图.
(2)正相关和负相关
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关.

3．线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关.
知识点2 样本相关系数
1．样本相关系数
(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：
（其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为x和y）.
①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.
②当r0，所以两种证券是正相关，
那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误.
故选：B.
【变式2-3】（2025·浙江杭州·二模）某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D10,2后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变小B．决定系数R2变小
C．残差平方和变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【答案】D
【解题思路】从图中分析得到去掉D10,2后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．
【解答过程】从图中可以看出D10,2较其他点，偏离直线远，故去掉D10,2后，回归效果更好，
对于A，相关系数r越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉D10,2后，相关系数r变大，故A错误；
对于B，决定系数R2越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉D10,2后，决定系数R2变大，故B错误；
对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉D10,2后，残差平方和变小，故C错误；
对于D，若去掉D10,2后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确．
故选：D．
【题型3 一元线性回归模型】
【例3】（2025·浙江温州·三模）为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为y=bx+0.28，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元．
A．2.48B．2.58C．2.68D．2.88
【答案】C
【解题思路】求得样本中心点，得到b=0.24，即可求解.
【解答过程】由1+2+3+4+55=3,0.5+0.8+1+1.2+1.55=1，
可得数据可得样本中心点为：3,1
代入回归方程1=3b+0.28，解得：b=0.24，
所以当x=10时，y=0.24×10+0.28=2.68．
故选：C.
【变式3-1】（2025·辽宁锦州·二模）5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了1至5月份5G手机的实际销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且求得线性回归方程为y=0.32x+a，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，a=0.08
B．由题中数据可知，6月份该商城5G手机的实际销量为2（千只）
C．由题中数据可知，变量x和y正相关，且相关系数一定小于1
D．若不考虑本题中的数据，回归直线可能不过x1,y1，x2,y2，…，xn,yn中任一个点
【答案】B
【解题思路】根据题意，由回归直线方程的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【解答过程】对于A，由表格可知，x=151+2+3+4+5=3，y=150.5+0.6+1.0+1.4+1.7=1.04，
则a=y−0.32x=1.04−0.32×3=0.08，故A正确；
对于B，将x=6代入y=0.32x+0.08，可得y=2，
所以6月份该商城5G手机的实际销量预测为2（千只），故B错误；
对于C，因为回归方程为y=0.32x+0.08，所以变量x和y正相关，
且样本点不全在回归方程上，所以相关系数一定小于1，故C正确；
对于D，回归直线可能不过样本点中的任何一个点，故D正确；
故选：B.
【变式3-2】（2025·甘肃白银·三模）某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度y（单位：∘C）随冷却速率x（单位：∘C/min）变化的统计数据．
(1)一般认为当r≥0.9时，经验回归方程的拟合效果非常好；当0.75≤r0.9，
所以该经验回归方程的拟合效果非常好．
（2）由（1）知x=30，由b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2=−19001000=−1.9，
因为y=650+640+600+590+5805=612，
所以a=y−bx=612+1.9×30=669，故所求的经验回归方程为y=−1.9x+669．
当x=80时，y^=−1.9×80+669=517，
所以冷却速率为80∘C/min时，该金属的凝固点温度为517∘C．
【变式3-3】（2025·山东·一模）某工厂的某生产车间2020年至2024年生产的年利润y（百万元），统计数据如表所示：
(1)已知变量x,y具有线性相关关系，求年利润y（百万元）关于年份代号x的经验回归方程y=bx+a，并预测2025年该车间的年利润；
(2)已知该工厂共有6个车间，根据每个车间的年利润分为“A类车间”和“B类车间”两类，其中“A类车间”4个，“B类车间”2个，现从这6个车间中任取3个车间，记随机变量X为“A类车间”的个数，求X的分布列及其数学期望.
参考公式：b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−n(x)2=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a^=y−b^x.
【答案】(1)y=0.5x+2.3，5.3百万元.
(2)分布列见解析，2
【解题思路】（1）由最小二乘法即可求解回归方程，代入方程即可预测，
（2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，进而由期望公式得解.
【解答过程】（1）由题意，根据表格中的数据，可得：
x=151+2+3+4+5=3，y=152.8+3.4+3.6+4.4+4.8=3.8，
i=15xi2=55,i=15xiyi=62，可得b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=62−5×3×3.855−5×32=12=0.5.
所以a=y−bx=3.8−0.5×3=2.3，
故x的线性回归方程y=0.5x+2.3，
令x=6，得y=0.5×6+2.3=5.3，故2025年该车间年利润约为5.3百万元.
（2）随机变量X的可能值为1,2,3，
可得PX=1=C22C41C63=15，PX=2=C21C42C63=35，PX=3=C43C63=15，
所以X的分布列为：
所以期望为：EX=1×15+2×35+3×15=2.
【题型4 非线性回归模型】
【例4】（2025·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：
当07.879=x0.005，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
故选：B.
【变式6-2】（2025·全国·模拟预测）癌症术后五年存活率是判断癌症治疗效果的重要指标，某医院通过统计癌症患者手术后五年的生存情况得到如下列联表：
(1)求s,t,m；
(2)根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为癌症术后五年存活率主要与患者手术时癌症所处阶段有关？
(3)结合上述情况，对科学预防和治疗癌症提出合理建议．
附：χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d．
【答案】(1)400，600，600；
(2)能；
(3)答案见解析
【解题思路】（1）根据列联表的组成计算即得.
（2）将数据代入卡方公式计算卡方值，然后判断零假设即可.
（3）根据题意和实际情况提出合理建议即可.
【解答过程】（1）根据题意和表格中的数据可得：
t=1600−1000=600；s=t−200=600−200=400；
m=200+s=200+400=600.
所以s=400,t=600,m=600．
（2）零假设为H0：癌症术后五年存活率与患者手术时癌症所处阶段无关联．
由列联表可知：n=1600,a=800,b=200,c=200,d=400，
则χ2=1600(800×400−200×200)21000×600×1000×600≈348.444>10.828=x0.001．
根据小概率值0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为癌症术后五年存活率主要与患者手术时癌症所处阶段有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（3）前中期癌症患者术后五年存活率显著高于晚期患者术后五年存活率，
所以应当规律体检，及早发现癌症，尽量在前中期进行手术．
【变式6-3】（2025·湖南永州·模拟预测）“村厨”是湖南省宁远县举办的“九嶷山村厨大会”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村厨”热度不减．2025年4月12日，万众瞩目的2025年“村超”新赛季在九嶷山景区拉开帷幕，为了解不同年龄的游客对“村厨”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对“村厨”给出满意或不满意的评价．设事件A=“游客对”村厨“满意”，事件B=“游客年龄不超过35周岁”，据统计，PA∣B=45,PB∣A=815．
(1)根据已知条件，填写下列2×2列联表并说明理由；
(2)由（1）中2×2列联表数据，根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为游客对“村厨”的满意度与年龄有关联?
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d．
【答案】(1)列联表见解析，理由见解析
(2)没有关联
【解题思路】（1）根据题意可求出不超过35岁的人中，对“村厨”满意的有160人，对“村厨”满意的人中超过35岁的有140人，从而可完成列联表；
（2）根据列联表中的数据结合公式计算K2，再与临界值比较即可．
【解答过程】（1）由P(A|B)=45，得游客年龄不超过35周岁且对“村厨”满意的有45×200=160人，
由P(B|A)=815，得对“村厨”满意的游客人数为160×158=300，
则对“村厨”满意的人中超过35岁的有300−160=140人，
所以2×2列联表如下：
（2）由（1）得K2=400160×60−140×402300×100×200×200=163≈5.333